高考文数一轮夯基作业本11-第十一章复数算法推理与证明第四节　直接证明与间接证明

第四节直接证明与间接证明A组基础题组1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-acA.ab>0 B.ac>0C.(ab)(ac)>0 D.(ab)(ac)<03.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定4.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大小2 D.至少有一个不小于25.已知函数f(x)=12x,a,b为正实数,A=fa+b2A.A≤B≤C B.A≤C≤BC.B≤C≤A D.C≤B≤A6.不相等的三个正数a,b,c成等差数列,并且x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,则x2,b2,y2三数()A.成等比数列而不成等差数列B.成等差数列而不成等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列7.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负8.(2016北京东城一模)每年的三月十二号是植树节,某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树,绿一方净土”的义务植树活动.活动将65个家庭分成A,B两组,A组负责种植150棵银杏树苗,B组负责种植160棵紫薇树苗.根据往年的统计,每个家庭种植一棵银杏树苗用时25h,种植一棵紫薇树苗用时35h.假定A,B两组同时开始种植,若使植树活动持续的时间最短,则A组的家庭数为,此时活动持续的时间为9.在数列{an}中,已知a1=14,an+1an=14,bn+2=3log(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等差数列.10.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=12x2x+3(2)是否存在常数a,b(a>2),使函数h(x)=1x+2是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出B组提升题组11.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得aman=4a1,则1A.32 B.53 C.25612.(2017北京海淀期中)给定条件:①∃x0∈R,f(x0)=f(x0);②∀x∈R,f(1x)=f(1+x).下列三个函数:y=x3,y=|x1|,y=cosπx,其中,同时满足条件①②的函数的个数是()A.0 B.1 C.2 D.313.(2015北京海淀第一学期期末)已知点A在曲线P:y=x2(x>0)上,☉A过原点O,且与y轴的另一个交点为M.若线段OM,☉A和曲线P上分别存在点B,点C和点D,使得四边形ABCD(点A,B,C,D顺时针排列)是正方形,则称点A为曲线P的“完美点”.那么下列结论中正确的是()A.曲线P上不存在“完美点”B.曲线P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于1C.曲线P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于12D.曲线P上存在两个“完美点”,其横坐标均大于114.(2016北京西城一模)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色的涂料,且三个房间的颜色各不相同.三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表:房间A房间B房间C35m220m228m2涂料1涂料2涂料316元/m218元/m220元/m2那么在所有不同的粉刷方案中,最低的涂料总费用是元.

15.(2015北京丰台第一学期期末)设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意x∈D,都有f(x+T)=T·f(x),则称函数y=f(x)是“似周期函数”,非零常数T为函数y=f(x)的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”y=f(x)的“似周期”为1,那么它是周期为2的周期函数;②函数f(x)=x是“似周期函数”;③函数f(x)=2x是“似周期函数”;④如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,那么“ω=kπ,k∈Z”.其中真命题的序号是.

16.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,当f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.(1)证明:1a(2)试比较1a(3)证明:2<b<1.

答案精解精析A组基础题组1.A“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要作的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.2.Cb2-ac<3a⇔b2ac<3a2⇔(a+c)2ac<3a2⇔a2+2ac+c2ac3a2<0⇔2a2+ac+c2<0⇔2a2acc2>0(2a+c)>0⇔(ac)(ab)>0.3.C∵cosAcosCsinAsinC>0,即cos(A+C)>0,∴cosB>0,∴cosB<0,B为钝角.故△ABC为钝角三角形.4.D∵a>0,b>0,c>0,∴a+1b+=a+1a+b+15.A因为a,b为正实数,所以a+b2≥ab≥2aba+b,又f(x)=16.B由已知条件,可得a由②③得a=x2b,即x2+y2=2b2,故x2,b2,y2成等差数列(x2,b2,y2不成等比数列).7.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>x2,则f(x1)<f(x2)=f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.8.答案25;125解析设A组有x个家庭,则B组有(65x)个家庭.当两组同时完成植树任务时用时最短,由此列方程为25×150x=35×160解得x=25.经检验,x=25是原方程的解,且符合题意.此时两组同时完成植树任务,持续的时间为1259.解析(1)因为a1=14,an+1an=14,所以数列{an所以an=14n(n∈N(2)证明:因为bn=3log14a所以bn=3log14所以b1=1,公差d=3,所以数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.10.解析(1)由已知得g(x)=12(x1)2+1,其图象的对称轴为直线x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2b+3解得b=1或b=3,因为b>1,所以b=3.(2)不存在.理由如下:假设函数h(x)=1x+2在区间[a,b因为h(x)=1x+2所以有h(a即1aB组提升题组11.A由题意可知,a5q2=a5q+2a5(q>0,a5>0),化简得q2q2=0,解得q=2或q=1(舍去).由aman=4a1,得a1qm1·a1qn1∴qm+n2=16=24,∴m+n=6,∴1m+4n=1m+≥165+24当且仅当4mn=即m=2,n=4时,取“=”.12.B条件②说明函数图象的对称轴是x=1,函数y=x3是奇函数,满足条件①,但不满足条件②.y=|x1|图象的对称轴是x=1,满足条件②,不满足条件①.y=cosπx的图象关于x=1对称,满足条件②,当x=12时,f-12f12=cos1即此时满足f-12=f故函数y=cosπx同时满足条件①②,故选B.13.B如图所示,过点A作AH垂直于y轴,垂足为H.设A点的坐标为(x,x2)(x>0),因为AH<AB=22AC=2故x2<12(x2+x4因为x>0,故x>1.又因为当x增大时,由抛物线趋势可知AD的增幅大于AB的增幅,故仅存在一个点A使得AD=AB,即“完美点”唯一,且横坐标大于1,故选B.14.答案1464解析共有6种方案:①35×16+20×18+28×20=560+360+560=1480元.②35×16+20×20+28×18=560+400+504=1464元.③35×18+20×16+28×20=630+320+560=1510元.④35×18+20×20+28×16=630+400+448=1478元.⑤35×20+20×16+28×18=700+320+504=1524元.⑥35×20+20×18+28×16=700+360+448=1508元.其中方案②总费用最低,为1464元,即面积大的房间用价格最低的涂料,面积最小的房间用最贵的涂料,面积中等的房间用费用中等的涂料.15.答案①③④解析若函数y=f(x)的“似周期”为1,则f(x1)=f(x)=f(x+11)=f(x+1),即f(x)是周期为2的周期函数,所以①正确;若f(x)=x是“似周期函数”,则存在非零常数T,对任意x∈R满足f(x+T)=x+T=Tf(x)=Tx,显然不可能,所以②错误;若f(x)=2x是“似周期函数”,则存在非零常数T,对任意x∈R满足f(x+T)=2(x+T)=Tf(x)=T·2x,即2T=12T=T,而函数y=12x与y=x的若函数f(x)=cosωx是“似周期函数”,则存在非零常数T,对任意x∈R满足f(x+T)=cos[ω(x+T)]=Tf(x)=Tcosωx,则T=±1,若T=1,则有cos(ωx+ω)=cosωx,可得ω=2kπ,k∈Z;若T=1,则有cos(ωxω)=cosωx,可得ω=2kπ+π,k∈Z,所以ω=kπ,k∈Z,所以④正确.综上所述,真命题的序号是①③④.16.解析(1)证明:∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,∴