初中数学自主招生难度讲义-9年级专题29方程思想

专题29方程思想

阅读与思考

所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量

关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.

应用方程思想解决问题的常见途径有：

1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；

2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；

3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关

问题；

4．列方程、方程组解应用题；

5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．

17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题化归数学问题化归

代数问题化归方程问题．

虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程

思想的重要性．

构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最

值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有：

①用根的定义构造；

②用韦达定理的逆定理构造；

③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

例题与求解

【例1】已知：a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，

那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江苏省竞赛试题）

解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入

手.仔细观察已知两个等式特点，a，b可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的两根，利用方程思想揭示题

设条件与结论的内在规律．

【例2】化简3535的结果是()

A．10B．2C．5D．2

（武汉市选拔赛试题）

解题思路：设3535＝x，将二次根式的化简问题转化为解方程.

424

【例3】已知实数x，y满足3，y4y23，则y4的值为()

x4x2x4

113713

A.7B．C．D．5

22

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系——韦达定理解决.

xyxzyz

【例4】已知2，3，4，求7x5y2z的值．

xyxzyz

（“《数学周报》杯”天津竞赛试题）

解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将

已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值．

本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转，根据这些特点可构造二次

方程求解，这也是解决这类问题的常见方法.

【例5】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P

从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ.点E，D分别是点A，B以Q，P为对

称中心的对称点，HQ⊥AB，垂足为点Q，交AC于点H，当点E到达顶点B时，P，Q同时停止运动，

当BP长为何值时，△HDE为等腰三角形？

（台州市中考试题改编）

解题思路：本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程．

利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程组，

然后化归为解方程、方程组的有关问题．

著名数学家波利亚曾说：“为了使问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入

辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题．解决间题．引入

辅助元素的常见形式有：

①引入参数；②引入辅助方程；③引入辅助函数；

④引入辅助配对代数式；⑤恰当作辅助线；⑥引入辅助命题．

【例6】周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明

有几个．（全国初中数学联赛试题）

解题思路：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，面积为s．由题设条件及几何知识可得

到关于以a，b，c，s的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解

的讨论．

能力训练

5432

51aa2aaa2

1．设a，则＝_____________.（全国初中数学联赛试题）

2a3a

2．一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是A，

B，C，D，E，F．每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，

5本书，而书A，B，C，D，E分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过，那么，吴姓同学读过____

本书，书F被小组中__________位同学读过．

3．设2x22xk0，2y22yk0，且xy2，那么k＝__________.

（河南省竞赛试题）

4．x，y，z是实数，并且满足xyz0，xyz2，则xyz的最小值是________．

（北京市竞赛试题）

5．如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线，若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC＝________．

（全国初中数学联赛试题）

2

6．已知xy12xy70，则x23xy2y2的值为()

A．0B．4C．6D.12

7．某单位一次在快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为

8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有()（山东省竞赛试题）

A.1个B．2个C．3个D．4个

111b

8．已知a，b都是负实数，且0，那么的值为()（江苏省竞赛试题）

ababa

15151515

A．B．C.D．

2222

9．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么()

A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁

（全国初中数学竞赛试题）

a6b31

10．已知a43a2b23b1，且a2b1，则的值是()（山东省竞赛试题）

b3

A．35B．36C．－35D．－36

11．已知x2xyy22，求x2xyy2的取值范围．（黄冈市竞赛试题）

12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点.以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于

E、F，交AB于D.若E是DF的中点，且AE：EF＝3：1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

（北京市海淀区中考试题）

13.如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延长线交于P，求

AB·S△ABP的最小值.（四川省竞赛试题）

14.设a1，a2，b1，b2都为实数，a1≠a2，满足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝1．求证：

（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝－1.（“祖冲之杯”邀请赛试题）

15.已知a，b，c都是正整数，且抛物线yax2bxc与x轴有两个不同交点A，B．若A，B到

原点的距离都小于1，求abc的最小值．

（全国初中数学联赛试题）

16.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”.求

二次函数yx9024907的图象上所有“好点”的坐标．

（《数学周报》杯全国竞赛试题）

bcacababc1

17．已知a，b，c为正数，满足以abc32①，②．证明：

bccaab4

以a，b，c为三边长可构成一个直角三角形．

（全国初中数学联赛试题）

18.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则

自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自

行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km?

（全国初中数学竞赛试题）

19.如图，AB为半圆⊙O的直径，动点C在半圆上，CD⊥AB于D，⊙O1与AC内切且与AB，CD

相切，⊙O2与CB内切且与AB，CD相切，E，F是AB上的两个切点，求证：∠ECF＝45°.

专题29方程思想

例1.-1提示：a、b是方程(xc)(xd)10的两个根，由根的性质得

(xc)(xd)1（xa）(xb)，将x=-c代入上式得－1=(－c－a)(－c－b)，即(a+c)(b+c)=－1．例

42

2B例3A提示：解法一：∵3，

x4x2

2222

()2()3．又y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且0，y2≥0，∴0，y2是一元二次方程

