人教A版高中数学必修二《第六章 平面向量及其应用》单元导学案

人教版高中数学必修二《第六章平面向量及其应用》单元导学案

6.1平面向量的概念

【学习目标】

L了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示：

2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概

念；

3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区

别.

5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学

本质的能力.

【教学重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量

的概念，会表示向量.

【教学难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

【知识梳理】

1.(1)向量：既有，又有的量叫做向量.

(2)数量：只有,没有的量称为数量.

2.向量的几何表示

(1)的线段叫做有向线段.它包含三个要

素:、、•

(2)向量可以用表示.向量硼大小，也就是向量福I勺(或

称_)，记作.向量也可以用字母ab.c,…表示，或用表示向量的有

向线段的起点和终点字母表示，例如，而，O).

3.向量的有关概念

零向量长度为——的向量，记作____

单位向量长度等于—_个单位的向量

平行向量方向_—____的非零向量

(共线向量)向量a、6平行，记作______

拈!定：—一与任一向量平行

长度____且_方向____的向量

相等向量

向量a与6相等，记作_

【学习过程】

一、探索新知

（一）向量的实际背景与概念

1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？

2.（1）向量与数量的定义：

既有，乂有的量叫做向量（物理学中称为矢量）；

只有，没有的量叫做数量（物理学中称为标量）.

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小：向

量具有大小和方向这双重要素，曰于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.

练习1：下列量不是向量的是（〉

（1）质量（2）速度（3）侑移（4）力（5）加速度

（6）面积（7）年龄⑻身高

（二）向量的几何表示

探窕：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示,

那么，怎么表示向量呢？

1.有向线段的定义

在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说

线段AB具有方向，具有的线段叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB

线段AB的K度也叫做有向线段而的K度，记作I而I.

思考：•条有向线段由哪几人基本要素所确定？

2.向量的几何表示

画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.

其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

3.向量的表示方法：

一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如茄、①O

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a,

b,c,…（书写时用注意用…表示）.

注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.

数学中的向量也叫自由向量.

（2）.有向线段与向量的区别：

有向线段：三要素：起点、大小、方向。

向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。

4.向量的模

向量布的大小，就是向量花的长度（或模），记作或记

作o

思考：向量的模可以为。吗？可以为1吗？可以为负数吗？

5.零向量:长度为0的向量，记作6.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

说明：（1）零向量、单位向昼的定义都是只限制大小，不确定方向.

故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）注意：向量是不能比较大小的.但向量的模（.是正数或零）是可以进行

大小比较的.

例1.在图中，分别用向量式示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例

尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）

（三）.相等向量与共线向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等,

方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

1.平行向量定义：

①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向

里.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义：（2）向量a、b、c平行，

记作b//c.

2.相等向量定义：

长度且方向的向量叫相等向量.

说,明：（1）向量&与6相等，记作&=6；（2.）零向量与零向量相等：（3）

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有何缱段的晅

卓本夫.

3.共线向量与平行向量关系：

b_c_b_a__________

.・CO'A_T~

平行向量就是共线向量，这是因为任•组平行向量都可移到同•直线上（与

有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线匕要区别于两平行线的位置关系：（2）

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

练习2;

填空：

（1）平行向量是否一定方，向相同？（）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）

例2.如图，设0是正六边形ABCDEF的中心，

cw

（1）写出图中的共线向量：

（2）分别写出图中与向量。八、OB、OC相等的向量.

【达标检测】

1.下列说法中正确的个数是（）

①身高是一个向量；

②N/1施的两条边都是向量：

③湍度含零卜和零下温度,所以温度是向曷：

④物理学中的加速度是向量.

A.0B.1C.2D.3

2.设叨，e?是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）

A.ei—e2B.es//e2C.|ej=/ejD.以上都不对

3.（多选题）在下列判断中，正确的是（）

A.长度为0的向量都是零向量：

B.零向量的方向都是相同的；

C.单位向量的长度都相等；

D.单位向量都是同方向：

E.任意向量与零向量都共线.

