31、锯齿模型（答案）

1．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为BC上两动点，BD＝CE．（1）如图1，若EH⊥AD于H交AB于K，求证：AE＝EK；（2）如图2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG＝GF，求证：；（3）如图3，若AB＝4，将AE绕点E顺时针旋转90°得EM，N为BM中点，当取得最小值时，请直接写出△ACD的面积．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACE＝，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝90°，EH⊥AD于H交AB于K，∴∠AKE＝90°﹣∠BAD，∠KAE＝90°﹣∠CAE，∴∠AKE＝∠KAE，∴AE＝EK；（2）证明：如图，过点C作CH⊥AC，交FE的延长线于点P∴∠PCA＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠PCE＝∠ABC＝45°，∵AD∥EF，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠ADB＝∠FEC，∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝PC＝AC，∴AD+EF＝PE+EF＝PF，过G作QG⊥GC，使GC＝GQ，∴△GCQ是等腰直角三角形，∴，连接FQ，CQ，∵GF⊥AG，GF＝AG，∴△AGF是等腰直角三角形，∴△GAC≌△GFQ，∴AC＝FQ，∠GAC＝∠GFQ＝45°，∴∠AFQ＝∠AFG+∠GFQ＝90°，∴∠QFC＝∠PCF＝90°，∴PC∥FQ，∵AC＝PC＝FQ，∴四边形FPCQ是平行四边形，∴PF＝CQ，∵PF＝AD+EF，∴AD+EF＝CG；（3）解：如图，过点A作AG⊥BC于G，过点M作MP⊥BC延长线于P，连接MC，连接GN交AM于H，过点N作NF∥AM交AB于F，∵AE＝ME，∠AEM＝90°，∴∠GAE+∠GEA＝∠PEM+∠GEA＝90°，∴∠GAE＝∠PEM，在AGAE和△PEM中，，∴△GAE≌△PEM（AAS），∴AG＝EP，GE＝PM，又∵AG＝GC，∴GC＝EP，∴GC﹣EC＝EP﹣EC，∴GE＝CP，∴PM＝CP，∴∠MCP＝45°∵G为BC中点，N为BM中点，∴GN∥CM，∴∠NGC＝45°，∵N为BM中点，FN∥AM，∴FN是△BAM的中位线，∴F是AB的中点，FN＝AM，在△AGN和△CGN中，，.∴△GNA≌△CGN（SAS），∴AN＝CN，∴AN+AM＝CN+NF，∴如图，当C、N、F三点共线时，CN+NF的值最小（两点之间，线段最短），此时AN+AM取得最小值，∵∠MCP＝∠ABC＝45°，∴MCI∥AF，又∵NF∥AM，∴四边形AFCM是平行四边形，∴MC＝FA＝AB＝2，∴MP＝EG＝＝，AG＝BG＝CG＝＝2，∴BD＝CE＝2，CD＝2，∴S△ACD＝•CD•AG＝﹣×3×2＝6．2．（2023春•金平区期末）如图1，已知，直线交于点，交于点．点是右侧一点，连接，，平分，平分．（1）若，，则70，．（2）写出与之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，当时，若，过点作于．将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，经过秒后，射线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值．【解答】解：（1）如图（1）所示：过点作，过点作，，，，，，，，，，平分，，平分，，由，得，由，得，，（2），理由如下：由（1）得．，，，，，（3）如图（2）所示：的初始位置为，当旋转至，处时平行于，，，且由（1）知，，平分，，，，，①若时，，，故此时，，解得，②若时，则，解得，综上所述，当的值为31或67秒时，与平行．3．（2023春•舞阳县期末）如图1，在四边形中，，，点在边上，平分．（1）分别延长、交于点，与的平分线、交于点，若的度数为，求的度数；（2）如图2，已知交边于点，交边的延长线于点，且平分，若，试比较与的大小，并说明理由．【解答】解：（1）如图，过点作，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，，，；（2）．理由：，，，，，，设，，，，，，，，，解得：，，．4．（2016春•滨州期中）如图1，，是直线、间的一条折线．（1）猜想、、的数量关系，并说明理由．（2）如图2，将折一次改为折二次，若，，，则．（3）如图3，若改为折多次，直接写出，，，，，之间的数量关系：．【解答】解：（1）如图1，，理由：过点作直线，，，，，，，；（2）满足的关系式是：，（2）如图2，过作，，，，，，，，，．故答案为：；（3）由（1）、（2）可知，如果两平行线间存在一条折线，则所有同向角的和相等；或者：向左凸出的角的和等于向右面凸出的角的和．即．故答案为：．5．探究：（1）如图，若，则，你能说明为什么吗？（2）反之，若，直线与有什么位置关系？