五年级奥数完整教案老师版

奥数第一讲巧算

小挚友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，常常要进行计算？在数学

课里我们学习了一些简便计算的方法，但假如擅长视察、勤于思索，计算中还能

找到更多的奇妙的计算方法哦，不仅使你能算得好、算得快，还可以让你变得聪

慧和机敏。

一、计算：

9.996+29.98+169.9+3999.5

解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算，但是，这几个数每

个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数“凑整”以后,

就简洁计算了。当然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。

9.996+29.98+169.9+3999.5

=10+30+170+4000-(0.004+0.02+0.1+0.5)

=4210-0.624

=4209.376

二、计算：1+0.99—0.98—0.97+0.96+0.95—0.94-0.93+...+0.04+0.03-0.02

-0.01

解：式子的数是从1起先，依次削减0.01,直到最终一个数是0.01,因此，式

中共有

1()()个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个

数……这样的依次排列的。

由于数的排列、运算的排列都很有规律，依据规律可以考虑每4个数为一组添

上括号，每组数的运算结果是否也有确定的规律？可以看到把每组数中第1个

数减第3个数，第2个数减第4个数，各得0.02,合起来是0.04,那么，每组数

(即每个括号)

运算的结果都是0.04,整个算式100个数正好分成25组，它的结果就是25个

0.04的和。

1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93一…+0.04+0.03-0.02—0.01

=(1+0.99-0.98-0.97)+(0.96+0.95-0.94-0.93)+...+(0.04+0.03-0.02

-0.01)

=0.04x25

=1

假如能够敏捷地运用数的交换的规律，也可以按下.面的方法分组添上括号计算：

14-0.99-0.98-0.974-0.964-0.95-0.94-0.93+...+0.04+0.03-0.02-0.01

=1+(0.99-0.98-0.97+0.96)+(().95—().94-0.93+0.92)+…+(0.03-0.02

-0.01)

=1

三、计算：

0.1+0.2+0.3+…+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20

解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但细致视察，它事实上由两个等差数

列组成，

0.1+0.2+0.3+…+O.8+O.9是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多

0.1,而0.10+0.11+0.12+…+0.19+0.20是其次个等差数列，后面每一■个数都

比前一个数多0.01,所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。

0.1+0.2+0.3+...+0.8+0.9+0.10+0.II+0.12+...+0.19+0.2

=(0.1+0.9)X9+2+(0.10+0.20)X1R2

=4.5+1.65

=6.15

四、计算：

9.9x9.9+1.99

解：算式中的99x9.9两个因数中一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，

积不变，即这个乘法可变为99x0.99+1.99可以分成0.99+1的和，这样变更以

后，计算比较简便。

9.9x9.9+1.99

=99x0.99+0.99+1

=(99+1)x0.99+1

=100

五、计算：

2.437x36.54+243.7x0.6346

解：虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437和后一

个乘法的243.7两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，假如把其中一个乘

法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的，就可

以运用乘法安排律进行简算了。

2.437x36.54+243.7x0.6346

=2.437x36.54+2.437x63.46

=2.437x(36.54+63.46)

=243.7

六、计算：

Llxl.2xl.3xl.4xL5

解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求

和的方法来计算这个算式的结果C平常留意积累计算阅历的同学或许会留意到

7、11和13这三个数连乘的积是1001,而一个三位数乘1001,只要把这个三

位数连续写两遍就是它们的积，例如

578x1001=578578,这一题参照这个方法计算，能奇妙地算出正确的得数。

1.1x1.2x13x1.4x1.5

=1.1x1.3x0.7x2x1.2x15

=1.001x3.6

=3.6036

练习

1.5.467+3.814+7.533+4.186

2.6.25x1.25x6.4

3.3.997+19.96+1.9998+199.7

4.().1+0.3+...+0.9-0.11+0.13+0.15+...+0.97+0.99

5.199.9x19.98-199.8x19.97

6.23.75x3.987+6.013x92.07+6.832x39.87

7.20042005x20052004-20042004X

8.(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)一(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12

+0.23)

这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框

内填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可能

230560或238568

又230560+88=2620

238568+88=2711

所以，本题的答案是2620或2711.