4.在下列命题中：①平行向量一定相等：②不相等的向量一定不平行：③

共线向量一定相等：④相等向量一定共线：⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平

行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是.

5.如图所示，四边形40是平行四边形，四边形力4%是矩形，找出与向量

福日等的向量.

参考答案：

（-）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

2.练习：（1）（6）（7）（8）

（二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度.

4.可以为0,1,不能为负数。

解：丽表示A地至B地的位移|初|七______;

例［衣表示A地至C地的位移・且I而I*.

（三）思考：模相等，方向相同：模相等，方向不相同:

模不相等,方向相同：模不相等.方向不相同：

牛刀小试：（1）不一定（2）不一定（3零向量

（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同

（7）不一一定

解：（DQA.CB,DO.而是共线向量；例2，

OB,DC,EO.后是共线向量；

OC,AB,ED.育是共线向量.

（2）

O・•A=',CB=1D1，O;

OB=DC=EC）:

反■痛=说・前

达标检测

1•【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向星:，①皈

错误.④正确.

【答案】B

2.【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确.

【答案】C

3.【解析】由定义知A正确，B由于零向量的方向是任意的，故两个零向

量的方向是否相同不确定，故不正确.显然C、E正确，D不正确，故选ACE.

【答案】A、C、E

4•【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确.

【答案】④⑥

5.【解】由四边形被笫是平行四边形，四边形月腌是矩形，知而而与

葩的长度相等且方向相同，所以与向量砺相等的向量为求和诙

6.2.1向量的加法运算

【学习目标】

知识目标

1、掌握向量的加法运算，并理解其儿何意义：

2、会用向量加法•的三角形法•则和平行四功形法则作两个向量的和向量.培

养数形结合解决问题的能力：

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算

的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.

核心素养

L数学抽象：向量加法概念；

2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题：

3.直观想象：向量加法运算；

4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实

际问题.

【学习重点】：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向最的

和向量;

【学习难点】：理解向量加法的定义.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本7T0页，填写。

］、向量的加法：.

2、三角形法则和平行四边形法则

(1)三角形法则(“首尾相接，首尾连”)

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点4,作版=a,丽=1),则向量

怒叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=+fiC=4C,规定：a+0=

(2)平行四边形法则

I)c

AB

-►—>—>—>—►

如图所示：/仁力4+%（三角形法则），又因为BC=AD,

—►—>—>

所以力。=/仍+力。（平行四边形法则），

注意；在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个

向最相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向

量起点相同.

3.向量K6与非零向量a,6的模及方向的关系

（1）当a与6不共线时，a+力的方向与a,b都不相同，且|a+b|____\a\+

㈤.

（2）当a与b同向时，a+b,a,b的方向相同，且|a+b|=.

（3）当&与6反向时，若lal2lbl,则a+b与a的方向相同，且|a+bl=

若|a|V|6|,则a+b与。的方向相同，且|a+5|=.

4.向量加法的运算律

（1）交换律：a+左___________；

（2）结合律：a+6+c-=.

【牛刀小试】

1.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）两个向量相加结果可能是一个数量.（）

⑵两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.（）

⑶任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.（）

—*

2.对任意四边形月砥9,下列式子中不等于应对是（）

A.BA-\-ACB.BLH-DA+AC

C.AB+BD+DCD.DC+BA+AD

3如图所示，在正六边形力应比〃中，若48=1,则|/出+为升等于（）

C.:D.小

—>—►—>—►—>

4.已知/18=a,BC=b,CD=c,DE=d、AE=e,则a+6+c+仁

【自主探究】

题型一向量的三角形法则和平行四边形法则

例1如下图中（1）、（2）所示，试作出向量a与b的和.

跟踪训练一

1、如图，已知a,b,求作z+力：

b

①②

题型二向量的加法运算

例2如图,在△/［比'中，〃为重心.I),E,b分别是应；AC,/0的中点.

化简下列三式：

(l)fiC+CE+EA；

(2疏+嘉+成:

⑶油+走+谎.

跟踪训练二

1、化简或计算：

—>—►­>

⑴⑦+比斗仍

—>—►—>—>—►

②AB+DF+C叶BC+FA.

