工程流体力学 禹华谦 习题答案 第4章

工程流体力学禹华谦习题答案第4章一、习题411.题目已知不可压缩流体平面流动的速度分布为\(u=2x\)，\(v=2y\)，试求：(1)流线方程；(2)通过点\((1,2)\)的流线；(3)说明流动是否连续。

2.答案(1)对于不可压缩流体平面流动，流线方程的微分形式为\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}\)。已知\(u=2x\)，\(v=2y\)，则\(\frac{dx}{2x}=\frac{dy}{2y}\)。两边积分可得：\(\int\frac{dx}{2x}=\int\frac{dy}{2y}\)。\(\frac{1}{2}\lnx=\frac{1}{2}\lny+C\)，化简得\(xy=C_1\)，这就是流线方程。

(2)将点\((1,2)\)代入流线方程\(xy=C_1\)，可得\(1\times2=C_1\)，即\(C_1=2\)。所以通过点\((1,2)\)的流线方程为\(xy=2\)。

(3)对于不可压缩流体平面流动，连续性方程为\(\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialv}{\partialy}=0\)。已知\(u=2x\)，则\(\frac{\partialu}{\partialx}=2\)；\(v=2y\)，则\(\frac{\partialv}{\partialy}=2\)。\(\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialv}{\partialy}=2+(2)=0\)，所以流动是连续的。

二、习题421.题目已知不可压缩流体平面流动的速度分布为\(u=x^2y^2\)，\(v=2xy\)，试求：(1)流线方程；(2)通过点\((2,1)\)的流线；(3)速度势函数\(\varphi\)；(4)流函数\(\psi\)。

2.答案(1)由流线方程的微分形式\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}\)，已知\(u=x^2y^2\)，\(v=2xy\)，则\(\frac{dx}{x^2y^2}=\frac{dy}{2xy}\)。整理可得：\(2xydx+(x^2y^2)dy=0\)。令\(P=2xy\)，\(Q=x^2y^2\)，\(\frac{\partialP}{\partialy}=2x\)，\(\frac{\partialQ}{\partialx}=2x\)，因为\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)，所以该方程是全微分方程。设\(du=Pdx+Qdy\)，则\(u=\intPdx=\int2xydx=x^2y+f(y)\)。对\(u\)求关于\(y\)的偏导数并与\(Q\)相等，即\(\frac{\partialu}{\partialy}=x^2+f^\prime(y)=x^2y^2\)，可得\(f^\prime(y)=y^2\)，积分得\(f(y)=\frac{1}{3}y^3+C\)。所以\(u=x^2y\frac{1}{3}y^3+C\)，令\(C=0\)，流线方程为\(x^2y\frac{1}{3}y^3=0\)，即\(y(x^2\frac{1}{3}y^2)=0\)，\(y=0\)或\(x^2\frac{1}{3}y^2=0\)，\(y=0\)是一条流线，\(x^2\frac{1}{3}y^2=0\)即\(y=\pm\sqrt{3}x\)也是流线。

(2)将点\((2,1)\)代入流线方程\(x^2y\frac{1}{3}y^3=0\)，\(2^2\times1\frac{1}{3}\times1^3=\frac{11}{3}\neq0\)，所以点\((2,1)\)不在\(y=0\)和\(y=\pm\sqrt{3}x\)这些已求的流线上。重新积分\(2xydx+(x^2y^2)dy=0\)，设\(F(x,y)=\int2xydx+\int(y^2)dy=x^2y\frac{1}{3}y^3+C\)。将点\((2,1)\)代入得\(2^2\times1\frac{1}{3}\times1^3+C=0\)，解得\(C=\frac{11}{3}\)。所以通过点\((2,1)\)的流线方程为\(x^2y\frac{1}{3}y^3=\frac{11}{3}\)。

(3)速度势函数\(\varphi\)满足\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。由\(u=x^2y^2\)，对\(x\)积分得\(\varphi=\int(x^2y^2)dx=\frac{1}{3}x^3xy^2+f(y)\)。由\(v=2xy\)，对\(y\)求偏导并与\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)相等，\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}=2xy+f^\prime(y)=2xy\)，可得\(f^\prime(y)=0\)，\(f(y)=C\)。令\(C=0\)，速度势函数\(\varphi=\frac{1}{3}x^3xy^2\)。

(4)流函数\(\psi\)满足\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。由\(u=x^2y^2\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int(x^2y^2)dy=x^2y\frac{1}{3}y^3+f(x)\)。由\(v=2xy\)，对\(x\)求偏导并与\(\frac{\partial\psi}{\partialx}\)相等，\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2xy+f^\prime(x)=2xy\)，可得\(f^\prime(x)=0\)，\(f(x)=C\)。令\(C=0\)，流函数\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3\)。

