高中数学圆的方程典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结

类型一：巧用圆系求圆的过程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。

常用的圆系方程有如下几种：

（1）以3B）为圆心的同心圆系方程［x-ap+O-斤=兄2（工＞0）

⑵过直线,：出+玲+C=°与圆V+"+”+野+讨二°的交点的圆系方程

/+y2+0x+£y+H+；l（74x+£y+C）=O

⑶过两圆。1：/+/+D/+鸟丁+耳二0和圆工-/+/+2工+4）+为=°的交点的圆系方程

/+/+口工+鸟》+用+2（/+/+Ax+4尸+鸟）=0（魂w—1）

此圆系方程中不包含圆,a,直接应用该圆系方程，必须检验圆1是否满足题意，谨防漏解。

当4=-1时，得到两圆公共弦所在直线方程

（Q-A）x+（瓦一瓦»+（耳一居）二0

例1：密摞噌号X-6尸+冽=0与直线芯+2y-3=0相交于艮°两点，o为坐标原点，若

分析：此题最易想到设出产a,K）,Qs”影）,由。尸,°。得到再X。）皿二°,利用设而不求的

思想，联立方程，由根与系数关系得出关于物的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系

°PL°Q，不难得出°在以尸。为直径的圆上。而产，。刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点

的圆系方程，可极大地简化运算过程。

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解：过直线x+2»-3=0与圆/+/+彳_6>+物=0的交点的圆系方程为：

X2+y2+x-6.y+w+l(x+2j/-3)=0，即

x2+(1+2”+2(/—3)>+冽-3兄=0①

1+4,1

依题意，0在以尸。为直径的圆上，则圆心(2')显然在直线升+2»-3=0上，则

-1±^+2(3-^)-3=0

解之可得2=1

又0(，°)满足方程①，则闭-32=0故学=3

例2:求过两圆,+/=25和(l1丫+0-球=16的交点且面积最小的圆的方程。

解:0^+/=25和(1)2+0-1)2=16的公共弦方程为

x2+y2-25-[(7-l)2+(.y-n2-16]=0,即2入+2了-11=0

过直线2x+2了-11=0与圆/+/=25的交点的圆系方程为

x2+.y3-25+l(2x+2.y-11)=0,即/+/+2兄%+2月/一。1兄+25)=0

a=-口

必在上四斤睡碌圆满积最犯虫鹰麟径最<1或则两圆的公甦强丽厮碳国圜禀每程国册英圆方即

,11、2/11、279

例3:求证：m为任意实数时，直线(m-l)x+(2m-l)y=m-5恒过一定点P,并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

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解：由原方程得m(x+2y-l)-(x

+y-5)=0,①

(x+2y-l=0解得jx=9

x+y-5=0y=-4

即lI

・•・直线过定点P(9,-4)

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=25,直线I:(2m+l)x+(m+1)y-7m-4=0(meR).

(1)证明：不论m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆C截得的弦长最小时I的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

(1)证明：I的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

♦「mdR,;{2x+y-7=0得-x=3,

x+y-4=0,y=l,

即I恒过定点A(3,1).

•.•圆心C(l,2),|AC|=/<5(半径)，

:点A在圆C内，从而直线I恒与圆C相交于两点.

(2)解：弦长最小时，I_LAC,由I<AC=—,

-I的方程为2x-y-5=0.

评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

类型二：直线与圆的位置关系

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例5、若直线y=x+加与曲线y=<4-X2有且只有一个公共点,求实数，〃的取值范围.

解：•.曲线y=、，；4-尤2表示半圆x2+y2=4()，20)，，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是

-2<m<2^m=2盘.

变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=W-”恰有一个公共点，则卜的取值范围是__________.

解析：利用数形结合.

答案：-l<k41或k=-屁

例6圆(x—3)2+(>—3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解.或先求出直线//的方程，从代数计算中寻找解答.

解法一：圆(工一3)2+(、-3)2=9的圆心为0|(3,3)，半径厂=3.

|3x3+4x3-11|

设圆心空直线3-=。的距离为d,则d----,,---=2<3

y/32+42

如图,在圆心。尸侧，与直线3»6-11=。平彳迪巨离为1的直线(与圆有两个交点,这两个交

点符合题意.

又r—d=3-2=1.

，与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.

二符合题意的点共有3个.

解法二：符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求

直线为3x+4y+m=。.则〃==1

,32+42

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m+11=±5,即机=-6,或机=-16,也即

/：3x+4y-6=0，或/：3x+4y-16=0.

12

设圆。(x_3)2+(y_3)2=9的圆心到直线/、/的距离为d、d,则

11212

_|3x3+4x3-6|_J3x3+4x3-iq_

d=----,=—=3,d=-----,=-1.

1432+422<32+42

・・•/与。相切，与圆。有一个公共点；I与圆。相交，与圆。有两个公共点.即符合题意的点共3

111211

小

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

|3x3+4x3-11|

设圆心。।到直线3x+4)，-11=0的距离为d，贝！|d==2<3

、/32+42

・・・圆。到3x+4)-11=0距离为1的点有两个.

1

显然，上述误解中的〃是圆心到直线3》+4)，-11=0的距离,d<r,只能说明此直线与圆有两个

交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.

类型三：圆中的最值问题

例7:圆X2+y2-4犬-4y_1°=°上的点到直线X+y-14=0的最大距离与最小距离的差是

解：•••圆仁-2)2+(),-2)2=18的圆心为(2,2),半径/'=3展，，圆心到直线的距离

d-5、吃>r直线与圆相离，二圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

+r)-(d-r)=2r=6y/2,

例8(1)已知圆O(x-3)2+(y-4)2=1,P(x,y)为圆。上的动点，求d=x2+>2的最大、最小值.

y-2c

(2)已知圆0G+2)2+>2=1,,y)为圆上(『点求~——的最大、最小值，求X_2y的最大、

2X-1

最小值.

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.

解：(1)(法1)由圆的标准方程(X-3)2+(y_4)2=1.

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X=3+COS。，n日公她、

可设圆的参数方程为（°是参数）.

y

贝Ud=%2+y2=9+6cos®+COS2®+16+8sin°+sin2。

4

=26+6cos。+8sin。=26+10cos（9-0）（其中tan<|）=_）

3

所以d=26+10=36,d=26-10=16.

maxmin

（法2）圆上点到原点距离的最大值”等于圆心到原点的距离〃•加上半径1,圆上点到原点距离的最

11

小值”售书圆心到原点的距离“避去半径

所以4=,32+42+1=6.

1

d=132+42-1=4.

2

所以d=36d=16.

maxmin

=-2+cos0,

（2）（法1）由（x+2b+），2=1得圆的参数方程：〈0是参数.

Q

皿1y-2_sin0-2令sin0-2=t,

人」丑二口.令森后.

得sin。-tcos0=2-3t,Jl+f2，皿（。一小）=2一3t

2-31=pin（0-（|））|<1=>3邛<t<3+途

J1+I2

所以1=3+、京f_3-后

max4min4

即y-2的最大值为3+7,最小值为3-、回.

x-144

此时x-2y=-2+cos9-2sin。=一2+J5cos（。+。）.

所以X-2y的最大值为-2+/,最小值为-2-4.

（法2）设213=攵，则丘—y-攵+2=0.由于P（x,），）是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示,

X—}

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两条切线的斜率分别是最大、最小值.

一，=卜2：—2+2|=i徨>==

J1+A24

所以二的最大值为3+力,最小值为3y.

x-144

令x-2y=t,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.

,,I—