x2x2x2x2

22

t2+t－3=0的两个不等实根．由韦达定理，y2=－1，y2=－3，

x2x2

422

y4(y2)22(y2)=1+6=7．解法二：∵x2>0，y2≥0，由已知条件得

x4x2x2

1244431131143113422

，y2=，∴y433y2y267．

x28422x4x2x2

xyxzyz111111111

例42,3,4，①，②③．①+②－③得

xyxzyzxy2xz3yz4

2111242111242111

，解得x=;①+③－②得，解得y；②+③－①得，解得

x2347y2435z342

1111

z=24．∴7x+5y－2z=0．例5分当BP≤AB，AB<BP<AB，BP=AB三种情况讨论．当

4422

4040640

BP=,,5,时，HDE为等腰三角形．

2111231

abcab①

abc6②

22

例6由题意得a2b2c2③由①②得2c<a+b+c=6<3c，∴2<c<3⑤．由②有（a+b)=(6－c)，

1

Sab④

2

11

将③④代入得3C=9－s，∴有6<3c<9，从而3C=7或3c=8．若3c=7，则s=2，代入②④得a+b=，ab=4，

3

105757

由于此时方程组无解，故此情形不可能；若3c=8，则s=1，此时a+b=，ab=2．解得a,b，

333

8

而c=，以这三个数为边长构成唯一的直角三角形．

3

515135

能力训练1．－2提示：a,a2()21a，∴a2+a=1，

222

a3(a2a)2a3(a2a)2a32a3121a31a3

=(1aa2)2．2．16提

aa2aa(1a)aa21a

示：六位同学读过的书的总本数等于六本书被读过的人次总数．3．∵x－y=2，即x≠y，∴x，y是方

k32

程2z2－2z+k=0的两根，x+y=1，xy=，又x－y=2，∴k=2xy=－．4．4由x+y=－z，xy=知，

22z

2

x，y是方程t2+zt+=0的两根，由Δ≥0得z≥2，又|x|+|y|=－(x+y)=z≥2．5．设∠BAC=x，则

z

1

B'BD2x,CBD4x,AA'BABA'CBD4x，A'AB(1800x)，∴

2

1

(1800x)+4x+4x=1800，解得x=120．6．B7．C提示：设该单位订甲、乙、丙三种盒饭分

2

xyx22①

别有x，y，z盒，则①×8－②得3y+5z=36，5z=36－3y≤36．由此可知z≤7，且

8x5y3z140②

3y，36均是3的倍数知z是3的倍数．∴z的可能值为0，3，6，相应的y的值为12，7，2．∴共有3

x10x12x14

组解：y12，y7，y2，8．C9．A提示：设甲现在x岁，乙现在y岁，x>y，则有

z0z3z6

y(xy)10111

，10．D提示：由已知得a4+3a2－1=0，()23()10，∴a2，是方程x2+3x

x(xy)25bbb

11a2

－1=0的根．又由a2b≠1得a2≠，由根与系数关系得a2+=－3，=－1，∴

bbb

a6b31111a22

a6(a2)[(a2)23]36．11．x2xyy26提示：设

b3b3bbb3

22

xxyym2m6m6m2m

，则xy，(x+y)=，∴x，y是方程z2z0的两个实根．由

22

xxyy22222

26m22

Δ≥0得m，又(xy)20，m6．12．sinCBF=，BC=10提示：；连结

3233

OE，DF，则OE∥BF，∴AE：EF=AO：OB=3：1，OE：BF=3：4，∴AE=3EF，AO：AB=3：4．设

46

OB=r，则AO=3r，BF=r，AD=2r．由AE·AF=AD·AB得EF=r．在RtΔABC中，BC2=CF·CE=4

33

76FB

（4+EF）=AC2－AB2，解得r=，sin∠CBF=sin∠BDF=．13．设DP=x，则PC=x21，

4DB

2

x1(x1)2

AB=．又设y=AB·SΔABP=，即x+2(1－y)x+1+2y=0．由Δ≥0得y≥4，故AB·SΔABP的

x212(x1)

最小值为4．14．由题设知x1=a1，x2=a2是一元二次方程（x+b1）(x+b2)－1=0的两根，∴（x+b1）(x+b2)

－1=（x1－a1）(x2－a2)．令x=－b1，得（a1+b1）(a2+b1)=－1；令x=－b2，得（a1+b2）(a2+b2)=－1．15．设

2bc

A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<x2，则x1，x2是方程ax+bx+c的两根，∴x1+x2=＜0，x1x2=＞0，则x1

aa

＜，＜∵方程有两个不相等的实根，∴△2＞，得＞①∵，

0x20.=b-4ac0b2ac.OAx1＜1

，即＜＜，

OBx2＜1-1x10

c

-1＜x2＜0，∴xx＜1，得c<a②．从而a≥1，故抛物线开口向上．旦当x=-1时，y>0．∴

a12

a(1)2b(1)c＞0，得b<a+c．∵b，a+c是整数，∴a+c≥b+l③．由①得a+c>2ac+1→

(ac)2>1．由②得ac>1∵a>c+1，即a>（c+1）2≥（1+1）2=4，∴a≥5．又b>2ac

≥251>4，∴b≥5．取a=5，b=5，c=1时．抛物线y=5x2+5x+l满足题设条件，故a+b+c的最小值

为5+5+l=ll.16.设y=m2，（x-90）2=k2，m，k都是非负数，则k2-m2=7×701=1×4907，即(k+m)（k-m）

km701km4907k1354,k22454,

=7×701=1×4907.∴或，解得∴

km7km1m1347;m22453.

x1444,x2264,x32544x42364

∴“好点”共有4个，它们的坐标分别

y1120409;y2120409;y36017209y46017209

为：（444，120409）．（-264,120409），(2544,6017209)，（-2364,6017209）．

bcaacbabc

17．①×②得()(abc)=8

bccaab

(bc)2a2(ac)2b2(ab)2c2

→=8

bccaab

(bc)2a2(ca)2b2(ab)2c2

→44=0

bccaab

(bc)2a2(ca)2b2(ab)2c2

→=0

bccaab

(bca)(bca)(cba)(cba)(abc)(abc)

→=0

bccaab

(bca)

→a(bca)b(cab)c(abc)=0

abc

(bca)

→(2aba2b2c2)0

abc

(bca