例3、123456789口口，这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数

最小是

因为36=9x4,所以这个十一位数既能被9整除，又能被4整除.因为1+2+…

+9=45,由能被9整除的数的特征,(可知口+口之和是0(0+0)、9(1+8,8+1,

2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4)和18(9+9).再由能被4整除的数的特征:这

个数的末尾两位数是4的倍数，可知□□是00,04,…，36,…，72,…96.这样,

这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.

所以,这个数的个位上的数最小是0.

例4、下面一个1983位数33…3口44…4中间漏写了一个数字(方框)，已

访个""W个

知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是.

思、路导航:

991个991个

=赴二10须+3口4乂10顿+44…4

990个990个

因为111111能被7整除，所以空二3和44^4都能被7整除,所以只要

990个990个

3口4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

例5、有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数.这三个

数是_____.

思路导航:

三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是11的倍数,而3与11互质，

所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有

当和为33时，三个数是10,11,12；

当和为66时,三个数是21,22,23；

当和为99时,三个数是32,33,34.

所以，答案为10,11,12或21,22,23或32,33,34。

［注］“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：

设三个连续自然数为n,/7+2,则

/T+(/T+1)+(加2)

=3??+3

=3(加1)

所以，〃+(〃+1)+(〃+2)能被3整除.

二、巩固训练

1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1

的数,它的两个数字之和也能被4整除.全部这样的两位数的和是—.

2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数

的乘积,那么这个自然数是.

3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和，用〃表示A的

各位数字之和，。表示B的各位数字之和,那么。是.

4.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，假

如把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是____.

1.118

符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,

假如十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数确定是9,这种两

位数有:39、79.

所以，所求的和是39+79=118.

2.195

因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15xl5=225>200,所以其中至

少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数，但11不行能符合条件,因为对

于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是

奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13x13=169不

合要求，13x15=195适合要求.所以，答案应是195.

3.9

依据题意，两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.

因为3456=384x9,所以任何一个四位数乘3456,其积确定能被9整除,依据

能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以力有以下

八种可能取值：9,18,27,36,45,54,63,72.从而/的各位数字之和〃总是9,"的各

位数字之和C也总是9.

4.9

,・•0+1+4+7+9=21能被3整除，，从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的

四位数能被3整除.即有0,1,4,7^1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到人排列

为：1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.

三、拓展提升

1.找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数,它们的和总可以

被它们的差整除，假如要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那

么这四个数里中间两个数的和是多少？

2.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修

改？

3.试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相

连的数中，都至少有两个数可被3整除？假如回答：“可以”，则只要举出一种排

法；假如回答：“不能”，则需给出说明.

答案

1.假如最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只

有2和3两数，因此最小的数必需大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个

数,仍不符合要求，因为5+2=7,不能被5-2=3整除再往下就是2、3、4、6,经试

算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.

2.因为225=25x9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,乂能

被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改，只要看前三个数字即可，

依据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为

2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4

改为3；把1改为9；乃2改为1.

3.不能.

假设能够依据题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列依次将它

们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数，于是,在每一组的5

个数中都至少有两个数是3的倍数.从而一共有不少于40个数是3的倍数.但事

实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致冲突.

奥数第三讲数字谜

小挚友们都玩过字谜吧，就是一种文字嬉戏，列如“空中码头”（打一城市名）。

谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天这个地名第1个

字可能是天。"码头''指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天''字，简

洁想至『'天津''这个地名，而“津''正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天

津。

算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无

法分辨，须要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把

算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用口、

△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延长，用文字或字

母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同

的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。

在数学里面，文字也可以组成许很多多的数学嬉戏，就让我们一起来看看吧。

①横式字谜

一、例题与方法指导

例1、□,口8,口97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得

这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？

思路导航:150X3-8-97-5=340

所以3个数之和为3+4+5=12。

例2、我学数学乐x我学数学乐二数数数学数数学学数学

在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。假如

“乐”代表9,那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：学=1,我=8,数=6，81619X81619=6661661161

