高中数学必修一《单调性与奇偶性》微专题讲义

微专题1.单调性与奇偶性微专题

设计目标.

本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，

函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专

题课达到两方面目标：

1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通

过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.

2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性

的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培

优的效果.

二.知识回顾

1.函数的单调性定义

2.判断或证明函数单调性的常见方法

3.单调性的常见应用

4.函数奇偶性定义

5.判断或证明函数奇偶性的常见方法

6.奇偶性常见应用

三.微专题探究

2.1.奇偶性与单调性综合问题.

例1.已知偶函数在区间0+8）上单调递增，则满足/（2xT）＜/（；）的x取

值范围为（）

例2.已知函数〃x)=x5+10x,若“r)+/(l-3r)<0,则实数r的取值范围是()

11

A.-.4-00C.D.—00—

24

例1.解析.."(x)为偶函数，「./(x)=/(|x|).则/(|2x—l|)

ii7

又,."(x)在［0,+-)上单调递增，|2X—1|<3,解得5Vx<§.故选：A.

例2解析：由题得/(一%)=一/一1Ox=_(/+］0幻=一/(尤)，所以函数/(x)是奇函数，

因为r(x)=5/+io>O,所以是R上的增函数，所以/(，)<—/(1-3，)=/(3，—1),

所以/<3，-1,.二方>—做选：A

2

练习1.定义在R上的偶函数/*)满足：对任意的％，9£［。，+°°)(不工9)，有

**2)-"&)<0贝|J()

马一天

A./(2021)</(-2020)</(2019)B./(2019)</(-2020)</(2021)

C./(-2020)</(2019)</(2021)D./(-2020)</(2021)</(-2019)

故选：A.

2.2函数的对称性.

函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况.函数对称性研究的是一个

函数本身所具有的性质.

1.轴对称：函数图象关于一条垂直于x轴的直线对称，则当函数图象上任意两个

点(%,/(尤1)),(々，/(々力到直线x=a的距离相等且函数值/(%,)=f(x2)时.我们

就称函数y=/(%)关于x=。对称.

代数表示：(1).f(a+x)-f(a-x)

(2)./(x)=/(2a-x)

即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线x=a对

称.

一般地，若函数y=/(x)满足/(a+x)=/(b-x),则函数y=/(x)的图象关

于直线x=生心对称.

2

特别地，偶函数(关于)，轴对称)，/(%)=/(-%),即当横坐标到原点的距离

相等(横坐标互为相反数)，函数值相等.

2.中心对称：函数y=/(x)上任意一点()关于点(a,b)对称的点

(x2,/(x2))也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点(。力)对称的中心对

称图像，点(a,〃)为对称中心.

用代数式表示：(1).+

(2)./(%)+f(2a—x)-2b

一般地，若函数y=/(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则函数的图象关于点

(粤对称.

22

特别地，奇函数(关于原点对称)，/(x)=-/(-x),即当横坐标到原点的距

离相等(横坐标互为相反数)，函数值相反.

3.注释：对称性的作用：知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析

一侧的性质，便可得到整个函数的性质.

(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.

(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一

半的图象.

(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对

称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.

2.3.对称性的应用

2.3.1对称性与单调性

例3.在R上定义的函数/(x)是偶函数,且"x)=〃2-x).若"x)在区间［L2］上

是减函数，则()

A.在区间［-2-1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

B.在区间卜2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数

C.在区间上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D.在区间上是减函数，在区间［3,4］上是减函数

例3解析：由/(力=/(2—力可得/(x+l)=/(l—x),所以解析的对称轴为x=l,

因为函数是偶函数，所以=

由〃x)="2r)可得：〃r)"(2+x),

所以〃x)=/(2+x),所以是周期为2的周期函数，

若在区间U2上是减函数，根据对称性可知/(X)在［()』上是增函数，

根据周期为2可知：/(x)在区间卜2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数，

故选：A.

2.3.2已知对称性求解析式

例4.已知函数y=f(x)的定义域为(e』)(l,4w),且〃x+l)为奇函数，当x<l时,

f(x)=-x2-2x,则.f(x)=：的所有根之和等于

A.4B.5C.6D.12

例4解析：因为/(x+1)为奇函数，所以图像关于(0,。)对称，

所以函数y=fM的图像关于(1,0)对称，即〃x)+〃2-力=0

当x<l时，fM=-x2-2x,

所以当尤>1时，/U)=X2-6X+8

当-x?-2x=g时，可得±+&=-2

当;c2-6x+8=g时，可得忍+匕=6

所以/*)=g的所有根之和为6-2=4

故选A

2.3.3对称函数的图象性质

例5.已知函数/(xgeR)满足/(%)=/(2-％),若函数y=|V—2x-3|的图象

“1

与函数y=/(x)的图象的交点为(为,M),区,必)，…(x,“，y”)，则2可=()

i=l

A.0B.tnC.2mD.4m

结论1.若/(x)=/0。-幻或/^-幻:/5+何则y二人幻的图像关于直线》二。

对称.设f(x)=0有〃个不同的实数根，贝IJ

玉+%2+,・・+工〃=%+(2〃一2)+%2+(2。一*2)+・・・+工〃+(2«-xn)=na.

