2025届广东省华南师大附中高三11月综合（二）-数学（含答案）

2025届高三综合测试（二）数学满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。a=0.1，b=0.13，c=log30.1，则12．已知（（））A．acbB．abcC．bacD．cba．设xR，向量ax,1，b=(x，则x2是a//b的=())=A．充分不必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件+(a−)x+0”是假命题，则实数a的取值范围是C．充要条件134．已知命题“xR，使2x2（（））2A．1a3B．1a3C．a1或a3D．a1或a33cosx+1．函数f(x)=的部分图象大致是xA．B．C．D．．若fx()=(+2xa−log22x+)是偶函数，则的值为1a（）56112A．B．C．0D．14．已知某简谐振动的振动方程是f(x)=Ax+)+B(A0,，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）3试卷第15页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}A．0.125HzB．0.25HzC．0.4HzD．0.5Hz1=+=+相切，则2a+b的最大值为78．已知直线yb与曲线yx（（））x15A．B．2C．D．52213f(x)=x+a}的前n项和为Sa=,n1=f(a)a}的nn1nnx2叙述正确的是A．76B．91C．1012D．1316二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.．设z，z为复数，且zz0，则下列结论正确的是（）91212A．1z2=1z2B．z+z=z+z2121C．若1=z2，则12=z22D．zz=zz121210．已知函数f(x)=tanx+tanx，则下列结论中正确的有（）A．f(x)的最小正周期为2B．点(−,0)是f(x)图象的一个对称中心2C．f(x)的值域为)D．不等式f(x)2的解集为(+k,+k)(kZ)421．已知函数f(x)esinxecosx，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是=−1（）πA．fx在上是增函数2π4()()B．fx的图象关于点,0中心对称()(0,)C．fx在上有两个极值点()e−cos0()+fxa1D．若x为fx的一个极小值点，且atan0恒成立，则0试卷第25页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分。112．若集合A={x|x2+ax+b=，B={x|x2++6=，AB=，A3．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角=45C点的仰角CAB=30以及MAC=75C点测得MCA=60，已知山高=50m，B=B，则a++=bc.则山高=m.14．数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数2(a−2x=2x3，该曲线即为蔓)学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为y=叶线，其图象如图②，若圆x24x−+3+y2=0与该蔓叶线恰有两个交点，则a．四、解答题：本大题共5小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.34()a.1（已知向量a=(cosx,),b=sinx,，设函数f(x)=2a+bππ44()（1）当x−,时，求函数fx的值域；A522）已知在△中，内角C的对边分别为c，若a2，且f()==，求面积的（2最大值.试卷第35页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}1（在四棱锥P−ABCD是边长为2的正方形，⊥A−CD−P为直二面角．（（1）求证：⊥；2）当PC=PD时，求直线PC与平面所成角的正弦值．22115设A，B分别是直线y=x和y=−x|=2OP22满足=+，记P的轨迹为曲线C.（（1）求C的方程；2）已知点Q为曲线CF,F分别为左、右焦点，过点Q的直线交曲线于另一点M，若lC的上顶点，点12△QMF=S，求的方程.l2△1F2（已知函数f(x)=sinx+x)ax,aR.+−1f(x)在区间(−π)内极值点的个数；恒成立，求a的值；1）当a=0时，求（（（()fx2）若02n1i−12n−1n−1n，nN，求证：sin2ln−2.3）i=n1试卷第45页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}19.