题型三利用向量加法证明几何问题

—♦—♦—♦-♦

例3已知四边形/I式力的对角线/心与M相交于点0,且AO=OC,D()=()B.

求证：四边形/1比〃是平行四边形.

跟踪训练三

1.如图所示，在平行四边形/切切的对角线加的反向延长线及延长线上取

点£,F,悭BE=DF,求证：四边形月昭》是平行四边形.

题型四向量加法的实际应用

例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大

小为10，3km/h,方向垂直于对岸渡河.求船行驶速度的大小与方向.

@么跑电）

7U=

二二一

T要博版金欣、

江.只喜曼给速度的）

跟踪训练四

1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km

到达4地接到受伤人员，然后乂从8地按南偏东55°的方向行驶800km送往C

地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和.

［达标检测］

1.在平行四边形中，下列式子:

①AD=AB+B仄②力。=力,+/③/)〃+/〃?=/IG($>AB-\-BC=ACx⑤

BC+CD；®AD=DC-\-CA.

其中不正确的个数是（）

A.1B.2C.4D.6

2.设a=（力叶切+（仅7+的），b是任一非零向量，则在下列结论中，正确

的是（）

①a〃6：②a+b=a；③a+A=6：④|a+b|<|a|+|6|：

⑤|a+5|=|a|+|b.

A.①@B.①③

C.（D@⑤D.②④⑤

—>—>—

3.已知△/!应'的三个顶点4B,C及平面内一点尸满足期+m=/匕则下

列结论中正确的是（）

A./，在△力比的内部

B.尸在△』比■的边力?上

C.尸在/伤边所在的直线上

D.〃在△力比的外部

4.根据图示填空.

(1)/山+物=________；

->-*—>

②BZOZDO=________；

—>—►—>

⑶力什BZ20D=______.

-►—*—♦

5.若严为△力6c的外心，且阳+如=尸£则N/[g—

cR

A*P

->—>—>

6.己知矩形月比》中，宽为2,长为2:，AB=a,BC=b,AC=c,试作出

向量a+6+c,并求出其模的大小.

答案

小试牛刀

1.(1)X(2)X(3)X

2.C.

3.B.

4.e

自主探究

例1【答案】见解析

【解析】如下图中(1)、(2)所示,

(1)(2)

首先作3=a，然后作则加=z+6.

跟踪训练一

I、【答案】见解析.

【解析】如图所示.

cb

-----•+•----►

AaB

\)AC=a+b^^4+方

—►—►

例2【答案】(1)BA.⑵OB.⑶AC..

—♦—♦—♦—♦—♦

【解析】BC+CE+EA=BE+EA=BA.

-♦-*—♦-*—♦—>—♦—♦—♦

⑵3'+AB-YEA=(0E+9)+仍=物+AB=OB.

—>-*—>—>—>—">—>—>

{^AB-\-FE+DC=AB+BD-\-DC=AD+DC=AC.

跟踪训练二

1、【答案】(1)，仞(2)0.

—♦>—♦-♦—♦——♦—♦—►—►

【解析】(X)gBC+AB=BO+CD=AC+CD=AD.

—>—♦«—►-♦—>—►—►―>>—♦——♦—♦—♦—*•―>>

②AB+DF+CZBC+FA=(AB+%+"〃+〃/•)+/•才=力。+C〃+/•%="'+/?!

=0.

例3【答案】见解析.

—>->-*-*—♦—>

【解析】证明AB=AO^OB,DC=DO+OC,

—►—♦—►—►—»—♦

又.：AO=OC,OB=DO,:・AB=DC,

：・A8=DC且AB//DC,

四边形4完”为平行四边形.

跟踪训练三

1.【答案】见解析.

【解析】证明•;AE=AB+郎,FC=FLH-DC\

—>—>-►—>

乂AB=DC,FD=BE,

：.AE=FC,即月£与用平行且相等.

・•・四边形加＞'是平行四边形.

例4【答案】船行驶速度为20km/h,方向与水流方向的夹角为120°.