22

(当〃=24+1时，必有X]=2。一%],=>X]=a)

_V4-1

例8.已知函数/(用(了€/?)满足了(一幻=2-7(幻，若函数y=-------与y=/(x)图

X

_叫

像的交点为。2，、2)…，(七”3，则Z(X，+%)=

1=1

A.0B.mC.2mD.4m

结论2.若y=/(x)关于点(/?,%)对称，则x+x'=2/?,y+y，=2%,

BP/(x)+f(x/)=f(x)+f(2h-x)=2k.

一般地，对于

f(xt)+f(x2)+---+f(xn)+f(2h-xn)+f(2h-xn_1)+---+f(2h-x])=2nk

练习2.已知函数〃x+l)是偶函数，当1"<吃时，"(玉)-外电)]。-&)>0恒

成立，设〃=/(-£),。=〃2),c=f(3),则叫3c的大小关系为()

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

练习3.已知函数y=/(x)在区间[0,2]上单调递增，且函数/(x+2)为偶函数,

则下列结论成立的是()

—({HUB.佃［⑴<呜)

C.佃</(|卜川)>©")倔

练习2【详解】

当1VxicW时，［/(为)一/(々)］(十一马)>。,则/(w)>/(xj,

所以，函数/(X)为(1,+»)上的增函数,

由于函数〃X+1)是偶函数，可得/(1+X)=/(1—X),

•■•“7信M「11“+{H1}

3>—>2>1,因此，b<a<c.

2

故选：A.

练习3【详解】

因为函数/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(—x+2),即函数/(x)的图象关于x=2对称,

又因为函数y=/(x)在区间［0,2］上单调递增，所以函数y=/(x)在区间［2,4］上单调递减.

因为〃1)=〃3)，|>3>|,所以

故选：B.

一'单选题

1.已知函数y=F(x)(xeR)满足/(—)=6-/(2+力，若函数y=-——与y=/(x)(xeR)

x-l

〃1

图象的交点为(不y)，(%，%)(%%,),则Z(x,+y)的值为()

/=1

A.4/77B.3mC.2mD.m

2.已知函数〃x）（xeR）满足〃f）=6-〃x）,函数产危+3的图象与y=〃x）的

II

图象的交点为（ax）,（孙卫）,…，（与，％）,则2（占+）1）=（）

i=l

A.40B.50C.33D.70

3.已知函数/（x+1）是偶函数，当々＞占＞1时，［〃动-“再）［（々-X）＞0恒成立,

设-；j/=/（T），c=/⑵贝IJa,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

4.已知定义在R上的函数/“）在（T，w）上为增函数，且函数/（x-1）为偶函数，则

11

J（-4）J⑶的大小关系为（)

1111

A.f</(-4)</(3)B./MX/</(3)

1111

C./(3)</</(-4)D./(-4)</(3)</

5.已知函数y=/（x）是定义在R上的奇函数，且/（x）=-“X+2）,当x«0,2）时,

/(x)=2x-x2,则的大小关系是()

A./图</(—)</(7)B.</(«-)</(-1)

C.D./(-!)</

二'填空题

6.若函数“同=（厂3）.3-〃）为偶函数，且在（0,+8）上单调递增，则/,（2-力＞0的

解集为.

7.已知定义在R上的奇函数＞=〃尤）满足〃2+X）=〃T）,且/⑴=2,贝I］

〃102）+/（103）的值为.

8.已知函数y=/（x）是定义在R上的偶函数，当xN（）时，/（x）=x-2,那么不等

式2〃x)+1＜。的解集是.

