2024-2025学年吉林省榆树一中五校高考数学试题仿真试题（二）含解析

2024-2025学年吉林省榆树一中五校高考数学试题仿真试题（二）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是()A． B． C． D．2．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（）A． B． C． D．3．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（）A． B． C． D．4．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．26．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．A． B． C． D．7．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（）A． B． C． D．8．已知复数满足，(为虚数单位)，则()A． B． C． D．39．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（） A．45 B．60 C．75 D．10011．若函数（）的图象过点，则（）A．函数的值域是 B．点是的一个对称中心C．函数的最小正周期是 D．直线是的一条对称轴12．网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，，则_________.14．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________15．满足约束条件的目标函数的最小值是.16．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．18．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.（1）证明：；（2）若的面积，，求角.19．（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，20．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．21．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.（1）求B；（2）若，，且，求BD的长度.22．（10分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选：D本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.2．A【解析】

设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．【详解】解：设直线为，则，，而满足，那么设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，所以故选：．本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．3．B【解析】

设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．【详解】由题意设四面体的棱长为，设为的中点，以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则可得，，取的三等分点、如图，则，，，，所以、、、、，由题意设，，和都是等边三角形，为的中点，，，，平面，为平面的一个法向量，因为与平面所成角为定值，则，由题意可得，因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，，可得，此时，则，.故选：B.考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．4．C【解析】

恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为，.因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.故选：C本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.5．A【解析】

设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为，有，得.双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，则，即，故，即，所以.故选：A.本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.6．A【解析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，平面，且，∴，，，，∴这个四棱锥中最长棱的长度是．故选．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．7．D【解析】

由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解【详解】根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.故选：D本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养8．A【解析】，故，故选A.9．B【解析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由，所以其共轭复数.故选：B.本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.10．B【解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意，．故选：B.本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．11．A【解析】

根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.【详解】由函数（）的图象过点，可得，即，，，故，对于A，由，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，当时，，故D错误；故选：A本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.12．C【解析】

根据图形，计算出，然后解不等式即可.【详解】解：，点在直线上，令因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

由得，算出，再代入算出即可.【详解】，，，，解得：，，则.故答案为：2本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.14．811【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为，故区域面积；令，变为，显然直线过时，z最大，故.故答案为：；11.本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.15．-2【解析】

可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.16．【解析】

根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面积.故答案为：.本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）,曲线（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标系方程，由可得曲线的直角坐标方程；（2）将（为参数）代入曲线的方程得：，，利用韦达定理求解即可.试题解析：（1），曲线，（2）将（为参数）代入曲线的方程得：.所以.所以.18．（1）见解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.【详解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.19．（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）根据频率分布直方图补全列联表，求出，从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【详解】解：（1）由题意得下表：男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100的观测值为所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且，，，所以的分布列为012本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20．（1），；（2）【解析】

（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.【详解】解：（1），，即极坐标方程为，，极坐标方程．（2）由题可知，，