例3、(□+□:□)=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数,

使左边的数比右边的数小，并且等式成立。

思路导航:

这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：

a-r(b-rc-rd)=axcxd+b(去括号)

当a=l时，有6x8+2=24,8x9+3=24；

当a=2时,有4x9=3=12,6x8:4=12,8x996=12；

所以，满意要求的等式有：1+(2-r6-r8)=24,14-(398-9)=24.2+

(3:4:9)=24,29(4:6+8)=24,2:(6：8：9)=24。

例4、①口乂口二5口；②12+□一口二口，把1至9这9个数字分别填入上

面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

分析：依据第一个等式，只有两种可能:7x8=56,6x9=54；假如为7x8=56,

则余下的数字有：3、4、9,明显不行；而当6x9=54时，余下的数字有：3、7、

8,那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满意。

二、训练巩固

1.迎迎x春春二杯迎迎杯，数数x学学二数赛赛数，春春x春春二迎迎赛赛

在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的

数字。假如这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？

分析：考察上面三个等式，可以从最终一个等式入手：能够满意：春春x春

春二迎迎赛赛的只有83x88=7744,于是，春=8,迎=7,赛=4；这样，不难得到

第一个为：77x88=6776,其次个为：55x99=5445；

所以，迎+存+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。

2.迎+春乂春=迎春，(迎+杯)x(迎+杯)二迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的

数字。那么“迎+春+杯”等于多少？

分析：同样可以从其次个算式入手，发觉满意要求的只有(8+1)x(8+1)

=81,于是，迎二8；

这样，第一个算式明显只有：8+9x9=89：所以，迎+春+杯=8+9+1=18。

三、拓展提升

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：

(1)5X02口；(2)6乂口=3口。

2.将3〜9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：

(1)口4■□=□+(2)口4~口＞口4~口。

3.在下列各式的口中填入合适的数字：

(1)448・□□二□；(2)28224-

(3)13X00=4口6。

4.在下列各式的口中填入合适的数：

(1)04-32=8........31；(2)5734-32=0........29；

(3)4837+口=74.......27。

答案与提示练习22

4.(1)287；(2)17；(3)65o

②竖式字谜

一、例题与方法指导

例1在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不

同的数字.那么“喜爱”这两个汉字所代表的两位数是多少？

分析：首先看个位，可以得到“欢''是0或5,但是“欢''是其次个数的十

位，所以“欢，不能是()，只能是5。再看十位，“欢”是5,加上个位有进位1,

那么，加起来后得到的“人”就应当是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”

只能是2；由此可知，“喜”等于8。所以，“喜爱”这两个汉字所代表的两位数就

是85。

例2在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示

不同的数字.假如：巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少？

分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必

定是5(0明显可以排出)；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2,结果尾

数还是“字”，那说明"字''只能是6；再看百位，三个“数’湘加再加上进位2,结

果尾数还是“数”,“数”可能是4或9；再看千位，(1)假如“数”为4,两个“解”

相加再加上进位1,结果尾数还是“解”，那说明"解”只能是9；5+6+4+9=24.

30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；(2)假如“数”为9,两个“解”

相加再加上进位2,结果尾数还是“解”，那说明"解”只能是8；5+6+9+8=28.

30-28=2,可以。所以"数字谜''代表的三位数是965。

例3图4-4是一个加法竖式，其中E,F,I,N,O,RS,T,X,Y分别表

示从0到9的不同数字，且F,S不等于零.那么这个算式的结果是多少？

分析：先看个位和十位，N应为0,E应为5；再看最高位上，S比F大1；

千位上O最少是8；但因为N等于0,所以，I只能是1,O只能是9；由于百位

向千位进位是2,且X不能是0,因此确定了T、R只能是7、8这两个；假如

T=7,X=3,这是只剩下了2、4、6三个数，无法满意S、F是两个连续数的要求。

所以，T=8、R=7；由比得到X=4；那么，F=2,S=3,Y=60所以，得到的算式

结果是31486。

二、训练巩固

1.在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表

不同的数字.那么D+G等于多少？

分析：先从最高位看，明显A=l,B=0,E=9；接着看十位，因为E等

于9,说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、

4,3、5和4、6三种可能。所以，D+G就可以等丁6,8或1()。

2.王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的

数相加得9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王

老师家的电话号码.