—♦—♦—♦

【解析】如图所示，物表示水速，〃/侬示船实际航行的速度，在表示船速，

由伽=%+的易知BC=\OA\=\Q,又/。及7=90°,所以|㈤=20,

所以N8a?=30°,所以N/kQ=120°,即船行驶速度为20km/h,

方向与水流方向的夹角为120°.

跟踪训练四

1、【答案】救护车行驶的路程是1600km,两次行驶的位移和的大小为80sp

km,方向为北偏东80°.

【解析】如图所示，设力笈比分别表示救护车从力地按北偏东35°方向行

驶800km,从8地按南偏东55°的方向行驶800km.

则救护车行驶的路程指的是|/步|+M

两次行驶的位移的和指的是汹+公力c

依题意，有/出+BC\=8004-800=1600(km).

—►

又a=35。,2=55。,N/L/=35。+55°=90。.所以|力d=

71嬴+|嬴r800?+8002=800^(km).

其中/的g45c,所以方向为北偏东35"+45"=80".

从而救护车行驶的路程是1600km,两次行驶的位移和的大小为80(h「km,

方向为北偏东80°.

当堂检测

1-3.ACD

->-*—>—>

4.⑴如(2)50(3)力什被

5.120°

6.【答案】8.

—*—♦

【解析】作应=力£

如图，则a+5+c=4r；

a+b+c=/仍+8C+AC=2AC=2c,

：.\a+b+c|=\2AC\=他斗（2啊=8.

6.2.2向量减法运算

【学习目标】

知识目标

1、了解相反向量的概念：

2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

3、通过阐述向量的减法运兑可以转化成向量的加法运嵬，使学生理解事物

之间可以相互转化的辩证思想.

核心素养

L数学抽象：相反向量和向昼减法的概念：

2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；

3.直观想象：向量减法运算；

4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互

转化的.

【学习重点】：向量减法的概念和向量减法的作图法：

【学习难点】：减法运算时方向的确定.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本11-12页,填写。

I.相反向量

（1）“相反向量”的定义：.

（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-0=0.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+（~a）=0

如果a、b互为相反向且:，则a=-b,b=-a,a+b=0

2、向量减法（“共起点，后指前”）

（1）向量减法的定义：.

即：a-b=a+（-/＞）求两个向量差的运算叫做向量的减法.

（2）作法：在平面内取一点〃，作赤=。,而=b，则瓦（=a-b

牛刀小试

1.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）两个向量的差仍是一个向量.（）

（2）向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.（）

（3）向量a与向量6的差与向量6与向量a的差互为相反向量.（）

⑷相反向量是共线向量.（）

2.非零向量0与A是相反向量，下列不正确的是（）

A.m=nB.m=­n

C.|勿|=|〃|D.方向相反

3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于（）

A.OPB.0Q

C.SPD.SQ

4.在平行四边形被笫中,向量四的相反向量为________.

【自主探究】

题型一向量的减法运算

例1化简：｛AB-CD)-(AC-BD).

跟踪训练一

1、化简：⑴6M一山+初：

(2)AB^DA^rBD-BC-CA.

题型二向量的减法及其几何意义

例2已知向量a、b、c、d,求作向量ab、c~d.

跟踪训练二

1、如图.已知向量a,h,。不共线.求作向量力+/>—/?.

题型三用已知向量表示未知向量

例3平行四边形A8C7)中，AB=a,而/，用a、b表示向量戢丽.

跟踪训练三

1、如图所示，四边形〃以,是平行四边形，〃是该平行四边形外一点，且AB

a,AC=b,AE=c,试用向量&b,c表示向量。9,BC,切.

IH-：

LJ(______：

【达标检测】

1.已知非零向量a与6同向，则a—尔）

A.必定与a同向

B.必定与b同向

C.必定与a是平行向量

D.与6不可能是平行向最

2.若。，E,户是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）

A.EF,=OF+OSB.E?=OP-OS

C.EF--OF4-OED.EF--OF-OE

工如图，向量福w.R-8而-c，则向量说可以表示为（）

A.a+8—cB.a-6+c

C.b-a+cD.b-a—c

4.已知菱形力质边长都是2,求向量血Ft而的模.

