2024-2025学年广东省深圳市高三下册第二次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省深圳市高三下学期第二次月考数学检测试题注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】化简集合，，再求交集即可．【详解】＝＝，

，

故＝，故选：D本小题主要考查交集的概念和运算，考查对数不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝（）A.2＋i B.2－iC.－2＋i D.－2－i【正确答案】B【分析】根据复数的加法可求，再由共轭复数的定义可求.【详解】∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2．∴复数z的共轭复数＝2－i．故选：B．本题考查复数的加减法，共轭复数的定义，属于基础题.3.已知向量，若，则实数（）A. B.4 C. D.【正确答案】B【分析】由向量平行的坐标表示求解．【详解】由题意，又，所以，解得，故选：B．4.已知高为4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的4倍，则该圆台的表面积为（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积.【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆，等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心，如图，设圆台上底半径为，则下底半径为，，而等腰梯形的高，因此，解得，所以该圆台的表面积为.故选：D5.奇函数的单调减区间可以是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】奇函数条件确定φ的值,化简后利用正弦函数的单调性求得.【详解】由题

为奇函数，需满足

.代入得：,利用余弦函数的性质，当且仅当

时等式对所有

成立..令.解得.当

时，减区间为

，故选:

A.6.若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可得，，，结合函数的单调性可得，可比较大小.【详解】，，，又在上单调递增，，所以，所以，所以，所以.故选：B7.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（）A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.8【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，则，于是，所以该列车为和谐号的概率为.故选：D8.已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【正确答案】B【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求双曲线的离心率.【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，，则有，到渐近线的距离，，，∴，，则，，，由，有，即，解得，则有，所以离心率.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【正确答案】BCD【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】对于A，若，，则或与相交，故A错误；对于B，由，，，则，又，又，所以，故B正确；对于C，因为，，则的方向向量分别为的法向量，因为，所以，所以，故C正确；对于D，由，，，则，又，，所以，又，，所以，所以，故D正确.故选：BCD.10.随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差可判断AB；再分别计算正态分布与二项分布对对应随机变量的概率可判断CD.【详解】对于正正态分布，可得其期望，，对于二项分布，可得，，所以，，故A正确；B错误；由于正态分布具有对称性，由，可得，故C正确；对于，可得，所以，所以，故D正确.故选：ACD.11.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A. B.为奇函数C.在上为减函数 D.方程仅有6个实数解【正确答案】ABD【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.【详解】A：为偶函数，故，令，得，为奇函数，故，令，得，其中，所以，故A正确；B：因为为奇函数，则,得，又为偶函数，则，得，所以，令得，即，则，即，所以8为函数的一个周期.故，所以，从而为奇函数，故B正确；C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称，所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误；D：作出与的大致图象，如图所示，其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.【正确答案】【分析】利用两角和与差的余弦公式和同角的商数关系即可求解.【详解】由，可得，所以，所以，所以.故答案为.13.已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且，则______．【正确答案】【分析】根据题意和等差数列、等比数列的通项公式可得、，进而得，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，即①；由，得，即②，由①②，得，所以.故答案为.14.设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则__________.【正确答案】【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出.【详解】函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，依题意，，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在梯形中，，，.（1）若，求的长；（2）若，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理进行求解即可.【小问1详解】中，由正弦定理得，则.【小问2详解】因为，所以.由余弦定理得，则，所以.16.如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面.（1）证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用面面垂直求证平面即可；（2）求证即可建立坐标系，再分别求两个平面的法向量.【小问1详解】证明：等边三角形中，为中点，，侧面底面，侧面底面，又平面平面，又平面.【小问2详解】在中，，，.由（1）知，平面，又平面，两两垂直，以分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则不妨取，则，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则不妨取，则，平面的一个法向量为.记平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.17.已知点，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与曲线交于，两点，直线，的斜率之和为0，且，求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设，由斜率公式根据，进而可得；（2）由题意可得，，进而可得直线，，分别联立椭圆方程可得点，，进而可得，，即可得的面积.【小问1详解】设，由题意有：，化简得：，又，故所求动点的轨迹方程为.【小问2详解】设直线的倾斜角为，由，得，得，故，，即，，联立，解得或2（舍），故，联立，解得或2（舍），故，又，，，故.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，求函数在区间上的零点个数.【正确答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；（2）结合（1）分，和两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，再结合零点的存在性定理即可得解.【小问1详解】定义域为，由题意得，当时，恒成立，所以在上单调递增.当时，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；【小问2详解】，由（1）知当时，在上恒成立，所以在上单调递增，因为，，所以由零点存在性定理知，函数在上有1个零点；当时，若，则，若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，可得，当时，，此时在上有1个零点，当时，，因为当时，，，所以此时上有2个零点，当时，，此时在上无零点，综上，当或时，在上有1个零点；当时在上有2个零点；当时在上无零点.方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.19.北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为.（1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望；（2）若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为.（i）请写出与的递推关系；（ii）设，求证.【正确答案】（1）分布列见解析，（2）（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；（2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证.【小问1详解】记附近居民第天选择路线