分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，

abcd+efg=9063,abc+defg=2529：

首先从第一个算式可以看出，a=8,从其次个算式可以看出，d=l；再回到第一个

算式，g=2,掉到其次个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9,掉到其次个算式,

b=3；那么，e=6o所以，王老师家的电话号码是83王692。

3.将一个四位数的各位依次颠倒过来，得到一个新的四位数.假如新数比原

数大7902,那么在全部符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？

分析：用abed来表示愿四位数，那么新四位数为deba,dcba-abcd=7902；

由最高为看起，a最大为2,则d=9；但个位上10+a-d=2,所以，a只能是1；接

下来看百位，b最大是9,那么，c=8正好能满意要求。所以，原四位数最大是

1989o

三、拓展提升

1.已知图4-6所示的乘法竖式成立.那么ABCDE是多少？

1ABCDE

x3

ABCDE1

图4-6

分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857o142857X3=428571。

2.某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面，所构成

的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少？

分析：由个位起逐个递推：4X4=16,原十位为6；4X6+1=25,原百位

为5；4X5+2=22,原千位为2；

4X2+2=10,原万位为()；1X4=4,正好。所以，原数最小是102564。

奥数第四讲定义新运算

定义新运算通常是用特别的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本

上明确定义或己经约定的符号，例如“+、-、X、;、、＞、v”等。表示运算意义的

表达式，通常是运用四则运算符号，例如a☆b=3a・3b,新运算运用的符号是☆,

而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要准确理解新运算的意义，严格依据

规定的法则进行运算。假如没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的详细的

数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

值得留意的是：定义新运算一般是不满意四则运算中的运算律和运算性质，

所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

一、例题与方法指导

例1、设ab都表示数，规定aab表示a的4倍减去b的3倍，即aab=4xa-3xb,

试计算5A6,6A5。

FT?5A6=5X4-6X3=20-18=2

6A5=6X4-5X3=24-15=9

说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。

例2、对于两个数a、b,规定a☆b表示3xa+2xb,试计算(5☆6)☆7,5女(6仝7)。

思路导航:

先做括号内的运算。

解：(5☆6)☆7=(5x3+6x2)☆7=27☆7=27x3+7x2=95

5^(6^7)=5☆(6x3+7x2)=$☆32=5x3+32x2=79

说明本题定义的运算不满意结合律。这是与常规的运算有区分的。

例3、已知2Zk3=2x3x4,4A2=4X5,一般地，对自然数a、b,aAb表示

ax(a+l)x...(a+b-1).

计算(6A3)-(5A2)。

思路导航:

原式=6x7--5x6

=336-30

规定：aA=a+(a+l)+(a+2)+...+(a+b-1)，其中a,b表示自然数。

例4、已知3=1十2十3二6,求100的值。口知1075,求x.

思、路导航:

(1)原式=1+2+3+…+100=(1+100)x100^2=5050

(2)原式即x+(x+l)+(x+2)+…+(X+9)=75,

所以：10X4-(1+2+34-...+9)=75

10x+45=75

10x=30

x=3

例5、定义运算：a0b=3a+5ab+kb,

其中a,b为随意两个数，k为常数。比如：207=3x2+5x2x7+7k。

(1)已知502=73。问：805与508的值相等吗?

(2)当k取什么值时，对于任何不同的数a,b,都有aOb=b0a,即新运算

符合交换律？

分析与解：

(1)首先应当确定新运算中的常数k。因为5G»2=3x5+5x5x2+kx2=65+2k,

所以由已知502=73,得65+2k=73,求得k=(73-65)+2=4。定义的新运算是：

aOb=3a+5ab+4bo

805=3x8+5x8x5+4x5=244,508=3x5+5x5x8+4x8=247。

因为244夕47,所以805±5G8c

(2)要使aOb=bOa,由新运算的定义，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0,

3x(a-b)-k(a-b)=0,

(3-k)(a-b)=0o

对于两个随意数a,b,要使上式成立，必有3-k=0,即k=3。

当新运算是aG>b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即aOb=b0a。

例6、对随意的数a,b,定义：f(a)=2a+1,g(b)=bxbo

(1)求f(5)-g(3)的值；

(2)求f(g(2))+g(f(2))的值；

(3)已知f(x+1)=21,求x的值。

解：(1)f(5)-g(3)=(2x5+1)-(3x3)=2；

(2)f(g(2))+g(f(2))