三、习题431.题目已知不可压缩流体平面流动的速度势函数\(\varphi=x^2y^2+xy\)，试求：(1)速度分量\(u\)和\(v\)；(2)流函数\(\psi\)；(3)点\((1,2)\)处的速度大小和方向。

2.答案(1)速度分量\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}=2x+y\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}=2y+x\)。

(2)流函数\(\psi\)满足\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。由\(u=2x+y\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int(2x+y)dy=2xy+\frac{1}{2}y^2+f(x)\)。由\(v=2y+x\)，对\(x\)求偏导并与\(\frac{\partial\psi}{\partialx}\)相等，\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2y+f^\prime(x)=2y+x\)，可得\(f^\prime(x)=x\)，积分得\(f(x)=\frac{1}{2}x^2+C\)。令\(C=0\)，流函数\(\psi=2xy+\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2\)。

(3)在点\((1,2)\)处，\(u=2\times1+2=4\)，\(v=2\times2+1=3\)。速度大小\(V=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{4^2+(3)^2}=5\)。速度方向与\(x\)轴夹角\(\theta\)，\(\tan\theta=\frac{v}{u}=\frac{3}{4}\)，所以\(\theta=\arctan(\frac{3}{4})\)，速度方向为与\(x\)轴负方向夹角为\(\arctan(\frac{3}{4})\)的方向。

四、习题441.题目已知不可压缩流体平面流动的流函数\(\psi=3x^2yy^3\)，试求：(1)速度分量\(u\)和\(v\)；(2)速度势函数\(\varphi\)；(3)说明流动是否有旋。

2.答案(1)速度分量\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}=3x^23y^2\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}=6xy\)。

(2)速度势函数\(\varphi\)满足\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。由\(u=3x^23y^2\)，对\(x\)积分得\(\varphi=\int(3x^23y^2)dx=x^33xy^2+f(y)\)。由\(v=6xy\)，对\(y\)求偏导并与\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)相等，\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}=6xy+f^\prime(y)=6xy\)，可得\(f^\prime(y)=0\)，\(f(y)=C\)。令\(C=0\)，速度势函数\(\varphi=x^33xy^2\)。

(3)旋转角速度\(\omega_z=\frac{1}{2}(\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy})\)。\(\frac{\partialv}{\partialx}=6y\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=6y\)，则\(\omega_z=\frac{1}{2}(6y(6y))=0\)，所以流动无旋。

五、习题451.题目已知不可压缩流体平面流动的速度场为\(u=y+2x\)，\(v=x2y\)，试求：(1)流线方程；(2)速度势函数\(\varphi\)；(3)流函数\(\psi\)；(4)证明该流动是无旋流动，并求其旋转角速度。

2.答案(1)由流线方程的微分形式\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}\)，已知\(u=y+2x\)，\(v=x2y\)，则\(\frac{dx}{y+2x}=\frac{dy}{x2y}\)。整理得\((x2y)dx(y+2x)dy=0\)。令\(P=x2y\)，\(Q=(y+2x)\)，\(\frac{\partialP}{\partialy}=2\)，\(\frac{\partialQ}{\partialx}=2\)，因为\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)，该方程是全微分方程。设\(du=Pdx+Qdy\)，则\(u=\intPdx=\int(x2y)dx=\frac{1}{2}x^22xy+f(y)\)。对\(u\)求关于\(y\)的偏导数并与\(Q\)相等，即\(\frac{\partialu}{\partialy}=2x+f^\prime(y)=(y+2x)\)，可得\(f^\prime(y)=y\)，积分得\(f(y)=\frac{1}{2}y^2+C\)。所以\(u=\frac{1}{2}x^22xy\frac{1}{2}y^2+C\)，令\(C=0\)，流线方程为\(\frac{1}{2}x^22xy\frac{1}{2}y^2=0\)，即\(x^24xyy^2=0\)。

(2)速度势函数\(\varphi\)满足\(u=\frac{\partial\varphi}{\partialx}\)，\(v=\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)。由\(u=y+2x\)，对\(x\)积分得\(\varphi=\int(y+2x)dx=xy+x^2+f(y)\)。由\(v=x2y\)，对\(y\)求偏导并与\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}\)相等，\(\frac{\partial\varphi}{\partialy}=x+f^\prime(y)=x2y\)，可得\(f^\prime(y)=2y\)，积分得\(f(y)=y^2+C\)。令\(C=0\)，速度势函数\(\varphi=xy+x^2y^2\)。

(3)流函数\(\psi\)满足\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)。由\(u=y+2x\)，对\(y\)积分得\(\psi=\int(y+2x)dy=\frac{1}{2}y^2+2xy+f(x)\)。由\(v=x2y\)，对\(x\)求偏导并与\(\frac{\partial\psi}{\partialx}\)相等，\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2