2025年高考数学必刷题分类：第25讲、函数的零点问题（学生版）

第25讲函数的零点问题

知识梳理

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函

数零点情况，求参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴(或直线yk)

在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其

图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)

＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点

的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将fx

整理变形成fxgxhx的形式，通过gx,hx两函数图象的交点确定函数的零点个

数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，

可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值

域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②

利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.

必考题型全归纳

题型一：零点问题之一个零点

例1．（2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数

1

fxlnx,gxx22x1.

2

（1）求函数xgx3fx的单调递减区间；

（2）设hxafxgx，aR.

①求证：函数yhx存在零点；

②设a0，若函数yhx的一个零点为m.问：是否存在a，使得当x0,m时，函数

yhx有且仅有一个零点，且总有hx0恒成立？如果存在，试确定a的个数；如果不

存在，请说明理由.

例2．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知函数f(x)exasinx1，

2xa2

gxacosxsinx2，fx在0,上有且仅有一个零点x0.

ex

(1)求a的取值范围；

(2)证明：若1a2，则gx在,0上有且仅有一个零点x1，且x0x10.

x1

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxalnx.

ex

(1)当a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)证明：当a0时，fx有且只有一个零点；

(3)若fx在区间0,1,1,各恰有一个零点，求a的取值范围.

变式1．（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）已知a0，函数fxxexa，gxxlnxa.

(1)证明：函数fx，gx都恰有一个零点；

(2)设函数fx的零点为x1，gx的零点为x2，证明x1x2a.

题型二：零点问题之二个零点

例4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数f(x)xex2.

(1)求f(x)的最小值；

(2)设F(x)f(x)a(x1)2(a0).

（ⅰ）证明：F(x)存在两个零点x1，x2；

（ⅱ）证明：F(x)的两个零点x1，x2满足x1x220.

例5．（2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数

f(x)lnxax2(2a1)x．

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）当a0时，g(x)(x1)f(x)x21，证明：函数g(x)有且仅有两个零点，两个零点

互为倒数．

例6．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数f(x)lnxax2(2a1)x．

（1）若函数f(x)在x1处取得极值，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（2）讨论函数f(x)的单调性；

（3）当a0时，g(x)(x1)f(x)x21，证明：函数g(x)有且仅有两个零点，且两个零

点互为倒数．

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)exlnxa.

（1）若a3.证明函数f(x)有且仅有两个零点；

x1x2x1x2

（2）若函数f(x)存在两个零点x1,x2，证明：eee22a.

变式3．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数f(x)lnxax(aR)在其

定义域内有两个不同的零点．

（1）求a的取值范围；

（2）记两个零点为x1,x2，且x1x2，已知0，若不等式lnx21lnx110恒成立，

求的取值范围．

1

变式4．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数fxax4x2，x(0,)，

2

gxfxfx．

(1)若a0，求证：

（ⅰ）fx在f(x)的单调减区间上也单调递减；

（ⅱ）gx在(0,)上恰有两个零点；

(2)若a1，记gx的两个零点为x1,x2，求证：4x1x2a4．

题型三：零点问题之三个零点

ax2

例7．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数fxlnxlna1有三

ex1

个零点.

(1)求a的取值范围；

x1x3

(2)设函数fx的三个零点由小到大依次是x1,x2,x3.证明：aee.

x1

例8．（2024·广东深圳·校考二模）已知函数f(x)alnx.

x1

(1)当a1时，求f(x)的单调区间；

1

(2)①当0a时，试证明函数f(x)恰有三个零点；

2

xx22

②记①中的三个零点分别为1，2，x3，且x1x2x3，试证明x1(1x3)a(x11).

例9．（2024·广西柳州·统考三模）已知f(x)x3ax1lnx．

（1）若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；

（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为x1,x2,x3且x1x2x3，当x1x32时，求实数

a的取值范围．

1

变式5．（2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数fxx3ax2bx1（a，

3

bR）.

（1）若b0，且fx在0，内有且只有一个零点，求a的值；

（2）若a2b0，且fx有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？

若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

e

变式6．（2024·浙江·校联考二模）设a，已知函数fxx2exax22x2有3个

2

不同零点.

