复数的乘除运算课件-高一下学期数学人教A版(1)2

复数的乘、除运算第七章复数7.2复数的四则运算整体感知[学习目标]

1．掌握复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．掌握在复数范围内解方程的方法．[讨论交流]

预习教材P77－P79的内容，思考以下问题：问题1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？问题2．复数乘法的运算律有哪些？问题3．如何在复数范围内求方程的解？[自我感知]经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1复数乘法的运算法则和运算律探究问题1类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？[提示]

复数的乘法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)·(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．[新知生成]1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝_____________________．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有以下运算律：交换律z1z2＝______结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3【教用·微提醒】

一般地，对任意自然数n，有i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i．【链接·教材例题】例3计算(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．[解]

(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i．例4计算：(1)(2＋3i)(2－3i)；(2)(1＋i)2．分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算．[解]

(1)(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝4－(－9)＝13；(2)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i．[典例讲评]

1．(源自湘教版教材)计算：(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1000．[解]

(1)(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2＝12＋2×1×i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2＝12－2×1×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500×i500＝2500×1＝2500．反思领悟1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[学以致用]

1．(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)i是虚数单位，若(1＋mi)(2－i)为纯虚数，则实数m的值为(

)A．2

B．4C．－2

D．－4√√

探究问题3类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？[提示]

设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi．∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi．

【链接·教材例题】例5计算(1＋2i)÷(3－4i)．

√√

探究3在复数范围内解方程【链接·教材例题】例6在复数范围内解下列方程：(1)x2＋2＝0;(2)ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2－4ac＜0．分析：利用复数的乘法容易得到(1)中方程的根．对于(2),当Δ＝b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于(1)，就能在复数范围内求得(2)中方程的根．

[典例讲评]

3．在复数范围内解下列方程：(1)x2＋5＝0；(2)x2＋6x＋10＝0．

[学以致用]

3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是不是方程的根．

(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．∴1－i是方程的根．【教用·备选题】

(源自苏教版教材)在复数集C内解下列方程：(1)z2＋4＝0；(2)z2－10z＋40＝0．

243题号1应用迁移

√

23题号14

√

23题号413．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝(

)A．1 B．±1C．i D．±i√D

[因为z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i．当z＝i时，z3＝i3＝－i．当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i．所以z3＝±i．]243题号14．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，则该方程在复数范围内的解为__________．

1±2i1．知识链：(1)复数的乘法运算及运算律．(2)复数的除法运算．(3)在复数范围内解方程．2．方法链：分母实数化、配方法、求根公式法．3．警示牌：分母实数化时注意不要因忽视i2＝－1造成运算错误．

2．复数除法的实质是怎样的？[提示]

复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．3．实系数一元二次方程的虚根有何特点？[提示]

实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．利用复数产生分形图以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时阅读材料f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值z0，z1，z2，…，zn，…．如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f(z)的收