《误差理论与数据处理（苐7版）》课件 第3-7章 误差的合成与分配-动态测试数据处理

第3章

误差的合成与分配教学目标本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。重点和难点函数系统误差函数随机误差函数误差分布的模拟计算随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y

的全微分，其表达式为：和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第一节函数误差【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差

h=-0.1mm,玄长的系统误差

h=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差车间工人测量弓高h、弦长l

的系统误差

直径的系统误差:故修正后的测量结果:

计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型

变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式得到即：可得：函数标准差计算

或第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数第i个测量值和第j个测量值之间的协方差第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数第一节函数误差或相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项令第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差三角形式的函数随机误差公式1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差2）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：三角函数标准差计算

3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差

h=-0.1mm,玄长的系统误差

h=-1mm。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：，有修正后的测量结果

第一节函数误差相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时2、相关系数估计第一节函数误差相关系数的确定可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关1、直接判断法第一节函数误差可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法

（1）观察法第一节函数误差

（2）简单计算法其中，n2n3n4n10

（3）直接计算法根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数、分别为、的算术平均值

（4）理论计算法第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括：一、标准差合成合成标准差表达式:

q个单项随机误差，标准差

误差传播系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第二节随机误差的合成当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量二、极限误差合成

单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成

ij

为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：

合成方法：按照代数和法进行合成

i为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除二、未定系统误差的合成

第三节系统误差合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围

e的系统误差特征：1）

在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。表示符号：

极限误差：e

标准差：u1、标准差合成第三节系统误差合成（二）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。

同随机误差的合成时，未定系统误差合成时即克可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as

，则合成后未定系统误差的总标准差u为:则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，

ij

为第i个和第j个误差项的相关系数第三节系统误差合成当

ij=0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成

误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。测量过程中，假定有r

个单项已定系统误差，s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：第四节系统误差与随机误差的合成二、按标准差合成

测量过程中，假定有s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差，它们的标准差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，则只考虑未定系统误差与随机误差的合成。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。第四节系统误差与随机误差的合成总极限误差变为：【例】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，，已知工件的和高度为，求测量结果及其极限误差。第四节系统误差与随机误差的合成序号123456误差因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。【解】两次测量结果的平均值为:根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm范围内的误差

=-0.0008mm

，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：第四节系统误差与随机误差的合成在万工显上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为

1）读数误差：

2）瞄准误差：第四节系统误差与随机误差的合成2、未定系统误差由阿贝误差等引起，其极限误差分别为

1）阿贝误差：

2）瞄准误差：

3）温度误差：

4）光学刻度尺的检定误差：第四节系统误差与随机误差的合成3、计算测量值及其误差计算测量值的误差时有两种方法：方法1当未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为：方法2当已修正光学刻尺刻度误差时

【例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量，求测量结果的标准差。第四节系统误差与随机误差的合成(1)随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为(2)未定系统误差:标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。①砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即的一个，的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：②天平示值误差该项标准差为:第四节系统误差与随机误差的合成三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（１倍标准差）：

第五节误差分配误差分配

给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定，如何确定Di

或相应的

i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差一、按等影响原则分配误差等影响原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差各单项误差的极限误差第五节误差分配进行误差分配时，一般应按照下述步骤：二、按可能性调整误差

(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性

(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第五节误差分配

测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D

及高度

h，根据函数式三、验算调整后的总误差

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。第五节误差分配【例】求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径D及高度h的准确度。一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径D

与高度h的极限误差:第五节误差分配【解】计算体积体积的绝对误差:用这两种量具测量的体积极限误差为

因为查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。第五节误差分配二、调整后的测量极限误差

显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。调整后的实际测量极限误差为因为因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。第五节误差分配微小误差

测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差。已知测量结果的标准差：若将其中的部分误差取出后，则得

如果，则称为微小误差

第六节微小误差取舍准则测量误差的有效数字取一位：

某项部分误差舍去后，满足：或则对测量结果的误差计算没有影响。

测量误差的有效数字取二位：

或对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。

第六节微小误差取舍准则某项部分误差舍去后，满足：应用：

计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不靠率该项误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许误差的1/10～3/10。最佳测量方案的确定：当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函数的标准差为：