5.如图，已知月阳%厂是一正六边形，。是它的中心，其中加=b,oc=c,

则评等于.

6.设〃是△4完’内一点，且丽工明屈=心反=c,若以线段以，如为邻

边作平行四边形，第四个顶点为4再以3,如为邻边作平行四边形，其第四

个顶点为〃试用a.b.。表示示:.丽.两.

答案

小试牛刀

1.(1)J(2)J(3)J(4)J

2.A.

3.B.

4.BA,CD

自主探究

例1【答案】0

【解析】法一：(AB-CD)-{AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB

+如+。+即="+即+呢+==/!〃+%=0.

法一：(AB-CD)-{AC-BD)=AB-CD-/C+BD={AB-AC)

-CD+BD=CB—CD+BD=DB+BD=0.

法三：设0是平面内任意一点，则（月8—⑦）一（力。一初）=月8—勿

-AC+BD=(0B-0A)-(OD-OC)-{OC-%)+(0D-0B)=OB

-OA-OD+OC-OCOAOD-OB=Q.

跟踪训练一

1、【答案】⑴0.(2)AB.

■.»■.

【解析】⑴OA-OD+AD=DA+AD=0.

■.,♦.、.■■..

(2)ABDABD-BC-CA=ABDABDCB-VAC={AB

+砌）+（力「+6）+的=力〃+力N+的=4〃+%+4月=04-AB=

AB.

例2【答案】见解析

【解析】在平面上取一点0，作苏=a，OB=b,OC=c,65=d.

跟踪训练二

1、【答案】见解析

【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点0,作OA=a,AB=b,

——►——►——►

则OB=a+b,再作OC=c,则CB=a+b-c.

法二：如图②所示，在平面内任取一点0,作OA=a,AB=b,则OB=

a+4再作CB=c,连接g则OC=a+b-c.

例3【答案】4C=a+b,而=AB-AD=a~b

【解析】由平行四边形法则得:

DC

AC=a+b,DB=AB-AD=hb

跟踪训练三

1、【答案】CD=AE=c,BC=b~a,BD=b~a+c.

【解析】因为四边形力四是平行四边形，

所以CD=AE=c,BC=AC—AB=b—a,

故BD=BC+CD=b-a+c.

当堂检测

1-3.CBC

4.2

5.b~c

6.【答案】OH=c+a+b,=a+c,DC=c-a-b.

【解析】由题意可知四边形必如为平行四边形，

.,.而=西+丽=。』机

：.W=OC-OD=c-(a-^-b)=c-a-b.

乂四边形。为平行四边形，

：.OHOC+ODc+a+b.

UHOH—OBa+b+c—ba+c.

6.2.3向量的数乘运算

【学习目标】

知识目标

1.掌握实数，向量的枳的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用

实数与向量的积的运算律进行有关的计算：

2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行：

3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思

维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

核心素养

L数学抽象：向量数乘概念；

2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用：

3.数学运算：向量的线性运算；

4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合,

运用向量加法解决实际问题.

【学习重点】：实数与向量的枳的定义、运算律，向量平行的充要条件；

【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本1376页，填写。

1、定义

实数％与向量£的积是一个________,记作__________.它的长度和方向规

定如下：

(1)|筋|=晨痴|

(2)2＞。时，痴的方向与。的方向；当NvO时，热的方向与a

的方向;

特别地，当'=°或2=°时，兀=0.

2、实数与向量的积的运算律

设£、/；为任意向量，/、〃为任意实数，则有：

(1)(2+〃)〃=.

(2)4-%)=(/£)：

(3)A(a+h)=xa+/.h

3、向量平行的充要条件：

向量B与非零向量2平行的充要条件是.