=f(2x2)+g(2x2+1)

=f(4)+g(5)=(2x4+1)+(5x5)二34；

(3)f(x+1)=2x(x+1)+1=2x4-3,

由f(x+1)=21,知2x+3=21,解得x=9。

二、巩固训练

1、若对全部b,aZ\b=aXx,x是一个与b无关的常数；a^b=(a+b)：2,且

(1A3)☆3=1A(3*3)o求(1A4)的值。

2、假如规定：③=2x3x4,④=3x4x5,⑤=4x5x6,.......,©=8x9x10,求

⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。

3、对于随意的两个数a和b,规定a*b=3xa・b+3。求8*9的值。

4、对于随意的两个数P,Q,规定P+Q=(PxQ)-4。例如：2☆8=(2x8)-4。

已知(8^5)=10,求x的值。

5、定义：定义：aAb=ab-3b,aOb=4a-b/ao计算：(4A3)△(2O4)o

6、已知：2©3=2x3x4,4©5=4x5x6x7x8,......

求(4©4):(3©3)的值。

7、定义两种运算“※”和“△”如下：

aXb表示a,b两数中较小的数的3倍，

aAb表示a,b两数中较大的数的2.5倍。

比如:4X5=4x3=12,比5=5x2.5=12.5。

计算：［(0.6X0.5)+(0.3A0.8)］引(1.2X0.7)-(0.64A0.2)］。

8、设m,n是随意的自然数,A是常数，定义运算mG>n=(Axm-n)4-4,

并且203=0.75。试确定常数A,并计算：(5。7)x(202):(3。2)。

9、对随意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数，余数记为ab,比

如7#3=1,5#29=4,4#20=0o

(1)计算：1998#2000,(5#19)#19,5#(1#95)；

(2)已知ll#x=4,x小于20,求x的值。

1()、对于随意的自然数a,b,定义：f(a)=axa-l,g(b)=b:2+l。

(1)求f(g(6))-g(f(3))的值；

(2)己知f(g(x))=8,求x的值。

奥数第五讲周期性问题

在日常生活中，有一些现象依据确定的规律不断重复出现。如：人调查十二

生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四

个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常遇到的有确定周期的问题，我

们称为简洁周期问题。这类问题一般要利用余数的学问来解决。

在探讨这些简洁周期问题时，我们首先要细致审题，推断其不断重复出

现的规律，也就是找出循环的固定数，假如正好有个整数周期，结果为周期里的

最终一个；假如不是从第一个起先循环，利用除法算式求出余数，最终依据余数

的大小得出正确的结果。

一、例题与方法指导

例1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期.

思路导航:

因为7x4=28,由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，

且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日

起到这年6月1日共经过了

31+30+31+1=93（天）.

因为937=13-2,所以这年6月1日是星期二.

例2、1989年12月5m是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_____.

思路导航:

夜•意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有

365x10+2=3652（天）

因为（3652+1）+7=521…6,所以再过十年的12月5日是星期日.

［注］上述两题（题1一题2）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解

答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要依据“四年

一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就

是闰年，公历年数为整百数时，必需是400的倍数才是闰年.

例3、按下面撰法搜80个二角形，有个白色的.

思路导航:

反囱中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是

这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.

因为80+6=13-2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色

三角形13x3=39（个）.

例4、节日的校内内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、

绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,

小明想第73盏灯是灯.

思路导航:

底就意知，电灯的安装排列如下：

白，红，黄，绿，白，红，黄，绿，白，……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替

循环出现的，也就是这一排列的周期为4.

由73^-4=18-1,可知第73盏灯是白灯.

例5、时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间

是_____.