欲使为最小，可从哪几方面来考虑？

第七节最佳测量方案的确定考虑因素：因为已定系统误差可以通过误差修正的方法来消除，所以设计最佳测量方案时，只需考虑随机误差和未定系统误差的影响。研究对象和目标：一、选择最佳函数误差公式间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最小的函数公式。不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差较小的直接测量值的函数公式。第七节最佳测量方案的确定【例】用分度值为O.05mm游标卡尺测量两轴的中心距L，试选择最佳测量方案。已知测量的标准差分别为:方法一：测量两轴直径d1、d2和外尺寸L1，其函数式及误差为由计算结果可知，方法三误差最小，方法二误差最大，这是因为方法二的函数式最简单，而方法二包含的直接量较多。【解】测量中心距L有下列三种方法：第七节最佳测量方案的确定方法二

：测量两轴直径d1、d2和外尺寸L2，其函数式及误差为方法三

：测量内尺寸

L2和外尺寸L2，其函数式及误差为二、使误差传播系数尽量小由函数误差公式，若使各个测量值对函数的误差传播系数或为最小，则函数误差可相应减少。根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使等于零的测量条件，但却指出了达到最佳测量方案的趋向。第七节最佳测量方案的确定【例】用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为:试确定最佳测量方案。【解】由函数式求得函数误差的误差表达式：欲使为最小，必须满足：

1、使满足此条件，必须，但由图中几何关系可知，此时有，因而无实际意义。2、使为最小若满足为最小，则值愈大愈好，即值愈接近直径愈好。3、使满足此条件，必须使，即要求直接测量直径，才能消除对函数误差的影响。第七节最佳测量方案的确定由上述分析可知，欲使为最小，必须测量直径，此时弓高的测量误差已不影响直径的测量准确度，而只有弦长的测量误差影响直径的测量准确度。但对大直径测量，此条件难以满足，不过他指出了当值愈接近值时，直径的测量误差也越小第七节最佳测量方案的确定分析：第4章

测量不确定度教学目标测量不确定度是评定测量结果高低的重要指标。本章重点介绍测量不确定度的基本概念，测量不确定度的Ａ类评定和Ｂ类评定方法，以及测量不确定度的合成等。并结合一些应用实例，使学生学会在各种测量情况下对测量结果的不确定度作出科学的评定。测量不确定度的基本概念测量不确定度的Ａ类评定测量不确定度的Ｂ类评定测量不确定度的合成重点与难点一、概述1993，国际标准化组织（ISO)等颁布实施《测量不确定度表示指南》（GUM）。二、测量不确定度的定义测量不确定度：测量结果含有的一个参数，表征被测量值的分散性。测量结果＝被测量的估计值＋不确定度第一节测量不确定度的基本概念三、测量不确定度的评定方法A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定四、测量不确定度与误差联系：测量结果的精度评定参数；所有的不确定度分量都用标准差表征，由随机误差或系统误差引起；误差是不确定度的基础。第一节测量不确定度的基本概念区别：误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心；误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。第一节测量不确定度的基本概念标准不确定度：用标准差表征的不确定度。一、标准不确定度的A类评定当被测量Y取决于其他N个量X1,X2,…,XN时，则Y的估计值y的标准不确定度如何估计？思考：单次测量值：算术平均值：解释：第二节标准测量不确定度的评定二、标准不确定度的B类评定以前的测量数据、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识、制造说明书和检定证书或其他报告所提供的数据；由手册提供的参考数据等。1）B类评定的提出2）B类评定的依据3）常见情况的B类评定a、当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时，可假设为正态分布第二节标准测量不确定度的评定b、当估计值取自相关资料，所给出的测量不确定度

为标准差的k倍时c、若x服从均匀分布，即若在区间（x-a,x+a）内的概率为1，且在各处出现的机会相等，则d、当x受到两个独立且皆满足均匀分布的因素影响时，则x服从区间为（x-a,x+a）内的三角分布e、当x服从区间（x-a,x+a）内的反正弦分布时，则其标准不确定度为第二节标准测量不确定度的评定2）自由度的确定a.A类评定的自由度:Bessel公式：=n-1

其他公式：表4－1（P82）

三、自由度及其确定1）自由度的概念自由度：将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数所得的差值，用表示。意义：反映不确定度评定的质量，自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。b.B类评定的自由度:第二节标准测量不确定度的评定一、合成标准不确定度1、uc的确定步骤第一步明确影响测量结果的多个不确定度分量；第二步确定各分量与测量结果的传递关系和它们之间的相关系数；第三步给出各分量标准不确定度；第四步按方和根法合成。2、uc