三.直击高考

1.(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为K,/(X+1)为奇函数,

9

/(%+2)为偶函数，当xe[l,2]时，/(x)=o?+/，.若/(0)+〃3)=6,贝I]/

2.(2019年高考数学课标全国II卷理科)设函数/(%)的定义域为R,满足

/(x+l)=2/(x),且当xe(O,l]时，/(x)=x(x-l).若对任意xe(Y0,〃?],都有

Q

/(X)N-2,则用的取值范围是

9

A.-00,—B.-co,—C.-co,—D.-oo,-

I4」(3」(2」I3」

3.(2018年高考数学课标II卷(理))已知/(幻是定义域为(fo,+8)的奇函数,

满足〃l-x)=/(l+x).若阿=2,则/⑴+〃2)+八3)++/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

参考答案

练习题

1.A

解：由/(-x)=6-/(2+x),得/(2+x)+/(-x)=6,

所以函数y=/(x)(xeR)的图像关于点(1,3)对称,

3x-2^11=3+4

因为y=

x-\x—\x-\

所以>的图像可以看成是由y=，的图像向右平移i个单位，再向上平移3个单位得

x-1X

到的，所以函数y=1的图像关于点(1,3)对称，

所以函数了=2=与y=/(x)(xeR)的图像交点关于点(1,3)对称，

x-1

所以％+/=*2+x“,T=W+x,“_2=…=2,y+y,„=y2+ym_t=y3+y,„_2=…=6，

设M=&+々+/+…+x”，贝I]M=xm+xm_}+%,„,2+•■•+%),

所以2M=(%+x”)+(x,+)+…+(x,“+%)=2"，所以例=加，

设N=%+必+%+…+%，则N=ym+ym_t+几_2+…+X，

所以2%=(%+%)+(必+%1)+…+(%+y)=6〃i,所以N=3m,

所以，£(%+y)=M+N=4〃？

i=\

故选：A

2.C由/(x)=6-/(—x)可知y=/(x)的图象关于点(0,3)对称，

又因为y=d+3的图象也关于点(0,3)对称，

所以两个函数的图象的交点关于点((),3)对称，

即X+%2+•••+%]=o,y+必+…+y“=33,

所以W(x,+%)=33,故选：C.

»=1

3.D.由题设知：xw(l,”)时，f(x)单调递增，

・・•/(X+1)是偶函数，

・••/(X)关于X=1对称，即xw(-00,1)上/(X)单调递减,

由对称性可知：c=/(2)=/(0),而

2

J./(—1)>/(-万)>/(0),即A>a>c.

故选：D.

4.D.因为函数/(x-1)为偶函数，所以函数/(x)关于x=-l对称，

又因为函数f(x)在(TE)上为增函数，所以函数/(x)在(ro,-1)上为减函数,

又因为1(-4)-(一1)1<|3-(一1)卜]^■[(一1),所以〃-4)<〃3)

故选：D

5.C.由于“X)是R上的奇函数，且f(x)=-f(x+2),

所以〃x+4)=/(x+2+2)=-/(x+2)=/(x),

所以f(x)是周期为4的周期函数.当xe(O,2)时，

/(x)=2X-X2=-x2+2x./(-l)=-/(I)=-(-l+2)=-l<0,

/(49>o.

4

/(1)=/'(万-4)=-/(4-")=一[-(4一%)2+2(4-%)]

=/-6万+8=(九一2)(乃一4)a-0.9804>—1.

所以〃-1)<〃幻</(£|.

故选：C.

6.(5,+oo)-.-/(x)=(x-3)・(ar-b)=ar2-(3a+Z?)x+3Z?为偶函数,

/(-%)=+(^3a+b^x+3b=ax2-(3a+b)x+3h,

3a+b=0,即人=一3。，

/(x)=ax2-9a=a^x2-9),

・・•1(同在(0,+e)上单调递增，一.a>0,

,//(2-x)=iz(-x-l)(5-x)>0,

(x+l)(x-5)>0,解得x<-l或x>5,

・・.不等式的解集为(F,-1)U(5,m).

故答案为：(f^T)(5,+00).

7.-2对任意xeR,由/(x)是奇函数得了(-x)=-/(x),又“2+x)=/(-x),所以

/(x+2)=-/(x),贝l]/(x+4)=-/(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数.

由fM是R上的奇函数得/(0)=0,所以/(102)=/(2)=/(0)=0,

/(103)=/(3)=/(-1)=-/(I)=一2,故/(102)+./(103)=-2.

故答案为：-2.

x|-2<<2因为当X20时，/(x)=x-2,所以/(T)=|-2=-g,

8.x

22

即〃x)(同,

由2/(x)+l<0可得：/(x)<-p

因为函数y=/(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(X)=/(-X)=,

所以可刈</图，

因为xNO时，f(x)=x-2,可知y=/(x)在(0,+。)单调递增,

所以|小彳