工程问题应用题专项练习A

工程问题应用题专项练习A一、工程问题的基本概念与公式（一）基本概念工程问题是小学数学应用题中的重要类型，它主要研究工作总量、工作效率和工作时间这三个量之间的关系。

工作总量：是指完成的任务总量，通常用"1"来表示整个工程。例如，修一条路、盖一栋楼等，这些工作的总量都可以看作"1"。

工作效率：是指单位时间内完成的工作量。例如，每天修路的长度、每小时盖楼的层数等，工作效率可以用分数或小数来表示。

工作时间：是指完成工作总量所需要的时间。

（二）基本公式工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

这三个公式是解决工程问题的基础，它们之间相互关联，可以根据已知条件灵活运用来求解未知量。

二、工程问题应用题专项练习A及解析

（一）基础练习题1.一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。两队合做，几天可以完成这项工程？解析：设这项工程的工作总量为"1"。甲队单独做需要10天完成，根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得甲队的工作效率为\(1\div10=\frac{1}{10}\)。乙队单独做需要15天完成，乙队的工作效率为\(1\div15=\frac{1}{15}\)。两队合作的工作效率为甲队工作效率与乙队工作效率之和，即\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)\(=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}\)\(=\frac{5}{30}\)\(=\frac{1}{6}\)。再根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得两队合作完成这项工程需要的时间为\(1\div\frac{1}{6}=6\)（天）。

2.一件工作，甲单独做要6小时完成，乙单独做要4小时完成，丙单独做要3小时完成。三人合做要几小时完成？解析：设工作总量为"1"。甲单独做要6小时完成，甲的工作效率为\(1\div6=\frac{1}{6}\)。乙单独做要4小时完成，乙的工作效率为\(1\div4=\frac{1}{4}\)。丙单独做要3小时完成，丙的工作效率为\(1\div3=\frac{1}{3}\)。三人合作的工作效率为\(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\)\(=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}\)\(=\frac{9}{12}\)\(=\frac{3}{4}\)。则三人合作完成工作需要的时间为\(1\div\frac{3}{4}=\frac{4}{3}\)（小时）。

3.修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？解析：设这条路的工作总量为"1"。甲队每天修8小时，5天完成，那么甲队总的工作时间为\(8×5=40\)小时，甲队的工作效率为\(1\div40=\frac{1}{40}\)。乙队每天修10小时，6天完成，乙队总的工作时间为\(10×6=60\)小时，乙队的工作效率为\(1\div60=\frac{1}{60}\)。两队合作的工作效率为\(\frac{1}{40}+\frac{1}{60}\)\(=\frac{3}{120}+\frac{2}{120}\)\(=\frac{5}{120}\)\(=\frac{1}{24}\)。两队合作每天工作6小时，那么每天完成的工作量为\(\frac{1}{24}×6=\frac{1}{4}\)。所以完成这项工作需要的时间为\(1\div\frac{1}{4}=4\)（天）。

（二）提高练习题1.一项工程，甲、乙两队合做12天完成，甲队单独做20天完成。乙队单独做多少天完成？解析：设工作总量为"1"。甲、乙两队合做12天完成，两队合作的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。甲队单独做20天完成，甲队的工作效率为\(1\div20=\frac{1}{20}\)。那么乙队的工作效率=两队合作工作效率甲队工作效率，即\(\frac{1}{12}\frac{1}{20}\)\(=\frac{5}{60}\frac{3}{60}\)\(=\frac{2}{60}\)\(=\frac{1}{30}\)。根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得乙队单独完成需要的时间为\(1\div\frac{1}{30}=30\)（天）。

