2024-2025学年上学期高二数学苏教版期中必刷常考题之二项式定理

第18页（共18页）2024-2025学年上学期高二数学苏教版（2019）期中必刷常考题之二项式定理一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙校级开学）已知（1﹣ax2）（1+x）4的展开式中x3的系数为12，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣22．（2025•河南校级二模）x（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（）A．2 B．6 C．4 D．﹣43．（2025•芜湖一模）若（1+ax）5的展开式各项系数之和为﹣1，则实数a为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣24．（2025•湖南模拟）(xA．8 B．2 C．﹣8 D．﹣125．（2025•宝鸡模拟）（1+2x+3x2）5展开式中x3的系数为（）A．200 B．230 C．120 D．180二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025春•龙岩校级月考）已知(1-A．展开式中所有项的二项式系数和为22021 B．展开式中所有奇次项系数和为32021C．展开式中所有偶次项系数和为32021D．a（多选）7．（2025•南充模拟）数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系．根据波利亚的思想，由恒等式（1+x）m•（1+x）n＝（1+x）m+n（m，n∈N*）左右两边展开式xr（其中r∈N*，r≤n，r≤m）系数相同，可得恒等式CnA．CnB．C5C．C10D．(（多选）8．（2025•正定县校级开学）已知(1x2A．二项式系数和为128 B．展开式的所有项的系数和为1 C．含x3项的系数与含x6项的系数和为﹣128 D．所有项的系数绝对值之和为729三．填空题（共4小题）9．（2025•天津模拟）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的x2系数为．10．（2025春•渝中区校级月考）2xy(x+y)6的展开式中，x411．（2025•重庆模拟）若(1+x+x2)(x+ax)12．（2025•蓟州区校级模拟）设（﹣2x+1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a6|＝．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•龙岩期末）已知(x-2)(x+1)n=a0+a1x+a2x（1）求n的值；（2）求a3的值．14．（2024秋•呼和浩特期末）设（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈R），已知（1﹣2x）n的展开式中所有项的二项式系数之和为1024．（1）求a0的值；（2）求n的值；（3）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值．15．（2024秋•吉林期末）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：k=0n（1）计算：(C20（2）证明：k=0（3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：k=1

2024-2025学年上学期高二数学苏教版（2019）期中必刷常考题之二项式定理参考答案与试题解析题号12345答案DBDCA一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙校级开学）已知（1﹣ax2）（1+x）4的展开式中x3的系数为12，则实数a的值为（）A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣2【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】D【分析】利用二项展开通项公式，结合题意得到（1﹣ax2）（1+x）4含x3的项为(C43【解答】解：由（1+x）4的展开式通项为Tr+1=C4rxr，含x3的项包含了r因为（1﹣ax2）（1+x）4＝（1+x）4﹣ax2（1+x）4，所以（1﹣ax2）（1+x）4含x3的项为(C所以C43-aC故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．2．（2025•河南校级二模）x（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（）A．2 B．6 C．4 D．﹣4【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】B【分析】利用二项式的展开式的通项可求得x（1﹣x）4的展开式中x3的系数．【解答】解：二项式（1﹣x）4的展开式的通项为Trx（1﹣x）4的展开式中x3的系数即为（1﹣x）4的展开式中x2的系数，令r＝2，可得T3所以（1﹣x）4的展开式中x2的系数为6，所以x（1﹣x）4的展开式中x3的系数为6．故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．3．（2025•芜湖一模）若（1+ax）5的展开式各项系数之和为﹣1，则实数a为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】D【分析】令x＝﹣1，列出等式，即可求解．【解答】解：（1+ax）5的展开式各项系数之和为﹣1，令x＝1，则（1+a）5＝﹣1，解得a＝﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理，是基础题．4．（2025•湖南模拟）(xA．8 B．2 C．﹣8 D．﹣12【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】C【分析】(x4-2)(【解答】解：二项式(1x2-1)5的展开式的通项公式为：Tk+1=C5k(1x因为(x所以(x4-故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．5．（2025•宝鸡模拟）（1+2x+3x2）5展开式中x3的系数为（）A．200 B．230 C．120 D．180【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；定义法；二项式定理；运算求解．