江苏专用2024高考数学二轮复习填空题训练综合仿真练八

PAGEPAGE1综合仿真练(八)1．(2024·通州中学)若复数z满意eq\f(zi,z－i)＝1，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．解析：由eq\f(zi,z－i)＝1得zi＝z－i，即z＝eq\f(i,1－i)，所以|z|＝eq\f(|i|,|1－i|)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)2．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∩N解析：因为M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，所以N＝{0,3,9}，所以M∩N答案：{0,3}3．在区间(0,5)内任取一个实数m，则满意3<m<4的概率为________．解析：依据几何概型的概率计算公式得，满意3<m<4的概率为P＝eq\f(4－3,5－0)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)4．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是2，则数据3x1,3x2，…，3x100的标准差为________．解析：由x1，x2，…，x100的方差是2，则3x1,3x2，…，3x100的方差是18，所以所求标准差为3eq\r(2).答案：3eq\r(2)5．在如图所示的算法中，输出的i的值是________．解析：当i＝1时，S＝2；当i＝3时，S＝6；当i＝5时，S＝30；当i＝7时，S＝210>200.所以输出的i＝7.答案：76．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e＝________.解析：由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b”，则b＝eq\f(a＋c,2)，即a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝c2.整理得3c2－2ac－5a2＝0，所以3e2－2e－5＝0，解得e＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)7．设正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的边长为1，其表面积为14，则AA1解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA1＝3.答案：38．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝lnx在x＝e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax－y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．解析：因为y′＝eq\f(1,x)，所以曲线y＝lnx在x＝e处的切线的斜率k＝y′|x＝e＝eq\f(1,e).又该切线与直线ax－y＋3＝0垂直，所以a·eq\f(1,e)＝－1，所以a＝－e.答案：－e9．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x＋2，,y≥x，,0≤y≤4，,x≥0))表示的平面区域的面积为S，则S的值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S＝eq\f(1,2)(42－22)＝6.答案：610．已知函数f(x)＝sinωx－eq\r(3)cosωx(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．解析：易得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))，设t＝ωx－eq\f(π,3)，因为0<x<π，所以－eq\f(π,3)<t<ωπ－eq\f(π,3).因为函数f(x)在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－eq\f(π,3)≤2π，解得eq\f(4,3)<ω≤eq\f(7,3).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))11．若两个非零向量a，b的夹角为60°，且(a＋2b)⊥(a－2b)，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是________．解析：由(a＋2b)⊥(a－2b)，得(a＋2b)·(a－2b)＝0，即|a|2－4|b|2＝0，则|a|＝2|b|，cos〈a＋b，a－b〉＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝eq\f(a2－b2,\r(a2＋2a·b＋b2)·\r(a2－2a·b＋b2))＝eq\f(3b2,\r(21)b2)＝eq\f(\r(21),7).答案：eq\f(\r(21),7)12．(2024·扬州中学模拟)已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S6＝－9，S8＝4，若满意不等式n·Sn≤λ的正整数n有且仅有3个，则实数λ的取值范围为________．解析：不妨设Sn＝An2＋Bn，由S6＝－9，S8＝4，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36A＋6B＝－9，,64A＋8B＝4，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝1，,B＝－\f(15,2)，))所以nSn＝n3－eq\f(15,2)n2，令f(x)＝x3－eq\f(15,2)x2，则f′(x)＝3x2－15x＝3x(x－5)，易得数列{nSn}在1≤n≤5，n∈N*时单调递减；在n>5，n∈N*时单调递增．令nSn＝bn，有b3＝－eq\f(81,2)，b4＝－56，b5＝－eq\f(125,2)，b6＝－54，b7＝－eq\f(49,2).若满意题意的正整数n只有3个，则n只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－54，－\f(81,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－54，－\f(81,2)))13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(a,2cosA)＝eq\f(b,3cosB)＝eq\f(c,6cosC)，则cosAcosBcosC＝________.解析：由题意及正弦定理得eq\f(tanA,2)＝eq\f(tanB,3)＝eq\f(tanC,6)，可设tanA＝2k，tanB＝3k，tanC＝6k，k＞0，而在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，于是k＝eq\f(\r(11),6)，从而cosAcosBcosC＝eq\f(3,\r(20))×eq\f(2,\r(15))×eq\f(1,\r(12))＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)14．已知函数f(x)＝eq\f(\r(2x3＋7x2＋6x),x2＋4x＋3)，x∈[0,4]，则f(x)最大值是________．解析：法一：当x＝0时，原式值为0；当x≠0时，由f(x)＝eq\f(\r(2x3＋7x2＋6x),x2＋4x＋3)＝eq\f(\r(2x＋7＋\f(6,x)),x＋4＋\f(3,x))，令t＝eq\r(2x＋7＋\f(6,x))，由x∈(0,4]，得t∈[2＋eq\r(3)，＋∞)，f(x)＝g(t)＝eq\f(2t,t2＋1)＝eq\f(2,t＋\f(1,t)).而t＋eq\f(1,t)≥4，当且仅当t＝2＋eq\r(3)时，取得等号，此时x＝eq\r(3)，所以f(x)≤eq\f(1,2).即f(x)的最大值为eq\f(1,2).法二：f(x)＝eq\f(\r(2xx2＋4x＋3－x2),x2＋4x＋3)＝eq\r(\f(2x,x2＋4x＋3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋4x＋3)))2)，于是令t＝eq\f(x,x2＋4x＋3)，所求的代数式为y＝eq\r(2t－t2).当x＝0时，t＝0；当x≠0时，有t＝eq\f(1,x＋4＋\