2.有一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。两队合做8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天才能完成？解析：设工作总量为"1"。甲队单独做需要18天，甲队的工作效率为\(1\div18=\frac{1}{18}\)。乙队单独做需要24天，乙队的工作效率为\(1\div24=\frac{1}{24}\)。两队合作8天完成的工作量为\((\frac{1}{18}+\frac{1}{24})×8\)\(=(\frac{4}{72}+\frac{3}{72})×8\)\(=\frac{7}{72}×8\)\(=\frac{7}{9}\)。那么余下的工作量为\(1\frac{7}{9}=\frac{2}{9}\)。余下的工程由甲队单独做，甲队的工作效率为\(\frac{1}{18}\)，所以甲队还需要的时间为\(\frac{2}{9}\div\frac{1}{18}\)\(=\frac{2}{9}×18\)\(=4\)（天）。

3.一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？解析：设工作总量为"1"。甲单独做6天完成，甲的工作效率为\(1\div6=\frac{1}{6}\)。甲工作了4.5天，甲完成的工作量为\(\frac{1}{6}×4.5=\frac{3}{4}\)。那么乙完成的工作量为\(1\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)。乙单独做12天完成，乙的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。所以乙工作的时间为\(\frac{1}{4}\div\frac{1}{12}\)\(=\frac{1}{4}×12\)\(=3\)（天）。则乙休息的时间为\(4.53=1.5\)（天）。

（三）拓展练习题1.一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在先由甲、丙合做2小时后，余下的乙还需6小时完成。乙单独做这件工作需几小时才能完成？解析：设工作总量为"1"。甲、乙合做4小时完成，甲、乙合作的工作效率为\(1\div4=\frac{1}{4}\)。乙、丙合做5小时完成，乙、丙合作的工作效率为\(1\div5=\frac{1}{5}\)。"甲、丙合做2小时后，余下的乙还需6小时完成"可以转化为"甲、乙合做2小时，乙、丙合做2小时，乙再单独做2小时完成"。甲、乙合做2小时完成的工作量为\(\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}\)。乙、丙合做2小时完成的工作量为\(\frac{1}{5}×2=\frac{2}{5}\)。那么乙2小时完成的工作量为\(1\frac{1}{2}\frac{2}{5}\)\(=\frac{1}{2}\frac{2}{5}\)\(=\frac{5}{10}\frac{4}{10}\)\(=\frac{1}{10}\)。所以乙的工作效率为\(\frac{1}{10}\div2=\frac{1}{20}\)。乙单独完成这项工作需要的时间为\(1\div\frac{1}{20}=20\)（小时）。

2.一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？解析：设工作总量为"1"。甲单独做要12小时完成，甲的工作效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。乙单独做要18小时完成，乙的工作效率为\(1\div18=\frac{1}{18}\)。甲乙各做1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量为\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)\(=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}\)\(=\frac{5}{36}\)。\(1\div\frac{5}{36}=7\cdots\cdots\frac{1}{36}\)，即经过7个完整周期后还剩下\(\frac{1}{36}\)的工作量。此时轮到甲做，甲完成\(\frac{1}{36}\)的工作量需要的时间为\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)（小时）。所以总共用的时间为\(7×2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）。

3.一个水池，装有甲、乙、丙三根水管，单开甲管6小时可将水池注满，单开乙管8小时可将水池注满，单开丙管12小时可将满池水放完。如果甲、乙、丙三管同时打开，多少小时可注满半池水？解析：设水池的容积为"1"。单开甲管6小时可将水池注满，甲管的注水效率为\(1\div6=\frac{1}{6}\)。单开乙管8小时可将水池注满，乙管的注水效率为\(1\div8=\frac{1}{8}\)。单开丙管12小时可将满池水放完，丙管的放水效率为\(1\div12=\frac{1}{12}\)。甲、乙、丙三管同时打开的注水效率为\(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\frac{1}{12}\)\(=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}\frac{2}{24}\)\(=\frac{5}{24}\)。注满半池水，即工作量为\(\frac{1}{2}\)，需要的时间为\(\frac{1}{2}\div\frac{5}{24}\)\(=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}\)\(=\frac{12}{5}=2.4\)（小时）。

三、总结工程问题是数学应用题中