思路导航:

分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小

时，19914-24=82-23,1991小时共82天乂23小时.现在是14时正，经过82天仍

旧是M时正,再过23小时，正好是13时.

［注］在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短

针,就组成了我们每天见到的钟面.钟面虽然是那么的简洁平常，但在钟面上却包含着特别好

玩的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面.

例6、在100米地跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学从一端起先，按两

女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？

解：一侧：1004-2=50（人）50+1=51（人）

514-（2+1）=17组

一组里有2个女生，女生2X17=34（人）

两侧共有女生34X2=68（人）

答：共有女生68人。

二、巩固训练

1.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列,那么数“1992”在

列.

第一列其次列第三列第四列第五列

12345

9876

1011121314

18171615

•••・•♦••••••

•••••••••

2.把分数g化成小数后，小数点第110位上的数字是.

3.循环小数O.i9925力与05456）.这两个循环小数在小数点后第位,

首次同时出现在该位中的数字都是7.

4.一串数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,

....共有1991个数.

（1）其中共有一个1,_____个9_____个4；

（2）这些数字的总和是.

5、7x7x7x.......x7所得积末位数是.

k-------5^-------）

答案：

1、3

细致视察题中数表.

(fl2345（奇数排）

第一组■

9876（偶数排）

r1011121314（奇数排）

其次组.

18171615（偶数排）

7920212223（奇数排）

第三组

27262524（偶数排）

可发觉规律如下：

（1）连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四

个数的规律循环排列；

（2）视察其次组,第三组,发觉奇数排的数假如用9除有如下规律:第1列用9

除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.

（3）10+9=1…1,10在1+1组，第1列

19+9=2…1,19在2+1组,第1列

因为1992+9=221・・・3,所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3

列数的位置上.

2、7

4

-=0.57142857……

7

它的循环周期是6,详细地六个数依次是

5,7,1,4,2,8

110+6=18…2

因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.

3、35

因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小

公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数

字都是7.

4、853,570,568,8255.

不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环，即周期为7,且每

个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991・7=284…3,所以这串数中有284个周

期,加上第285个周期中的前三个数1,9,9.其中1的个数是:3、284+1=853（个），9

的个数是2x284+2=570（个），4的个数是2x284=568（个）.这些数字的总和为

1x853+9x570+4x568=8255.

三、拓展提升

1.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘

积的个位数.例如8x9=72,在9后面写2,9x2=18,在2后面写8,……得到一串数

字：

1989286……

这串数字从1起先往右数，第1989个数字是什么？

2.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和

末两位数是多少？

3.设炉2、2x2x.....x?,那么〃的末两位数字是多少？

4.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自

右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1

厘米的短木棍有多少根？

答案：1、依照题述规则多写几个数字：

可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884,每6个一组，即循环周期为

6.因为（1989-4）+6=330…5,所以所求数字是8.

2、1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘

的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3

个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是

61,51,41,31,21,11,0：,11个1991相乘积的末两位数字是91,……，由此可见,

每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990+10=199,所

以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.

3、〃是1991个2的连乘积,可记为小2牖,首先从2的较低次幕入手找寻规

律,列表如下:

n的十〃的个〃的十〃的个

nn

位数字位数字位数字位数字

210221296

220421392

230821484

2,1621568

216

253236

266421772

272821844

炉562,988

291222076

2102422152

2"4822204

视察上表,简洁发觉自矛起先每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,

周期为20.因为1990・20=99…10,所以2所与2H的末两位数字相同，由上表知

211的十位数字是4,个位数字是8.所以,〃的末两位数字是48.

4、因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们

可以看作是从同一端点染色.

6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色,这样染色就会

出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.

।由［示步知知11厘萧的短朵棍，每一周期中正做陨第1周期

中,6-^=1,坎＜5-限＜43°剩秦10厘米中有一段9惭以脑开后长1厘米的短木棍共有

7段.综合算式为：

2x［(100-10)+30］+1

=2x3+1

二7(段)

［注］解决这一问题的关键是依据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化

为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发觉周期现象化难为易.