【答案】A【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解．【解答】解：（1+2x+3x2）5＝[1+（2x+3x2）]5，由通项公式可得Tr+1=C5r•（2x+3x2）r，r＝0，1，2，3，4则x3的系数由（2x+3x2）r来确定，由其通项公式可得T′=Crk•（2x）r﹣k•（3x2）k=Crk•2r﹣k•3k•xr+k，k＝由r+k＝3（k≤r，r∈N*，k∈N），得r=3k=0所以x3的系数为C53•C30•23•30+C52•C21•2故选：A．【点评】本题考查了二项式定理应用问题，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）6．（2025春•龙岩校级月考）已知(1-A．展开式中所有项的二项式系数和为22021 B．展开式中所有奇次项系数和为32021C．展开式中所有偶次项系数和为32021D．a【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】ABD【分析】根据二项式定理的计算方法与性质即可计算出结果【解答】解：由于(1-对于A，二项式系数之和为C20210+对于B，令x＝﹣1，得32021＝a0﹣a1+a2﹣a3+⋯﹣a2021，①令x＝1，得﹣1＝a0+a1+a2+a3+⋯+a2021，②①+②，可得32021﹣1＝2（a0+a2+⋯+a2020），∴a0+a对于C，①﹣②，得32021+1＝﹣2（a1+a3+⋯+a2021），∴a1+a对于D，令x＝0，得a0＝1，令x=12∴a12+故选：ABD．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．（多选）7．（2025•南充模拟）数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系．根据波利亚的思想，由恒等式（1+x）m•（1+x）n＝（1+x）m+n（m，n∈N*）左右两边展开式xr（其中r∈N*，r≤n，r≤m）系数相同，可得恒等式CnA．CnB．C5C．C10D．(【考点】二项式定理；类比推理．【专题】对应思想；综合法；二项式定理；逻辑思维．【答案】BD【分析】根据范德蒙德恒等式，对n，m，r进行恰当的赋值，并结合组合数的性质对各选项进行判断．【解答】解：对于A，由范德蒙德恒等式，Cm+nr+对于B，在范德蒙德恒等式中，令n＝5，m＝6，r＝6，有C50C对于C，在范德蒙德恒等式中，令n＝m＝6，r＝9，有C100C对于D，在范德蒙德恒等式中，令m＝n，r＝n，有Cn由组合数性质，Cnk=Cnn-故(C所以(Cn1故选：BD．【点评】本题主要考查二项式定理和组合数的性质，属于中档题．（多选）8．（2025•正定县校级开学）已知(1x2A．二项式系数和为128 B．展开式的所有项的系数和为1 C．含x3项的系数与含x6项的系数和为﹣128 D．所有项的系数绝对值之和为729【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】BCD【分析】由二项式定理的性质，求出展开式的通项公式赋值逐项判断即可．【解答】解：因为(1x2-2x)对于A选项，二项式系数和为26＝64，所以A错误；对于B选项，令x＝1，可得展开式中所有项的系数和为（1﹣2）6＝1，所以B正确；对于C选项，因为展开式的通项公式为Tk令3k﹣12＝3，得k＝5，其系数为(-又令3k﹣12＝6，得k＝6，其系数为(-所以这两项的系数和为﹣192+64＝﹣128，所以C正确；对于D选项，由C得T1∼T7的系数正负交错排列，所以令x＝﹣1，得36＝729，所以D正确．故选：BCD．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）9．（2025•天津模拟）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的x2系数为18．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．【答案】18．【分析】依题意利用赋值法令x＝1，可求得a＝1，再利用二项展开式即可求得x2系数．【解答】解：（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，令x＝1，即（a﹣1）（2﹣1）3＝0，解得a＝1；因此（x﹣1）（2x﹣1）3的展开式中含有x2的项为x⋅故答案为：18．【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．10．（2025春•渝中区校级月考）2xy(x+y)6的展开式中，x4【考点】二项展开式的通项与项的系数．【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．【答案】40．【分析】利用二项展开式的通项公式求解．【解答】解：2xy(令7﹣r＝4，得r＝3，故T4x4y2的系数为2C故答案为：40．【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．11．（2025•重庆模拟）若(1+x+x2)(x+ax)【考点】二项式定理的应用．【专题】分类讨论；定义法；二项式定理；运算求解．【答案】-4【分析】根据二项展开式的通项公式，得到(1+x+x2)【解答】解：由题意，二项式(x+ax)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6rarx6-2rr＝3时，T4=C63a3=20a3，则二项式(1+xr＝4时，T5=C64a4x-2=15a4x-2，则二项式则5a3（4+3a）＝0，解得a=-故答案为：-4【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．12．（2025•蓟州区校级模拟）设（﹣2x+1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a6|＝36﹣1．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】36﹣1．【分析】利用赋值法即可求解．