请证明；（3）若将点移至图所示位置，此时、、之间有什么关系？请证明；（4）若将点移至图所示位置，情况又如何？（5）在图中，，与又有何关系？（6）在图中，若，又得到什么结论？【解答】解：（1）过作，则，，，，．（2）若，由，，，，，；（3）若将点移至图所示位置，过作，，，，；（4），，，；（5），；（6）由以上可知：；6．（2023春•姜堰区期末）已知l1∥l2，李想同学将△ABC放置在这两条平行线上展开探究，其中△ABC三边与两条平行线分别交于点D、E、F、G．（1）【特例探究】如图1，∠C＝90°．①∠CED+∠CGF＝270度；②若∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，则∠EPG＝135度；（2）【一般探索】如图2，∠C＝α，∠EPG＝β．①若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF，求α与β的关系；②若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF（n≥2且n为整数），直接写出α与β的关系α+nβ＝360°；（3）【拓展应用】如图3，∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；…，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果）​【解答】解：（1）①作CM∥l1，∴∠CED+∠ECM＝180°，∵l2∥l1，∴CM∥l2，∴∠CGF+∠GCM＝180°，∴∠CED+∠ECM+∠CGF+∠GCM＝360°，∵∠ECG＝∠ECM+∠CGF＝90°，∴∠CED+∠CGF+90°＝360°，∴∠CED+∠CGF＝270°，故答案为270°；②∵∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P，∴∠CED＝2∠CEP，∠CGF＝2∠CGP，由①知：∠CED+∠CGF＝270°，∴2∠CEP+2∠CGP＝270°，∴∠CEP+∠CGP＝135°，∵∠CEP+∠CGP+∠EPG+∠ECG＝360°，∴∠EPF＝135°；（2）∵l2∥l1，∠ECG＝α，由（1）①知∠CED+∠CGF+∠ECF＝360°，∴∠CED+∠CGF＝360°﹣∠ECG＝360°﹣α，由（1）②知若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF，∴∠CED＝∠CEP，∠CGF＝∠CGP，∴∠CEP+∠CGP＝∠CED+∠CGF＝（∠CED+∠CGF）＝（360°﹣α），∵∠CEP+∠CGP+∠EPG+∠ECG＝360°，∴（360°﹣α）+β+α＝360°，整理得：α+3β＝360°；②若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF（n≥2且n为整数）时，由①同理可得α与β的关系：α+nβ＝360°；（3）通过前面的证明易得∠CED+∠CGF＝360°﹣∠C＝360°﹣α，当∠CED与∠CGF的角平分线相交于点P1，∠P1ED与∠P1GF的角平分线相交于点P2，∠P2ED与∠P2GF的角平分线相交于点P3；…，以此类推，则∠EP1G＝（∠CED+∠CGF）（∠CED+∠CGF）＝（360°﹣α），∠EP2G＝（∠CED+∠CGF）＝（∠CED+∠CGF）＝）＝（360°﹣α），∠EP3G＝（∠CED+∠CGF）＝（∠CED+∠CGF））＝（360°﹣α），∠EP4G＝（∠CED+∠CGF）＝（∠CED+∠CGF））＝（360°﹣α），∠EP5G＝（360°﹣α），.....．∠EPnG＝（360°﹣α），当n＝2023时，∠EP2023G＝（360°﹣α），∴＝＝22023，7．（2023春•大足区期末）已知直线，为平面内一点，连接、．（1）如图1，已知，，求的度数；（2）如图2，判断、、之间的数量关系为；（3）如图3，，平分，若，求的度数．【解答】解：（1）过点作，如图：则，，，，，，（2）过点作，则，如图：，，，，，即．故答案为：．（3）过作，过作，如图：，设，则，，，由（2）可知，即，解得．8．（2023春•海安市期末）如图，在中，．过点作．（1）判断是否平分，并说明理由；（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交射线于，过点作于．①当点在点左侧时，若，求的度数；②点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【解答】解：（1）平分，，，．，平分，（2），，、是角平分线，，，，，．②设，，，如图2，当点在点左侧时，由（1）知，平分交射线于，，又，，，，，；当点在点右侧时，如图：、是角平分线，，，，，，，．综上，或．9．（2023春•西乡塘区期末）如图1，直线，被直线所截，直线分别交直线，于点，点，满足．将三角形按图1放置，点在直线上（点与点不重合），点在直线上，．（1）求证．（2）若，求的度数．（3）如图2，的平分线交直线于点．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．