奥数第六讲行程问题

行程问题是小学奥数中变更最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小

升初”的升学考试中，都拥有特别重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流

水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自

己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变更，都离不开“三

个量，三个关系”：

这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

三个关系：1.简洁行程：路程二速度X时间

2.相遇问题：路程和=速度和X时间

3.追击问题：路程差二速度差X时间

牢牢把握住这三个量以与它们之间的三种关系，就会发觉解决行程问题还是

有很多方法可循的。

①追击与相遇问题

一、例题与方法指导

例L有甲、乙、丙三人同时同地动身，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向

行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走

36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？

思路导航:

这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三

个人的速度，以与一个“3分钟”的时间。

第一个相遇:在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为（40+36）X3=2281米）

第一个追击：这228米是由于在起先到甲，乙相遇的时间里，乙.丙两人的

速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228+（38-36）

=114（分钟）

其次个相遇：在1：4分钟里，甲、乙二人一起走完了全程

所以花圃周长为（40+38）XI14=8892（米）

我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简洁的问题，使解题思路更

加清楚。

例2,东西两地间有一条马路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度

从东到西地，1.5小时后，乙车从西地动身，再经过3小时两车还相距15千米。

乙车每小时行多少千米？

思路目肮:

从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行

了多少路程和行这段路程所用的时间。

解：（1）甲车一共行多少小时？15+3=4.5（小时）

（2）甲车一共行多少千米路程？25x4.5=112.5（千米）

（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）

（4）乙车每小时行多少千米？（105-15）=3=30（千米）

答：乙车每小时行30千米。

例3.兄妹二人同时从家里动身到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑

自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就马上返回来在途

中与妹妹相遇。从动身到相遇，妹妹走了儿分钟？相遇处离学校有多少米？

思路导航:

从囱中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的

2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时动身，相向而行，

哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就

简洁了。

解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400x2=2800（米）

（2）从动身到相遇所需的时间:28004-（200+80）=1（）（分）

（3）相遇处到学校的距离：1400-80x10=600（米）

答：从动身到相遇，妹妹走了1（）分钟，相遇处离学校有600米。

二、巩固训练

1.两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城动身，相向而行。

甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽搁1小时，然后接着

行驶，与甲相遇，求动身到相遇经过多少时间？

分析:假如乙在中途不停车，那么甲、乙两人从动身到相遇共行路程的和：

328+22x1=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米/小时），然后依据相遇

问题“路程和：速度和二相遇时间”得350:50=7（小时）

解：（328+22x1）.（28+22）

=350:5（）

=7（小时）

解法2：

（328-22x1）.（28+22）

=300:50

=6（小时）

6+1=7（小时）

答：从动身到相遇经过了7小时。

2.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过

3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？

分析：

从图中可知：快车3小时行的路程40x3=120千米，比全程的一半多12千米，

全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千

米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。

解：①甲乙两地路程的一半：40x3-12=108（千米）

②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米）

③慢车的速度：96-3=32（千米）

答：慢车每小时行32千米。

3.小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达

对方城市后马上以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少

千米？

分析：

从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85

千米。当小华和小明其次次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85

千米，假如再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以

求出来了。

解：（1）甲乙动身到其次次相遇时，小华共夕亍了多少千米？85x3=255（千

米）

（2）甲乙两城相距多少千米？（255+35）^2=290-2=145（千米）

答：两城相距145千米。

三、拓展提升

1.客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每

小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度接着前进，客车到达乙站后马上返

回，货车到达甲站后也马上返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。

求甲乙两站相距多少千米？

分析

如图，从动身到其次次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一

共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3

个全程的时间为216：6二36小时，由此可求出行一个全程时间：36：3二12小时，

因而可以求出甲乙两站的距离。

解:①从动身到其次次是两车行驶的时间：216-（54-48）=36（小时）

②从动身到第一次相遇所用的时间：36-3=12（小时）

③甲乙两站的距离：（54+48）x12=1224（千米）

答：求甲乙两站相距1224千米。

2.甲、乙、丙三辆车同时从A地动身到B地去，甲、乙两车速度分别为每

小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们动身后6小时、7小

时、8小时先后