2024-2025学年新教材高中数学 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算（教师用书）教学设计 新人教B版必修第四册

2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.3复数的三角形式及其运算（教师用书）教学设计新人教B版必修第四册学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计思路嗨，同学们，今天我们要一起探索复数的另一个精彩世界——三角形式及其运算。这节课，我会带你们从复数的标准形式出发，通过引入极坐标的概念，揭开复数三角形式的神秘面纱。我们将动手画出复数在复平面上的位置，然后用角度和模长来描述它们，这样的表示方法不仅形象，而且计算起来更简单呢！让我们一起期待这个奇妙的数学旅程吧！🚀💡核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过引入复数的三角形式，学生将学会用几何语言描述复数，提升空间想象能力；通过复数运算的三角形式，锻炼学生的逻辑推理和数学运算能力，同时培养他们运用数学模型解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生们在进入本节课之前，已经学习了复数的基本概念，包括复数的加减乘除运算，以及复数的几何意义。他们应该已经能够将复数表示为标准形式\(a+bi\)，并能够进行基本的复数运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对复数这一抽象概念充满好奇。他们具备一定的抽象思维能力，能够通过观察和实验来理解新概念。学习风格上，有的学生偏好直观的图形表示，有的则更倾向于符号推理和公式运算。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在理解复数的三角形式时，学生可能会遇到将复数从标准形式转换为三角形式以及进行三角形式运算的困难。此外，复数的几何意义和三角表示之间的转换可能会让学生感到抽象，需要通过具体的实例和练习来加深理解。部分学生可能在处理复数运算中的三角函数时感到不适应，需要额外的指导和支持。教学资源准备1.教材：确保每位学生人手一本新教材《高中数学》新人教B版必修第四册，并准备相应的教学参考资料。

2.辅助材料：准备与复数三角形式相关的图片，如单位圆、复平面上的点，以及复数三角形式的转换图示，并精选相关教学视频辅助理解。

3.教室布置：设置分组讨论区，提供白板和标记笔，以便进行互动和板书展示。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的旋转现象，如地球自转、钟表指针的运动等，引导学生思考旋转与角度的关系。

2.提出问题：如果将旋转应用于复数，复数会呈现怎样的形态？如何用角度和长度来描述复数？

3.引导学生回顾复数的基本概念和运算，为三角形式的学习做好铺垫。

二、讲授新课（15分钟）

1.介绍复数的三角形式：将复数表示为\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)的形式，其中\(r\)为模长，\(\theta\)为辐角。

2.讲解复数三角形式的转换方法：从标准形式\(a+bi\)转换为三角形式，以及从三角形式转换回标准形式。

3.通过实例演示复数三角形式的运算，如乘法、除法等，让学生理解运算规律。

三、巩固练习（15分钟）

1.分组讨论：将学生分成小组，每组完成一道复数三角形式的转换和运算题目，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

2.全班交流：每组派代表展示解题过程，其他同学补充或纠正，教师点评并总结。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问：如何判断一个复数是否在单位圆上？

2.提问：复数三角形式的运算有什么特点？

3.提问：如何利用复数三角形式解决实际问题？

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：如果已知一个复数的模长和辐角，如何求出它的实部和虚部？

2.学生回答：根据复数三角形式的定义，可以计算出实部\(a=r\cos\theta\)和虚部\(b=r\sin\theta\)。

3.教师总结：复数三角形式在解决实际问题中具有重要作用，如计算复数的模长、辐角等。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.引导学生思考：复数三角形式在物理学、工程学等领域有哪些应用？

2.学生分享：例如，在电子技术中，复数三角形式可以描述电路中的电压、电流等物理量。

3.教师总结：复数三角形式是数学与实际应用相结合的典范，有助于培养学生的数学建模能力。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结本节课所学内容，强调复数三角形式的重要性和应用价值。

2.布置作业：完成教材中的相关练习题，巩固所学知识。

教学过程设计总用时：45分钟拓展与延伸六、拓展与延伸

1.**复数的极坐标表示与几何应用**：

-学生可以阅读关于极坐标系统的内容，了解极坐标在复数表示中的应用。通过极坐标，复数可以直观地表示为单位圆上的点，其模长为该点到原点的距离，辐角为该点与正实轴的夹角。这一概念在信号处理、电磁学等领域有着广泛的应用。

-鼓励学生尝试绘制复数的极坐标图，并探究如何从极坐标形式转换回标准形式。

2.**复数三角形式的乘除运算性质**：

-提供一些复数三角形式乘除运算的性质，如乘法时辐角相加，模长相乘；除法时辐角相减，模长相除。学生可以通过实际计算来验证这些性质，并探讨其在实际问题中的应用。

-学生可以尝试解决一些涉及复数三角形式乘除运算的实际问题，如电路分析中的阻抗计算。

3.**复数的三角形式与复平面上的旋转**：

-通过阅读相关材料，学生可以学习到复数的三角形式与复平面上的旋转之间的关系。例如，一个复数乘以\(e^{i\theta}\)（其中\(e\)是自然对数的底数），其辐角增加\(\theta\)，模长保持不变。