分）k是一个大于1k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式nn110(k)n,n1,...,1,02,...,k−,an0，进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如nn110(k)=nk+ak+...+ak+a.例如十进制数=22+23+1，所以25在三进制下可写为()knn1n110221.(3)1）设正整数m在三进制下的各位数字之和为S(m)（i）将满足S(m)=3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；（ii）在1至2025中任选一个正整数m，求S(m)为的倍数的概率.3（a2）已知正项数列a的前n项和为S，a=(N,a)，且SS+S+2aa=a2，记n1n1()（ann1nn2111M=a++a++...+a++...（其中x表示不大于xM的值.（用a表示）12n222试卷第55页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}2025届高三综合测试（二）数学参考答案17．B2．A3．D4．A5．A6．B7．C8．C11.【详解】设切点横坐标为m(m0)，求导：y=x+得y'=1−，xx211a=1−a=1−2m2m由题意可得解得：，12am+b=m+b=mm2221152所以2a+b=−++2=−2−+，m2mm25所以m=2时，2a+b的最大值为.2故选:C1x−18.【详解】由f(x)=x+，求导得f'(x)=0,(x，xx23fx)f)=1。1=1，()fx+)单调递增，故在22fa=()()=f11，迭代下去，可得1。故anB错误；132322312237由1=，a=f(a)=21++=，故aa2163迭代下去，可得1nn11=，数列a}单调递减。n23276故A错误；Sa92++9=12，故C正确1013276Sa+12a+12=15.5，故D错误．1312故选：C．9．ABD【详解】设z=a+bi，z=c+di(a,b,c,dR)，12对于选项A，因为zz=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc，12所以=(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，zz12且=a2+b2c2+2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以zz=zz，故A正确；1z2d1212对于选项，因为z+z=(a+c)+b+d，=−，=c−，1abiz2di12答案第1页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}则+=+−+，+=+−+，1z2(ac)bd1z2(ac)bd所以，故B正确；+=+1z21z2对于选项，若z=z，例如z=1+i，z=1−i，满足z=z=2，121212但12=+i)2=，z22=−i)2=，即12z22，故C错误；对于选项D，因为zz=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc，12所以所以=−−+，=−−=−−+，zz(acbd)(adbczz(abi)(cdi)(acbd)(adbc1212zzzz=，故D正确.1212故选：ABD.10．CD2tanx,x[k,+kkZ2()=+=()【详解】fxtanxtanx，作出fx的图象，如图，观0,x(−+k,kkZ2察图象，f(x)的最小正周期为，A错误；()Bfx的图象没有对称中心，错误；())，C正确；fx的值域为()+k)(kZ)时2tanx2，得tanx1，解得不等式fx2，即x[k,2+kx+k,kZ，42()+k,+Z)，D正确.所以fx2的解集为(k)(k42答案第2页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}故选：CD1．ABD详解】由题设，f(x)=esinxx+ecosxsinx，ππ1【A：在上f(x)0，故f(x)在是增函数，A正确；22πππsin(x+)cos(x+)B：g(x)=f(x+=−，)e4e44πππ)π则g(−x)=esin(−x+)−ecos(−x+)=e−sin(x−−ecos(x−)4444πππππππcos(+x−)−esin(+x−)=ecos(x+)−esin(x+)，即f(x+)是奇函数，=e=−g(x)2424444π图象关于点,0中心对称，故B正确；4xC：若在(π)上有极值点，令f(x)=0则有=−ecosx−sinx0，sinx而x0，此时x0，所以极值点在,π上，π2()=()令hxfx，有h(x)=esinx(cos2x−sinx)+ecosxx−sin2x)，π3π240，即h(x)0，f(x)单调递