小试牛刀

1.判断下列命题.是否正确.(正确的打“J”.错误的打“X”)

(1)的方向与a的方向一致()

⑵共线向量定理中，条件aWO可以去掉.()

(3)对于任意实数力和向量a,b,若ma=mb,则a=6.()

2.若la=1,引=2,且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(

A.b=2aB.b=-2a

C.a=2bD.a=—2b

3.在四边形儿90中，若49=一：⑺，则此四边形是()

A.平行四边形B.菱形

C.梯形D.矩形

4.化简：2(3升4»—7a=.

【自主探究】

题型一向量的线性运算

例1化简卜列各式：

(l)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a)：

(2)%2(2a+8b)-4(43-26)].

O

跟踪训练一

1、设向量a=3£+2J,b=2i—J,求（26-a）.

2、已知a与儿且5x+2y=a,3A•—y=b,求x,y.

题型二向量线性运算的应用

例2如图所示，四边形40是一个等腰梯形，AB//DC,M”分别是凿

四的中点，已知四=a,AD=b,DC=c,试用a,b,c表示比，MV.

跟踪训练二

1、如图所示，D,£分别是AW的边/出，"的中点，M力分别是〃£,BC

一—■■.»

的中点，已知回=&BD=b,试用a,6分别表示应，CE,MV.

题型三共线定理的应用

例3已知非零向量G，6不共线.

—>—♦-♦

⑴如果/力=e+包，BC=2e、+8ecCD=3(e\—e),求证：A,B,。三点共

线：

(2)欲使熊+e和e+Aa共线，试确定实数〃的值.

跟踪训练三

->->—>

1、已知e,氏是两个不共线的向量，若力?=2良一8比，CB=e\+3e,⑦=2e

一包，求证：A,B,。三点共线：

2、己知小B,尸三点共线，0为直线外任意一点，若OP=xOA+yOB,求*

+y的值.

【达标检测】

(2a+8b)-(4a-2Z>)等于()

A.2a—bB.2b—a

C.b-aD.a-b

2.已知加〃是实数，a,b是向量，则下列命题中正确的为()

—、①m(a-6)=nia-nib：②(m­/?)a=ma—；③若ma=nw,贝ija=b：

④若ma=na,则m=n.

A.®®B.®®

C.(TX3)D.(3X4)

3.如图，2X4笫中，瀛=a,AC=b,应三3砺，~AE=2ECf则流=()

35,

D.

c亭43

4.对于向量a,5有下列表示:

①a=2e,b=—2e\

②a=e—曳，6=—2e+2a：

③&=4e「产，b=e—/一；

④a=a+a，b=2e—2e：.

其中，向量&。一定共线的有()

A.①©③B.②③(3)

c.(D@④D.①②

5.已知e„a是两个不共线的向量，而8=炉§+(1—与6=2。+3史

是两个共线向量，则实数〃=

2

6.如图，在△/比'中，D,7*,分别是庞；的中点，AE=~AD,AB=a,AC

J

(1)用a,6分别表示向量,而,波;

(2)求证：B,E,F三点共线.

答案

小试牛刀

1.(1)X(2)X(3)X

2.A.

3.C.

4.-a+8b.

自主探究

例1【答案】⑴14&-9b.⑵-2a+4反

［解析】(1)原式=6a——4b+3a+15/20b+5a=148——9A.

⑵原式=：(4a+166—16a+8b)

o

=J(—12a+24b)

o

=-2a+4b.

1.2

—声+犷

跟踪训练一【答案】1、--2-5/2、

J35人

尸F一戏

2

【解析】1、原式=鼻8—6—W+鼻什2力一a

Jo

=传一1-1}+［必+2>

=-2晶

55

=--(3i+2j)+z(2i—j)

oo

1.2.

5x+2尸a,户十+五公

2、联立方程组解得4

3x-y=b,

例2【答案】a'-a+6+c.

【解析】BC=BA+ADA-DC=-a+Zc.

•:MN=MD+加十AN,

■.1■■■，/

又祖）=上DC,DA=-AD,AN=gAB，

跟踪训练二

1、【答案】DE=gaCE=—：a+b.M\'=^a~b.

CJq

【解析】由三角形中位线定理，知加'平行且等于:水；枇DE=JBC,

乙乙

.

即DE=\a.

