17.2　勾股定理的逆定理

1/1117.2勾股定理的逆定理本节内容是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判定定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法来证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔．【情景导入】播放相声《反正话》表演者：马季、于世猷马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话．于：什么叫做反正话呢？马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！于：咱们可以试试．……马：我脑门子．于：我门(没)脑子！马：我眼珠．于：我猪眼，不像话啊！……听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多命题可以反过来说，这在数学上称为逆命题，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股定理反过来说，大家说它的逆命题还成立吗？【说明与建议】说明：通过一篇引人发笑的经典相声引入新课，活跃课堂气氛，引导学生描述勾股定理的逆命题，激发学生探究勾股定理的逆定理的热情．建议：让同学们借鉴反正话的方式来描述勾股定理的逆命题，从而引出本节课所要讨论的课题．【置疑导入】在美国哥伦比亚大学图书馆里收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些数组揭示了一个什么奥秘呢？经过专家潜心研究，发现其中两列数竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列数(如下表所示左边的一列)，那么每行的3个数就是一个直角三角形的三边的长．你知道这三个数都满足什么关系吗？这三个数之间存在着怎样的奥秘呢？学完这节课，同学们一定会有所收获．12011916934563367482548004601664913500127091854172659736031948127002291354196079912496004817696480496181616045752400167929292401612892700177132299056106命题角度1勾股定理的逆定理1．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是(C)A．9，12，15B．7，24，25C．eq\r(3)，2，eq\r(5)D．1，eq\r(2)，eq\r(3)2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，则AB＝10，∠C＝90°．3．如图，在△ABC中，D是边BC上一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.(1)求∠ADB的度数；(2)求CD的长．解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.(2)在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.命题角度2逆命题、逆定理4．“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，这个定理的逆定理是到角的两边距离相等的点在角的平分线上．5．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是等边三角形的三个角都相等，该逆命题是真命题(填“真”或“假”).命题角度3勾股数6．下列各数组中，是勾股数的是(A)A．6，8，10B．2，2，2C．1，1，eq\r(2)D．0.4，0.3，0.57．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为16，63，65．命题角度4勾股定理的逆定理的应用8．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面不合格．(填“合格”或“不合格”)9．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm.若∠ABC＝90°，则∠ACD＝90°．课题17.2勾股定理的逆定理授课人素养目标1.了解互逆命题和互逆定理的概念．2．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．3．会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．4．会认识并判别勾股数．教学重点勾股定理的逆定理及其应用．教学难点勾股定理的逆定理的证明．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知a＝2.5，b＝6，求c；(3)已知a＝4，b＝7.5，求c.3．思考：分别以上述a，b，c为边的三角形的形状是什么样的？回顾旧知，为新课做铺垫．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，你认为这个三角形是直角三角形吗？师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论．利用古埃及人画直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题．既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】思考：(1)如果改变三条边的结数，是否还能摆放出同样形状的三角形？(2)画画看，三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，观察三角形的形状，再换成4cm，7.5cm，8.5cm试试看．(3)三角形的三边长具有怎样的关系，才能得到上面同样的结论？师生活动：学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，做出实践性预测．教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题．命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．问题：(1)命题1和命题2有怎样的联系？(2)你能举出一些类似的例子吗？提示：命题1和命题2的题设、结论分别是什么？如何证明命题2?如图，若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，试证明△ABC是直角三角形．分析：如图，在△A′B′C′中，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，这个定理称为勾股定理的逆定理．问题：(1)如果原命题成立，那么逆命题也一定成立吗？(2)你能举出互为逆定理的例子吗？师生活动：教师出示问题，学会分组探究，讨论如何证明．教师深入各小组进行帮助和指导．教师汇总学生的讨论结果，然后详细讲解分析此命题的证明过程．学生独立完成证明过程，积极发言，教师细心地听取学生的发言并鼓励学生，最后点评．教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理．为了分清勾股定理和勾股定理的逆定理，我们列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．题设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.结论a2＋b2＝c2这个三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法由此我们可以知道，勾股定理的使用条件必须是直角三角形，并且要分清斜边和直角边，避免盲目代入等式而出现错误；勾股定理的逆定理中的条件中不能出现直角或斜边的字眼．另外勾股定理的字母表达式可以变形运用．1.“命题＋证明＝定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断地尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点．2．通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，引出互逆命题(定理)的概念，理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第32页例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．例2(教材第33页例2)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，则∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2.进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，突出本节的教学重点．活动三：开放训练、体现应用【变式训练】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？(2)求这个零件的面积．解：(1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2.∴△ABD和△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零件符合要求．(2)S零件＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝36.答：这个零件的面积是36.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．3.从实际生活中所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，利用数学模型(勾股定理的逆定理)去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，有效地培养了学生的应用意识．活动四：课堂检测【课堂检测】1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A.5，6，7B．10，8，4C．7，25，24D．9，17，152．下列各命题的逆命题成立的是(B)A.对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C.若a＝b，则|a|＝|b|D．全等三角形的对应角相等3.如图，正方形网格中有△ABC，若小正方形的面积为1，则△ABC的形状为(A)A.直角三角形B．锐角三角形C.钝角三角形D．无法判断4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.师生活动：