2024-2025学年广东省深圳市高二3月月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省深圳市高二3月月考数学质量检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】解不等式，得或，因此或，所以.故选：B2.若，则（）A.380 B.190 C.188 D.240【正确答案】B【分析】利用组合数的性质求出，再求出答案.【详解】由，得，所以.故选：B3.已知复数z满足，则复数的虚部为（）A.1 B.－1 C.i D.－i【正确答案】B【分析】根据复数的运算求出，根据共轭复数的概念求出，进而得到答案.【详解】因为，所以，所以，所以复数的虚部为，故选：B4.用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）A.652 B.648 C.504 D.562【正确答案】B【分析】应用乘法原理计算求解.【详解】用0，1，…，9十个数字，先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.故选：B.5.已知向量，．若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由模长公式即可求解；【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B6.随机变量．若，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性求解.【详解】因为且，所以，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以.故选：D7.已知随机变量服从二项分布，若随机变量满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用二项分布的期望公式及性质计算得解.【详解】由随机变量服从二项分布，得，由，得，所以.故选：C8.若随机变量X的分布列如下：12340.10.40.3则（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【正确答案】B【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果.【详解】由题可得，解得．由，可得或4，则（或）．故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）.9.对于随机变量，下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【正确答案】ABD【分析】根据期望和方差变换公式和二项分布、正态分布相关概念求解即可.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：ABD10.已知，则（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】设令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项.【详解】令.对于A选项，，A错；对于B选项，的展开式通项为，令，可得，则，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，所以，，D错.故选：BC.11.蓝牙耳机是基于蓝牙技术的一种小型设备，只需要把这种轻巧的设备藏在耳边而不需要直接使用通讯设备（手机、电脑等）就可以实现自由通话.蓝牙耳机就是将蓝牙技术应用在免持耳机上，让使用者可以免除恼人电线的牵绊，自在地以各种方式轻松通话.自从蓝牙耳机问世以来，一直是行动商务族提升效率的好工具.假设某市场供应的蓝牙耳机中，市场占有率和优质率的信息如下：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一个蓝牙耳机，用，，分别表示买到的蓝牙耳机为甲品牌、乙品牌其他品牌，B表示可买到的优质品，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】利用互斥事件的概率加法公式与条件概率公式求解可判断每个选项的正误.【详解】由题意得，，，因为与互斥，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知服从参数为0.6的两点分布，则__________.【正确答案】##【分析】根据两点分布的基本性质即可求解【详解】.故13.的展开式中的系数为__________.【正确答案】【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，因为，在中，其通项为，令，在中，展开式通项为，令，可得，所以，的展开式中的系数为.故答案为.14.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有4本不同的语文书，第3层放有2本不同的外语书，现从书架上任取1本书，有______种不同的取法.【正确答案】11【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得.【详解】求出不同取法种数有3类办法，从第一层取有5种方法；从第二层取有4种方法；从第三层取有2种方法，由分类加法计数原理，得不同取法种数为.故11四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数．【正确答案】（1）280；（2）-192.【分析】（1）直接利用二项式定理求解第4项系数；（2）写出展开式的通项，令的次数为即可求出项数，进而可计算出系数.【详解】解：（1）的展开式的第4项是．因此，展开式第4项的系数是280．（2）展开式的通项是．根据题意，令，．因此，的系数是．16.从，，等8人中选出5人排成一排.（1）必须在内，有多少种排法？（2），，三人不全在内，有多少种排法？（3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？（4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【正确答案】（1）4200种；（2）5520；（3）240；（4）4440分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可；（2）采用间接法；（3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于，必须相邻，与，都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决；（4）分所选的5人无A、B，有A、无B，无A、有B，有A、B四种情况讨论即可.【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，，，三人全在内有种不同排法，由间接法可得，，三人不全在内共有种不同排法；（3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，，必须相邻，有种不同排法，由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3各空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，若A不排中间时，有种排法，共有种排法；综上，共有4440种不同排法.本题考查排列与组合的综合应用，求排列与组合的应用题的主要方法有：1.优先法，2.捆绑法，3.插空法，4.间接法，5.先整体后局部，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.17.已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为．（1）现有一盒电子笔，抽出两支进行检测．①求抽出的两支均是正品的概率；②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率；（2）已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差．【正确答案】（1）①；②（2）；【分析】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率.（2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差.【小问1详解】①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品，则，，，．②．【小问2详解】由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品，的可能取值为0，1，2，，，，，．18.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．【正确答案】（1）0.05；（2）；；.【分析】首先用数学语言表示已知条件，设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.（1）由条件概率公式计算；（2）由条件概率公式计算．【详解】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.（1）由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.（2）“如果取到零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．P(A1|B)＝＝＝＝.类似地，可得P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.关键点点睛：本题考查条件概率，解题关键是引入字母表示事件，B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，把所求概率事件用表示后根据条件概率公式计算．19.春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.（1）求参与者甲未能参与第四关的概率；（2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.【正