减；∴在,上，2−，−2xx0xsinxπ223π2又f()=1，−，显然存在f(x)=0，f()=(e2−e2)0242π在,π上，sinxx且x0，x0，故sinx−x，4∴ecosx1sinx，则cosxesinxsinxecosx，0即f(x)=esinxx+ecosxsinx0，∴f(x)不存在零点；()C综上，f(x)在π上只有一个极值点，故错误；D：易知f(x)为周期函数，T=2π是其一个周期，ππ，使得f(1)=0，由C知：x,124πf(x)=esinx−ecosx在,x上f(x)0，即f(x)递增，∵123π在x,上f(x)0即f(x)递减，即fx为f(x)在π上的极大值，也是最大值，()()114又由B项的结论：2(−π,0)使得f(2)为f(x)在(−π,0)上的极小值，也是最小值，答案第3页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}π则0=2+2kπk()，且1+2Z=，f(x)+f(x)=0，122π不妨令k=0，则x=x=−1，022()fxesinx−ecosx令g(x)=+x，则()=+gxmin0ecos00minecos0πecos1−esin11即ag(x)min=g(2)=g−1=+，2esinxtan111而结合C−ecos1−sin1=，∴g(x)=−，故1，正确.1atan1故选：ABD1-5150314.【答案】6+33【详解】方法一：根据蔓叶线和圆的对称性，圆(x2)2−+y2=1与该蔓叶线恰有两个交点，y0即当时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，a即方程4)有一个实数根，有一个实数根，3x2−24x+9x−x2−3−x=x3x2a4x2−3x=4x−x2−3x即方程214x2−3x(x)=，则f()=令fxx−x2−3x，44−32x−x212+3312−33(x)=，则xf0=令或131312+33+1233()fx,3所以所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，131312+336+33=f(x)min=fx→+,f(x)→+,x→3−,f(x)→+,，132故当a=6+33时，圆x2−4x+3+y2=0与该蔓叶线恰有两个交点．(x−2)2+y2=1与该蔓叶线恰有两个交点，方法二：根据蔓叶线和圆的对称性，圆y0即当时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，此时两个曲线相切,故答案第4页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}a4x2−3x=4x−x2−3x此时+a)x2−(6+4a)x+a=0，=0，，2故(6+4a)2−12a(a+=0，解得=a633，当=−a633时，x1不符合题意，12+33当a=6−33时，x=故答案为：6+33.符合题意.131411）a+b=x+sinx,−，1−(1f(x)2(ab)a=2cosxsinx,=++cosx,1−)=2cos2x+2sinxcosx+………1分………3分………4分423π432=sin2x+cos2x+=2sin2x++，2ππ44ππ3π44当x−,时，2x+−,，4π42sin2x+−………5分2π31322sin2x++,2+，422132()+………6分所以函数fx的值域为,22π432f(x)=2sin2x++（2）由（）可知，A52π42又f()=，所以sinA+=，22ππ5π44πAπ)A+,A=，故因为，所以，………8分………9分42因为a2，由a2b2c可知，4bc2，==+2=2+由基本不等式得4=b2+c2，解得bc2，当且仅当b=c=2时，等号成立，………分11故三角形面积bcsinA21=1，22即ABC面积最大值为1.………13分1（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则⊥CD，由于二面角A−CD−P为直二面角，=,则BC⊥平面，2分答案第5页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}由于平面⊥⊥，=C，PC、BC平面，则PD⊥平面，5分由于平面，则⊥．6分（2）几何法：取CD中点FPF、BFPC=PD知⊥CDA−CD−P为直二面角，则⊥平面，于是⊥，8分1由于底面ABCD是边长为2的正方形，则=CD=1，2BF=CF2+BC2=5，于是=2+2=6，同理=6，于是121SPAB=PA2−()2=5SABC=ABBC=2C到平面距离为d22112由P−ABC=C−PAB得：S=SPABd，于是解得：d=，分ABC3352d211055故直线PC与平面所成角的正弦值为：===．15分252CD2）取CD中点为O，连结PO.取中点为E，连结OE.