(1)当a0时，求函数fx的最小值：

(2)求实数a的取值范围；

(3)设函数fx的三个零点分别为x1、x2、x3，且x1x30，证明：存在唯一的实数a，使

得x1、x2、x3成等差数列.

lnxax

变式7．（2024·山东临沂·高三统考期中）已知函数f(x)和g(x)有相同的最大值.

xex

(1)求a，并说明函数h(x)f(x)g(x)在（1，e）上有且仅有一个零点；

(2)证明：存在直线yb，其与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

题型四：零点问题之max，min问题

x

例10．（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数fxxsinxcosxax2,gxxln．

π

(1)当a0时，求函数fx在π,π上的极值；

(2)用maxm,n表示m,n中的最大值，记函数hxmaxfx,gx(x0)，讨论函数hx

在0,上的零点个数．

1x

例11．（2024·四川南充·统考三模）已知函数f(x)xsinxcosxax2，g(x)xln．

2π

(1)当a0时，求函数f(x)在[,]上的极值；

(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，记函数h(x)max{f(x),g(x)}(x0)，讨论函数h(x)

在(0,)上的零点个数．

axx2

例12．（2024·四川南充·统考三模）已知函数fxx，gxlnx其中e为自然对

ex2

数的底数.

(1)当a1时，求函数fx的极值；

(2)用maxm,n表示m，n中的最大值，记函数hxmaxfx,gx(x0)，当a0时，

讨论函数hx在0,上的零点个数.

1

变式8．（2024·广东·高三专题练习）已知函数f(x)lnx，g(x)x3ax，aR.

4

(1)若函数g(x)存在极值点x0，且gx1gx0，其中x1x0，求证：x12x00；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，记函数h(x)min{f(x)，g(x)}(x0)，若函数h(x)有

且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)exax2(aR)，gxx1．

(1)若直线ygx与曲线yfx相切，求a的值；

(2)用minm,n表示m，n中的最小值，讨论函数h(x)min{f(x),g(x)}的零点个数．

变式10．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数

1

fxx3ax,gx1xlnx.

4

(1)若过点1,0可作fx的两条切线，求a的值.

(2)用minm,n表示m,n中的最小值，设函数hxminfx,gx(0x1)，讨论hx零

点的个数.

题型五：零点问题之同构法

ax

例13．已知函数f(x)xln(ax)2(a0)，若函数f(x)在区间(0,)内存在零

ex1

点，求实数a的取值范围

a

例14．已知f(x)xlnxx21．

2

（1）若函数g(x)f(x)xcosxsinxxlnx1在(0,]上有1个零点，求实数a的取

2

值范围．

a

（2）若关于x的方程xexaf(x)x2ax1有两个不同的实数解，求a的取值范围．

2

例15．已知函数f(x)aexln(x1)lna1．

（1）若a1，求函数f(x)的极值；

（2）若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围．

题型六：零点问题之零点差问题

例16．已知关于x的函数yf(x)，yg(x)与h(x)kxb(k，bR)在区间D上恒

有f(x)h(x)g(x)．

（1）若f(x)x22x，g(x)x22x，D(,)，求h(x)的表达式；

（2）若f(x)x2x1，g(x)klnx，h(x)kxk，D(0,)，求k的取值范围；

（3）若f(x)x42x2，g(x)4x28，h(x)4(t3t)x3t42t2(0|t|2)，D[m，

n][2，2]，求证：nm7．

例17．已知函数f(x)(x33x2axb)ex．

（1）如ab3，求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在(,)，(2,)单调增加，在(,2)，(,)单调减少，证明：6．

1

例18．已知函数f(x)ae2xx2ax，aR．

2

（1）当a1时，求函数g(x)f(x)x2的单调区间；

4

（2）当0a，时，函数f(x)有两个极值点x，x(xx)，证明：xx2．

e41121221

题型七：零点问题之三角函数

例19．（2024·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数fxasinxln1x．

(1)若对x1,0时，fx0，求正实数a的最大值；

n1

证明：；

(2)sin2ln2

k2k

(3)若函数gxfxex1asinx的最小值为m，试判断方程e1xmln1x0实数根的

个数，并说明理由．

πx

例20．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxxsin.

2

(1)证明：当x0,1时，fx0；

(2)记gxfxalnx，若gx有且仅有2个零点，求a的值.

1

例21．（2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知f(x)asinxx(x1)，且0