-学生可以绘制一系列旋转后的复数图像，观察旋转角度与复数变化之间的关系。

4.**复数的三角形式在解析几何中的应用**：

-探讨复数三角形式在解析几何中的应用，如如何用复数表示圆、椭圆等圆锥曲线。

-学生可以尝试将解析几何中的曲线方程转换为复数形式，并分析其几何意义。

5.**复数三角形式的数学竞赛问题**：

-收集一些涉及复数三角形式的数学竞赛题目，让学生在课后进行练习。这些题目可能包括复数的三角形式与复平面上的轨迹、复数三角形式的极值问题等。

-通过解决这些竞赛题目，学生可以提升自己的数学思维能力和解题技巧。

6.**复数三角形式在物理中的应用**：

-探究复数三角形式在物理中的应用，如电学中的交流电分析、振动和波的分析等。

-学生可以通过研究这些应用，理解复数三角形式如何帮助物理学家描述和分析复杂的物理现象。板书设计①复数的三角形式

-标准形式：\(a+bi\)

-三角形式：\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

-模长：\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)

-辐角：\(\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)

②复数三角形式的转换

-从标准形式到三角形式：

-\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)

-\(\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)

-从三角形式到标准形式：

-\(a=r\cos\theta\)

-\(b=r\sin\theta\)

③复数三角形式的运算

-乘法：

-模长相乘：\(r_1\cdotr_2\)

-辐角相加：\(\theta_1+\theta_2\)

-除法：

-模长相除：\(\frac{r_1}{r_2}\)

-辐角相减：\(\theta_1-\theta_2\)

-幂运算：

-\(r^n(\cosn\theta+i\sinn\theta)\)

-根运算：

-模长开\(n\)次方：\(r^{1/n}\)

-辐角除以\(n\)：\(\theta/n\)教学评价1.课堂评价：

-提问：通过课堂提问，了解学生对复数三角形式及其运算的理解程度。问题可以包括基本概念、转换方法、运算技巧等。

-观察：观察学生在课堂上的参与度，如是否积极举手回答问题，是否能够正确完成板书上的计算等。

-小组讨论：通过小组讨论，评估学生的合作能力和问题解决能力。注意观察学生在讨论中的角色和贡献。

-测试：在课程结束时进行简短的小测验，测试学生对复数三角形式及其运算的掌握情况。测试可以包括选择题、填空题和简答题。

-及时反馈：对于学生在课堂上的表现，教师应及时给予正面或负面的反馈，帮助学生了解自己的学习进度和需要改进的地方。

2.作业评价：

-作业批改：对学生的作业进行认真批改，确保作业的准确性和完整性。注意批改的细致性，对学生的错误进行详细的分析和解释。

-反馈机制：在批改作业后，及时将作业反馈给学生，指出他们的优点和需要改进的地方。鼓励学生根据反馈进行自我修正。

-个性化指导：对于作业中表现出的个别问题，教师应提供个性化的指导和建议，帮助学生克服困难。

-定期回顾：定期回顾学生的作业情况，与学生的家长进行沟通，共同关注学生的学习进度和表现。

-成绩记录：将学生的作业成绩记录在成绩册中，作为学生学期末成绩的一部分。

3.形成性评价：

-课堂参与度：记录学生在课堂上的参与情况，包括提问次数、小组讨论中的发言次数等。

-作业完成情况：跟踪学生的作业完成情况，包括作业的准确率、完成速度和自我修正的能力。

-学习态度：观察学生的学习态度，包括对复数三角形式及其运算的兴趣、努力程度和对待学习的认真态度。

4.总结性评价：

-期末考试：通过期末考试，全面评估学生对复数三角形式及其运算的掌握程度。

-学生自评：鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现和进步。

-教师评价：教师根据学生的学习表现和作业完成情况，给出综合评价。课后作业1.**复数三角形式的转换**

-将复数\(3+4i\)转换为三角形式。

-解答：模长\(r=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，辐角\(\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)。因此，复数\(3+4i\)的三角形式为\(5(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其中\(\theta\approx0.927\)（弧度）。

2.**复数三角形式的乘法**

-计算\((2+3i)(4-5i)\)的结果，并以三角形式表示。

-解答：模长\(r_1=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)，辐角\(\theta_1=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)\)；模长\(r_2=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\)，辐角\(\theta_2=\arctan\left(\frac{-5}{4}\right)\)。

-\(r_1\cdotr_2=\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}=\sqrt{533}\)，辐角\(\theta_1+\theta_2=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)+\arctan\left(\frac{-5}{4}\right)\)。

-因此，结果为\(\sqrt{533}(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))\)。

3.**复数三角形式的除法**

-计算\(\frac{1+i}{3-4i}\)的结果，并以三角形式表示。

-解答：模长\(r_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，辐角\(\theta_1=\arctan(1)\)；模长\(r_2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\)，辐角\(\theta_2=\arctan\left(\frac{-4}{3}\right)\)。

-\(r_1\divr_2=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}\)，辐角\(\theta_1-\theta_2=\arctan(1)-\arctan\left(\frac{-4}{3}\right)\)。

-因此，结果为\(\frac{1}{5}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))\)。

4.**复数三角形式的幂运算**

-计算\((3+4i)^{3/2}\)的结果，并以三角形式表示。

-解答：模长\(r=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，辐角\(\theta=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)。

-\(r^{3/2}=5^{3/2}\)，辐角\(3/2\cdot\theta=\frac{3}{2}\cdot\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\)。

-因此，结果为\(5^{3/2}(\cos(\frac{3}{2}\cdot\theta)+i\sin(\frac{3}{2}\cdot\theta))\)。

5.**复数三角形式的根运算**

-计算\((1+i)^{1/3}\)的结果，并以三角形式表示。

-解答：模长\(r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)，辐角\(\theta=\arctan(1)\)。

-\(r^{1/3}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\)，辐角\(1/3\cdot\theta=\frac{1}{3}\cdot\arctan(1)\)。

-因此，结果为\(\sqrt[3]{\sqrt{2}}(\cos(\frac