CE=CB4-BD4-DE=-a+b+—Ja+b.

MV=MD+〃8+BNED+DB+；BC

24

例3【答案】（1）见解析，（2）k=±\.

【解析】（1）证明：•・3夕=6+/

NZ?=NC+69=2e+8a+3e：—3包=5（台+。）=5力加

：・AB,&共线，且有公共点*

・",B,。三点共线.

⑵和8+3共线，

・•・存在实数3使e+包=，1（良+姐），

即（〃-4）§=（AK—1）&.

k—4=0,

•••e与e,不共线，，一।八解得4=±1.

/IA—1=0,

跟踪训练三

【答案】1、见解析.2、%+y=l.

—►—►

【解析】1、证明：•.•。=&+3会，CD=2e-e：,

—>—>—►

I.BD=CD—CB=g—4a.

又/切=28—8包=2（良一4更），

—*—♦—♦—♦

:.AB='2BD,

•••/伊与劭有公共点反

・",B,。三点共线.

->

2、解由于4B,尸三点共线，所以向量力方，加在问一直线」.，由向星共线

—>—>

定理可知，必定存在实数儿使/伊=XAB,

—♦——♦—♦

即A{OB-OA）,

—►—♦—►

所以勿三（1一人）。1+4OB,

故x=1—4._/=A,即x-\ry=1.

当堂检测

1-4.BBDA

5.—2或上

6.【答案】见解析.

【解析】

解：(1)•••AD=十(A5+AC)=春(。+人.

w4

：.AE-?而=g(a+b).

，+b.

VAFh-4i-AC=44~b.3F=AF-A3=4-a+

(2)证明：曲(1)知BF=-a+^-b,

77?2।12..1

BE=--u4-—fLr=—(-a+方m,

O«5O4

.2.一..

.*.BE^-HF..*.HE与3F其现.

又3E,8F有公共点3.所以B.E.F三&共也.

6.2.4向量的数量积

第1课时向量的数量积的物理背景和数量积

【学习目标】

知识目标

1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运

算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能

力。

核心素养

1.数学抽象：数量积相关概念的理解：

2.逻辑推理：有关数量积的运算：

3.数学运算：求数量积或投影：

4.数学建模：从物珅问题抽象出数学模期.数形结合,运用数量积解决实际

问题.

【学习重点】：平面向量数量积的含义与物理意义：

【学习难点】：平面向量数量积的概念.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本17-21页，填写。

1、向量的夹角：

已知两个非零向量a与4作方=a,OB=b,ZAOB=6(0°W8W180°)

叫作向量a与b的夹角。

当。=_时，a与6同向：当6=时，a与b反向：

当6=______时，a与b垂直，记作a_L瓦

规定：零向量可与任一向量垂直。

2、射影的概念

|b|cos。叫作向量b在a方向上的射影。

注意：射影也是一个数量，不是向量。

3、数量积的定义：

已知两个向量a与从它们的夹角为0,我们把数量___________叫做a

与6的数量积(或内积)，记作：a・b,即：a・k

注意。・力不能写成。乂》或她的形式

数量积的几何意义：___________.

数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数鼠积斤八

4.向量数量税的性质

(l)e是单位向量,ae=ea=\a\cos6;

(2)0=90°=Qj.b=Qb=0;

(3)a〃b=ab=±|a||b|;

特别地：aa=|a|2aJc|a|=y/a^,

(4)cos®=,(|a||b|二0)

(5)|a&|<|a||b|(当且仅当a〃。时等号成立)

5、运算定律：

已知向量a、b、c和实数入，则:

(1).交换律：a-b=_

(2).数乘结合律：(&，)-b=_____=.

(3).分配律：(a+6),c=___________.

小试牛刀

1.判断下列命题是否正确(E确的打“，”，错误的打"X”)

(】)两个向量的数量积仍然是向量.()

(2)若a•b=Q,则a=0或6=0.()

(3)若a,6共线=a・6=|a||b|.()

(4)若a，6=6*c,则一定有a=c.()

2.若|。=4,|A|=6,m与A的夹角为45°,则。・A=()

A.12