的合成例：间接测量中，设各直接测得量xi的标准不确定度为uxi，它对被测量的传递系数为。

第三节测量不确定度的合成而测量结果y的标准不确定度uc可用下式表征：若：，则由xi引起的被测量y的不确定度分量为其中，任意两个直接测量值xi，xj不确定度的相关系数。3、结果表示第三节测量不确定度的合成二、展伸不确定度1、展伸不确定度的提出2、展伸不确定度的评定：其中，k由t分布的临界值给出，即。－uc的自由度，当各不确定度分量相互独立时，P－给定的置信概率。第三节测量不确定度的合成测量结果：当自由度无法按上式计算时，取。三、不确定度报告1、测量结果的表示用uc表示:用U表示:与d的表示形式相同，为避免混淆，应给出相应说明。用相对不确定度表示：第三节测量不确定度的合成2、注意事项1）有效数字一般不超过两位；2）不确定度数值与被测量的估计值末位对齐；

3）“三分之一准则”修约。第三节测量不确定度的合成一、测量不确定度计算步骤1）列出主要分量；2）计算各分量的传递系数；3）评定标准不确定度分量，给出自由度；4）分析各误差之间的相关系数；5）求uc和自由度，若有必要，给出展伸不确定度U；6）给出不确定度报告。第四节测量不确定度应用实例例1：测某一圆柱体的体积。由分度值为0.01mm的测微仪重复测量直径D和高度h各6次，数据如下：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.115计算D、h的平均值，求V的估计值（单个计算求

平均如何？）2.不确定度评定（1）D的测量重复性引起的标准不确定度分量第四节测量不确定度应用实例因，则（2）h的测量重复性引起的标准不确定度分量则因（3）测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量（仪器说明书：测微仪的示值误差范围）取均匀分布，，则第四节测量不确定度应用实例设相对标准差，对应的自由度为3、不确定度合成因，则体积测量的合成标准不确定度其自由度为第四节测量不确定度应用实例4、展伸不确定度取置信概率P＝0.95，查t分布表得包含因子于是，体积测量的展伸不确定度为5、不确定度报告1）用合成标准不确定度表示测量结果第四节测量不确定度应用实例2）用展伸不确定度表示测量结果其中，符号后的数值表示展伸不确定度由合成标准不确定度及包含因子确定。第四节测量不确定度应用实例例2：用标准数字电压表在标准条件下测直流电压源的输出电压10次，测得值（V）：10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094。1、计算电压估计值:V2、不确定度评定（1）标准电压表示值稳定度引起的标准不确定度分量已知24h内该测点的示值稳定度不超过，取均匀分布，则第四节测量不确定度应用实例（2）标准电压表示值误差引起的标准不确定度分量检定证书：示值误差(按3倍标准差计算),则（3）电压测量重复性引起的标准不确定度分量由Bessel公式计算得第四节测量不确定度应用实例3、不确定度合成4、展伸不确定度取P＝0.95，，查得包含因子，电压测量的展伸不确定度为5、不确定度报告第四节测量不确定度应用实例例3：测某液体粘度，先用标准粘度油和高精度计时秒表标定粘度计常数c，然后将被测液体通过该粘度计，由计算液体粘度。1、不确定度评定1)温度变化引起的标准不确定度分量液体粘度随温度增高而减小，控温，在此温度条件下，粘度测量的相对误差为0.025%,（对应于3），则第四节测量不确定度应用实例4）粘度计倾斜引起的标准不确定度分量5）空气浮力引起的标准不确定度分量2）粘度计体积变化引起的标准不确定度分量已知：由此引起的粘度测量的相对误差为0.1%3）时间测量引起的标准不确定度分量（对应于3）第四节测量不确定度应用实例第四节测量不确定度应用实例2、不确定度合成3、展伸不确定度4、不确定度报告因则粘度测量的合成标准不确定度为因各个不确定度分量和合成标准不确定度的误差范围皆为3，故取，则展伸不确定度为粘度测量的展伸不确定度，由合成标准不确定度及包含因子确定。例4：量块校准的不确定度计算。在比较仪上对被校准量块进行5次测量，考虑温度的影响，经推导得测量的数学模型为已求得被校准量块20℃时的长度为，求其不确定度。1、计算不确定度分量（1）标准量块的校准不确定度引起得不确定度分量由标准量块的校准证书测量19次，得第四节测量不确定度应用实例（2）长度差测量不确定度引起得不确定度分量分析：a、已知：比较仪的25次观测值得b、检定证书：比较仪的示值误差第四节测量不确定度应用实例则由引起得不确定度分量为（3）热膨胀系数之差的不确定度引起的不确定度分量已知：的变化界限为,均匀分布，相对标准差为10％,那么第四节测量不确定度应用实例（4）温度差的不确定度引起的不确定度分量已知：实际温差等概率落于，相对标准差为50％,第四节测量不确定度应用实例第四节测量不确定度应用实例2、不确定度合成因则量块校准的合成标准不确定度为其自由度为取置信概率P＝0.99，查t分布表得包含因子。于是，量块校准的展伸不确3、展伸不确定度定度为：4、不确定度报告量块校准的展伸不确定度，是由合成标准不确定度及包含因子（基于自由度，置信概率为99％的t分布临界值）所确定的。第四节测量不确定度应用实例第5章