因为PC又因为平面PCD⊥平面ABCD.=PD，点O是CD中点，所以⊥CD.ABCD，平面平面ABCD=CD，PO平面，所以PO⊥平面因为点O、E分别是CD、的中点，所以//，则⊥CD.1则=CD=1，2.==8分2答案第6页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}x,y,z以点O为坐标原点，OD,OE,所在直线分别为D−，轴，如图建立空间直角坐标系()D1,0,0)，C(1,0,0)B(2,0)(()E(2,0)A2,0)O0,0,0P0,0,1则，，，，，，(−−)=(0)，=(1,0,).=，分()设nx,y,z是平面的一个法向量，=则，取y=1，则z=2，nAB=−2x=0()所以n2是平面的一个法向量=.分n2105直线PC与面所成角为，sin=,===分1452n150所以直线PC与平面所成的角的正弦值为.分2217.1）设(1,xB(x,−2P(x,y)，1分12222=+，x=x+x,y=(x−x)．3分1212222|=2，2=(x−x)2+(1+2)2，5分，1222122=2y2+x2，x2动点P的轨迹方程+y2=1．6分4（2）因为△QMF=△12，所以//，8分1223又=−，k23答案第7页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}1()y=−3x+333()直线1:y=−x+3，联立，x2y23+=14183消去得，7x2+83x=0，解得x=0或x=−y，12分71()当x=0时，y=−30+3=−1，38311783y=−3−+3=当x=−时，，737831,M1或M−(−)所以，14分77()又因为直线l过点Q0,1，3所以kQM=或斜率不存在，43可求得直线l的方程为y=x+1或x=0.分48.1）当a=0时，fxsinx+x),()=+11x+1(x)=+,x(−)fxπ,1分x−)，fx)0fx)单调递增；'2分()=−+当当，1π+1x0,)时，f'x)单调递减，而(0)=fπ10f20，，故f'x)在(π内存在唯一的零点，满足fx)()=0分x0'30x(0)()fx()x(0,π)时，fx0，fx单调递减。()()''当时，fx0，单调递增；当()(0)()0,πfx4所以在内单调递增，单调递减。分答案第8页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}()(−π)存在fx在故1个极大值点，无极小值点。5分（2fx)0在x−+)恒成立，且f0)=0。1x+1fx)的极大值点，故f0)=0f(x)=x+−a,0'，a=26是；又分1x+1当a=2，此时f(x)=x+−显然当푥∈(0,+∞)时，f112()+−=，x0fx)0。()7分故fx在(0,+∞)上为减函数；此时x(1,0)()时，令gx()=fx，'当1gx()=−−'x−x−10，x+2()(−0)gx在gxg0()()=故上单调递减，0。8分()在(−0)上单调递增。故x(−1,0)，f(x)f(0)=0fx，()fx−+)a=2恒成立，故0x9从而在。分−(+)，当且仅当=时取等号，（3）由（）可知，sinx2xx1x02n1i−12n12n1，所以sin2−1+分i−1i−1i=n1i=n1i=n12n12nin+1n+2n+12n2n−11+=i−1=i−1+++=2，ni=n1i=n1因为2n−1n−12n−12n−2=n=2n−12n−22n−22n−3nn−12nn−1+++=，n−22n−22n−3n−1i=n11i−1i−1i−2所以即证13分i−1i−21i−21i−11令x==1+)，则=1−，14分x1所以即证：1−x，푥∈(1,+∞)，15分x1111−x令m(x)=1−−x，则m(x)=−=，xx2xx2所以푥∈(1,+∞)时，mx()，()单调递减，0mx1所以m(x)m)=0，即1−16分x，푥∈(1,+∞)，x答案第9页{#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}2n1i−12n−1n−1综上，sin−ln2，n2，nN分i=n119【详解】（1i………2分（ii）设m=nn+n1n1+...+1+0若m为3的倍数，则a为3的倍数，即a=0，00所以m=nn1a0，m+1=nn13)，m+2=nan112(3)3)1()=+++Smnn1...a1Sm1nn1...a+1(+)=+++1(+)=++++Sm2nn1...a21所以当m为3的倍数时，Sm,Sm1,Sm2中恰有一个是的倍数()(+)(+))=3………5分………7分………8分………9分………10分()=()=2025=2210000(S11，S22，，S202553)()()()3所以S1,S2,S2025都不是的倍数2022()()()2022=674个是3的倍数而S3,S4,...,S2024