【解答】解：令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1，①令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝36，②①+②得a0+a2+a4+a6=3①﹣2得a1+a3+a5=1-又（﹣2x+1）6的通项公式为C6r（﹣2x）r，故ar则|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a6|＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a0＝（a0+a2+a4+a6）﹣（a1+a3+a5）﹣a0=36+12-1-3故答案为：36﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•龙岩期末）已知(x-2)(x+1)n=a0+a1x+a2x（1）求n的值；（2）求a3的值．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】（1）n＝5；（2）a3＝﹣10．【分析】（1）令x＝1即可得解．（2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可．【解答】解：（1）因为(x-2)(x+1)n=a0+a1x+a2x令x＝1时，a0可得n＝5．（2）由（1）知(x故a3所以a3＝﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．14．（2024秋•呼和浩特期末）设（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈R），已知（1﹣2x）n的展开式中所有项的二项式系数之和为1024．（1）求a0的值；（2）求n的值；（3）求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值．【考点】二项式系数与二项式系数的和．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】（1）a0＝1；（2）n＝10；（3）310．【分析】（1）对二项式及其展开式赋值x＝0即可得解．（2）由二项式系数和为2n即可求解．（3）先通过展开式的通项公式Tr+1=C10r(-2x)r得到关于x是奇数次方的项的系数为负，x是偶数次方的项的系数为正，接着赋值x＝﹣1求得a0﹣a1+a2﹣a3+⋯﹣a9+a10，进而|a0|+|a1【解答】解：（1）因为(1-所以令x＝0，则有1n＝a0，即a0＝1．（2）因为（1﹣2x）n的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，所以有2n＝1024，所以n＝10．（3）由（2）可得(1-其展开式的通项公式为Tr所以x是奇数次方的项的系数为负，x是偶数次方的项的系数为正，又当x＝﹣1时，310＝a0﹣a1+a2﹣a3+⋯﹣a9+a10，所以|a【点评】本题考查了二项式定理的应用，属中档题．15．（2024秋•吉林期末）组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：k=0n（1）计算：(C20（2）证明：k=0（3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：k=1【考点】二项式系数与二项式系数的和．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】（1）(C20(C（2）证明见解答；（3）证明见解答．【分析】（1）通过计算可得结果，利用二项展开式中xn的系数相等可证一般性结论；（2）通过（1﹣x2）2n的展开式中x2n的系数相等可证结论；（3）结合前两个结论，作差可证结论．【解答】解：（1）(C20规律：(C（1+x）n（1+x）n的展开式中，xn的系数为Cn同时（1+x）n（1+x）n＝（1+x）2n，（1+x）2n的展开式中xn的系数为C2所以(C（2）证明：（1﹣x2）2n的展开式中x2n的系数为(-又（1﹣x2）2n＝（1﹣x）2n（1+x）2n，（1﹣x）2n（1+x）2n的展开式中x2n的系数为C2所以k=0（3）证明：由（1）可知(C由（2）可知(C两式相减可得2(即k=1【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．

考点卡片1．二项式定理【知识点的认识】二项式定理又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=i=0nCnia例1：用二项式定理估算1.0110＝1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.01故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把(3i-解：由题意T8=C107×(3i)3×故答案为：3603i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．性质1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cn（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜n+12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项Cnn2的二项式系数最大；当2．二项展开式的通项与项的系数【知识点的认识】﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为Tk+1=﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．【解题方法点拨】﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．【命题方向】﹣可能要求考生直接求解二项展开式中某一特定项的系数或幂次，或分析展开式中的通项规律．﹣命题可能涉及二项式定理在不完全展开中的应用，要求考生逆向推导或分析已知条件．3．二项式系数与二项式系数的和【知识点的认识】﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质k=0﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．【解题方法点拨】﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．【命题方向】﹣可能要求考生计算二项式系数的总和、特定项的系数和，或证明二项式系数的恒等式．﹣命题可能涉及二项式系数的递推关系、对称性分析，以及在复杂求和问题中的应用．4．二项式定理的应用【知识点的认识】﹣二项式定理在多个数学领域中有广泛的应用，包括组合数学、概率论以及多项式理论．其