线性参数的最小二乘处理最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法．本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非线性参数估计中的应用。从而使学生掌握最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。教学目标最小二乘法原理等精度测量线性参数的最小二乘处理不等精度测量线性参数的最小二乘处理最小二乘估计量的精度估计组合测量的最小二乘法处理重点与难点第一节最小二乘原理

一、引入待测量（难以直接测量）：直接测量量：问题：如何根据和测量方程解得待测

量的估计值？直接求得。有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求。第一节最小二乘原理

讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。第一节最小二乘原理

二、最小二乘原理设直接测量量的估计值为，则有由此得测量数据的残余误差残差方程式第一节最小二乘原理

若不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为，则出现在相应真值附近区域内的概率为由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为第一节最小二乘原理

测量值已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为最小等精度测量的最小二乘原理：最小不等精度测量的最小二乘原理：第一节最小二乘原理

最小最小二乘原理（其他分布也适用）测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。第一节最小二乘原理

三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为：残差方程为第一节最小二乘原理

令则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：第一节最小二乘原理

思路一：权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理第一节最小二乘原理

思路二：不等精度等精度则有：第二节正规方程

正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程第二节正规方程

正规方程：特点：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等看正规方程组中第r个方程：则正规方程可写成第二节正规方程

即正规方程的矩阵形式第二节正规方程

将代入到中，得（待测量Ｘ的无偏估计）第二节正规方程

例5.1已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为。为获得０℃时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。1020304050602000.362000.722000.82001.072001.482000.60解：1）列出误差方程令为两个待估参量，则误差方程为第二节正规方程

按照最小二乘的矩阵形式计算则有：第二节正规方程

那么：第二节正规方程

二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：第二节正规方程

整理得：第二节正规方程

即不等精度的正规方程将代入上式，得（待测量Ｘ的无偏估计）第二节正规方程

例5.2

某测量过程有误差方程式及相应的标准差：试求的最可信赖值。解：首先确定各式的权第二节正规方程

令三、非线性参数最小二乘处理的正规方程第二节正规方程

针对非线性函数其测量误差方程为令，现将函数在处展开，则有将上述展开式代入误差方程，令则误差方程转化为线性方程组于是可解得，进而可得。近似值第二节正规方程

第二节正规方程

为获得函数的展开式，必须首先确定1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取最简单的t个方程式，如令，由此可解得。四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据，相应的权分别为，则测量的误差方程为按照最小二乘原理可求得结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是最小二乘原理的特例。第二节正规方程

第三节精度估计

目的：给出估计量的精度。一、测量数据精度估计A）等精度测量数据的精度估计对进行n次等精度测量，得的估计量。可以证明是自由度（n－t）的变量。根据变量的性质，有则可取第三节精度估计

作为的无偏估计量。因此测量数据的标准差的估计量为第三节精度估计

B）不等精度测量数据的精度估计测量数据的单位权标准差的无偏估计第三节精度估计

二、最小二乘估计量的精度估计A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计设有正规方程第三节精度估计

设利用上述不定乘数，可求得其中：第三节精度估计

由于为等精度的相互独立的正态随机变量，则同理可得则相应的最小二乘估计值的标准差为B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计第三节精度估计

