立体图形的直观图课件-高一下学期数学人教A版4

8.2立体图形的直观图第八章立体几何初步整体感知[学习目标]

1．掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．2．会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图．[讨论交流]

预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：问题1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？问题2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？问题3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？[自我感知]经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1水平放置的平面图形的直观图的画法探究问题图①②是从不同角度拍摄同一个魔方的照片，哪个图更能给人立体感？如何画这种立体图形？[提示]

①更能给人立体感．为了在平面内表示立体图形，可以利用平行投影画直观图．[新知生成]1．直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．2．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的________画法．平行投影3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤45°135°水平面x′轴或y′轴线段保持原长度不变一半【教用·微提醒】

1．斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．2．斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．【链接·教材例题】例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．[解]画法：(1)如图8.2-4(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O．在图8.2-4(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．

[典例讲评]

1．(源自苏教版教材)画水平放置的正三角形的直观图．

反思领悟

关于斜二测画法作图(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采用对称建系或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变，纵减半”．(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置．[学以致用]

1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．[解]

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使∠x′O′y′＝45°．

探究2空间几何体的直观图的画法[新知生成]立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个__轴，直观图中与之对应的是____轴．(2)画底面：________________表示水平平面，________________和________________表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中______和____都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为____．zz′O′x′y′平面O′y′z′平面O′x′z′平面平行性长度虚线【链接·教材例题】例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图．分析：画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．[解]

画法：(1)画轴．如图8.2-6，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)画底面．在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1cm．过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．(3)画侧棱．在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB′，CC′，DD′．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了．【链接·教材例题】例3已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图．[解]

(1)画轴．如图8.2-7，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1cm．利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．(3)画上底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝3cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′．类似下底面的作法作出圆柱的上底面．(4)成图．连接AA′，BB′，整理得到圆柱的直观图．例4某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．

分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求，

画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了．[解]画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图．[典例讲评]

2．(源自北师大版教材)用斜二测画法画正五棱锥的直观图．[解]

(1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图)；(2)画z′轴(z′轴与x′轴的夹角为90°)，并画高(与原长相等)(如图①)；(3)连线成图，擦去辅助线，且将被遮线画成虚线(如图②)，就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图③)．反思领悟

画空间几何体的直观图的策略(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图．(2)画空间几何体的步骤可简单总结为：画轴→画底面→画侧棱→成图．[学以致用]

2．(1)已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(

)A．2cm

B．3cmC．2.5cm D．5cm(2)(源自北师大版教材)画出上、下底面边长分别为2cm和4cm、高为2cm的正四棱台的直观图．√(1)D

[圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行(或在z轴上)的线段长度不变，仍为5cm，故选D．](2)[解]

第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形ABCD；第二步，取四边形ABCD对角线中点O，过点O作z轴，且OO′＝2cm；第三步，建立平面坐标系O′x′y′，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形A′B′C′D′；第四步，连接AA′，BB′，CC′，DD′，得四棱台ABCD-A′B′C′D′即为所求，如图：【教用·备选题】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm)[解]画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2cm．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．探究3直观图的还原与计算[典例讲评]

3．如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是________，其面积为________．菱形

发现规律

1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度____，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的____，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝___S或S＝____S′．不变2倍

√√

【教用·备选题】如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，求△ABC的边AB上的高．

243题号1应用迁移√1．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在O′x′y′平面上，则圆柱的高应画成(

)A．平行于z′轴且大小为10cmB．平行于z′轴且大小为5cmC．与z′轴成45°且大小为10cmD．与z′轴成45°且大小为5cm243题号1A

[平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．]23题号142．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是(

)√A

BC

D23题号14

23题号41

√

23题号41243题号14．下列结论正确的是________(填序号)．①相等的角在直观图中仍然相等；②相等的线段在直观图中仍然相等；③水平放置的三角形的直观图是三角形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．③③

[对于①，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；对于③，三角形的直观图仍然是三角形，正确；对于④，菱形的直观图不一定是菱形，