【解答】（1）证明：，，，．（2）解：过点作，由（1）知：，，，，，即：，，，，．（3）解：与的数量关系是：．理由如下：为的平分线，，，，由（2）可知：，又，，，．10．（2023春•福清市期中）如图，直线，点为线上的一个定点，点为直线、之间的定点，点为直线上的动点．（1）当点运动到图1所示位置时，求证：；（2）点在直线上，且，平分．①如图2，若点在的延长线上，，求的度数；②若点不在的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角）【解答】（1）证明：过点向右作，如图，则，，，，，即；（2）①平分，点在的延长线上，，，，由（1）知，，，，，，；②．证明：如图，平分，，，，由（1）得，，．11．（2022春•丛台区校级期中）汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．（1）3；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，求灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，①用含的代数式表示；②过作交于点，则在转动过程中，探究与有怎样的数量关系．【解答】解：（1），解得故答案为：3，1；（2）设灯转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，易知：，解得；（3）①易知，经过秒，，，，故答案为：；②显然点一定在的右侧，，即，，，，，．12．（2023春•西湖区校级期中）如图，已知直线，点与点分别在射线和上，且满足，．点在直线上且在点左侧，满足，的角平分线与直线相交于点．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，若，补全图形，并求的度数；（3）若左右平移线段，是否存在的可能？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，平分，，，，，，；（2），故，，，故点在点左侧，如图，平分，，，，，，；（3）如图1，当在之间时，，，，，，，，，，，当点在点左侧，如备用图，同上，，，，，，，，，，，（舍去）．38．（2022春•和平区期中）如图（a），已知，、、是三条折线段．（1）若，如图（b）所示，求证：；（2）根据图（a），写出与之间的关系，不需证明．【解答】解：（1），，，，，，，（2）由（1）可知：，，，上述两式相加得：；13．（2022秋•南岗区校级月考）已知直线、，点、为分别在直线、上，点为平面内一点，连接、，且．（1）求证：；（2）如图2，射线、分别平分和，交直线于点，与内部的一条射线交于点，若，求的度数．【解答】（1）证明：过作，如图，，，，，，；（2）解：如图，连接并延长交于点，则：，，，，，又．，即，，．14．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．（1）当，平分，平分时：①如图1，若，则的度数为；②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；（2）如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．【解答】解：（1）①如图，分别过点，作，，，，，，同理可得，，，平分，平分；，，，故答案为：；②如图，过点作，，恰好平分，恰好平分，，，设，，，，，，，，，由①可知，；（2）结论：．理由：在的上方有一点，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，，，设，，如图，过点作，则，，，，，，由（1）可知，，，，，．15．（2021春•浦江县校级期末）如图，点，分别在直线，上，点，在直线，之间，．（1）如图，，①与的关系，并说明理由；②和的角平分相交于点，求的度数．（2）若，，和的角平分相交于点，则的度数为．（用含或具体数字表示）【解答】解：（1）①，理由：过点作，过点作，，，，，，，，，；②如图：延长交于点，平分，平分，，，由①得：，，，，是的一个外角，，的度数为；（2），，，由（1）中的①得：，，由（1）中的①得：，，，，由（1）中的②得：，故答案为：．16．（2021春•吉安县期末）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．（1）如图1，若，求的度数．（2）在（1）的条件下，分别作和的平分线交于点，求的度数．（3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，且．试判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①为定值；②为定值．【解答】解：（1）如图所示，过点作，，，，，，，．（2）如图所示，过点作，，，，平分，平分，，，，，（3）结论②正确，理由如下：如图所示，将与的交点记作，平分，且，，，平分，，设，，由（1）同理可得，，，，在中，，①，②，②为定值，故②是正确的．17．（2021春•青浦区期中）已知，直线（1）如图（1），点为、间的一