同理经推导可得：各不定乘数由求得：第四节组合测量的最小二乘处理

组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是等精度），然后对这些测量数据进行处理，

从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离。ABCDABCD第四节组合测量的最小二乘处理

直接测量各组合量，得首先列出误差方程由此可得：第四节组合测量的最小二乘处理

则式中，现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入误差方程中，第四节组合测量的最小二乘处理

第四节组合测量的最小二乘处理

那么，测量数据的标准差为第四节组合测量的最小二乘处理

已知则最小二乘估计量的标准差为第6章回归分析本章主要阐述回归分析的基本概念，并重点介绍一元线性回归和非线性回归的基本方法，给出回归方程的方差分析和显著性检验。从而使学生掌握回归分析方法的基本原理，学会从实际测量中寻求两个变量和多个变量之间的内在关系。教学目标回归分析的基本概念和主要内容一元线性回归方程的求法回归方程的方差分析和显著性检验一元非线性回归方法重点与难点第一节回归分析的基本概念一、函数与相关函数关系：可以用明确的函数关系式精确地表示出来相关关系：这些变量之间既存在着密切的关系，又不能由一个（或几个）自变量的数值精确地求出另一个因变量的数值，而是要通过试验和调查研究，才能确定它们之间的关系。第一节回归分析的基本概念二、回归分析思路1、由数据确定变量之间的数学表达式－回归方程或经验公式；2、对回归方程的可信度进行统计检验；3、因素分析。第二节一元线性回归一元线性回归：确定两个变量之间的线性关系，即直线拟合问题。一、回归方程的确定例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：19.125.030.136.040.046.550.076.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散点图：202530354045507678828084第二节一元线性回归从散点图可以看出：电阻与温度大致成线性关系。设测量数据有如下结构形式：式中，分别表示其它随机因素对电阻值影响的总和。思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出和的估计值。根据测量数据，可以得到7个测量方程，结合前面所学，未知数有两个，而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小二乘法求解。第二节一元线性回归设得到的回归方程残差方程为根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令第二节一元线性回归则误差方程的矩阵形式为对照，设测得值的精度相等，则有将测得值分别代入上式，可计算得第二节一元线性回归其中二、回归方程的方差分析及显著性检验第二节一元线性回归问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律？回归直线的预报精度如何？对N个观测值与其算术平均值之差的平方和进行分解；从量值上区别对Ｎ个观测值的影响因素；用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。方差分析法第二节一元线性回归（一）回归方程的方差分析1、引起变差的原因：

A、自变量x取值的不同；

B、其它因素（包括试验误差）的影响。2、方差分析总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）可以证明：第二节一元线性回归S=U+Q其中U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关系而引起y变化的部分。Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差的影响。第二节一元线性回归（二）回归方程显著性检验—F检验法基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越大，Q越小，说明y与x的线性关系愈密切。计算统计量F对一元线性回归，应为查F分布表，根据给定的显著性水平和已知的自由度1和N-2进行检验：若

回归在0.01的水平上高度显著。第二节一元线性回归回归在0.05的水平上显著。回归在0.1的水平上显著。回归不显著。（三）残余方差与残余标准差第二节一元线性回归残余方差：排除了x对y的线性影响后，衡量y随机波动的特征量。残余标准差：含义：越小，回归直线的精度越高。第二节一元线性回归（四）方差分析表来源平方和自由度方差F显著性回归残余1N-2－总计N-1－－－三、重复试验情况1、重复试验的意义“回归方程显著”：只表明因素x的一次项对y的影响显著；难以确定影响y的是否还有其它不可忽略的因素？x和y是否线性?不表明该方程拟合得很好。为检验一个回归方程拟合的好坏，可通过重复试验，获得误差平方和和失拟平方和，然后用对进行F检验。第二节一元线性回归2、重复试验回归直线的求法1）设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进行拟合，见表6－5和表6－6。2）方差分析来源平方和自由度方差

F显著性回归失拟误差总计－－－第二节一元线性回归3）方差检验:判断一元回归方程拟合效果:判断失拟平方和对试验误差的影响:综合判断一元回归方程拟合效果第二节一元线性回归1）分组法－平均值法将自变量按由小到大次序排列，分成个数相等或近于相等的两个组（分组数等于未知数个数），则可建立相应的两组观测方程：将两组观测方程分别相加，得b和b02）图解法－紧绳法四、回归直线的简便求法第三节一元非线性回归2、求解未知参数。可化曲线回归为直线回归，

用最小二乘法求解；可化曲线回归为多项式

回归。1、确定函数类型并检验。一、求解思路二、回归曲线函数类型的选取和检验1、直接判断法2、作图观察法，与典型曲线比较，确定其属于何

种类型，然后检验。第三节一元非线性回归3、直线检验法（适用于待求参数不多的情况）a、预选回归曲线b、c、求出几对与x,y相对应的Z1,Z2值d、以Z1,Z2为坐标作图，若为直线，则说明原

选定的曲线类型是合适的，否则重新考虑