2024秋高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-1.6三角函数模型的简洁应用A级基础巩固一、选择题1．某人的血压满意函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60 B．70 C．80 D．90解析：因为T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80.答案：C2．如图，某港口一天6时到18时的水深改变曲线近似满意函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6 C．8 D．10解析：由题图知，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k＝2，所以k＝5.因此，函数的最大值是3×1＋5＝8.故水深的最大值为8.答案：C3．为了探讨钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为P(x，y)，若初始位置为P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)正常起先走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t－\f(π,3)))解析：由题意，可得函数的初相是eq\f(π,6)，解除B、D.函数的最小正周期是60，所以T＝eq\f(2π,|ω|)＝60，所以|ω|＝eq\f(π,30)，因为秒针按顺时针转动，所以ω＝－eq\f(π,30)，故选C.答案：C4．一种波的波形为函数y＝－sineq\f(π,2)x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是()A．5 B．6 C．7 D．8解析：函数y＝－sineq\f(π,2)x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.答案：C5．如图所示，单摆从某点起先来回摇摆，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆来回摇摆一次所需的时间为()A．2πs B．πs C．0.5s D．1s解析：单摆来回摇摆一次，即完成一个周期，所以T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,2π)＝1s，即单摆来回摇摆一次所需的时间为1s.答案：D二、填空题6．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期视察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋A＝15，,k－A＝9，))解得A＝3，k＝12，ω＝eq\f(π,6).又t＝0时，y＝12，所以φ＝0.答案：y＝12＋3sineq\f(π,6)t7．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的改变规律可以拟合为函数I＝5eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5s内往复运动的次数是________________．解析：周期T＝eq\f(1,50)s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.答案：258．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，当x＝10时，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.答案：20.5三、解答题9．试验室某一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的改变近似满意函数关系：f(t)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0，24)．(1)求试验室这一天上午8时的温度；(2)求试验室这一天的最大温差．解：(1)f(8)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×8＋\f(π,3)))＝10－2sinπ＝10.故试验室这一天上午8时的温度为10℃.(2)因为0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.当t＝2时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；当t＝14时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.所以f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故试验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.10．确定方程sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝lgx的实数解的个数．解：作函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))及y＝lgx的图象如图所示，由图可知，原方程的实数解的个数为7.B级实力提升1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(π,4))) B．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4)))C．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))) D．f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))解析：由题意知A＝3，eq\f(1,4)T＝6－2＝4，所以T＝16，故T＝eq\f(2π,ω)＝16，所以ω＝eq\f(π,8)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))，因为最高点为(2，3)，所以3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×2＋φ))＝3，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，又0＜φ＜π.所以φ＝eq\f(π,4)，所以f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).答案：C2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．解析：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋B＝8，,－A＋B＝4，))解得A＝2，B＝6.周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,4).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,4)＋φ))＋6.又当x＝3时，y＝8，所以8＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＋6.所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ))＝1，结合|φ|＜eq\f(π,2)可得φ＝－eq\f(π,4).所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋6.答案：2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋63．如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈须要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．假如你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的改变而改变，从你登上摩天轮的时刻起先计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解：(1)由已知可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝eq\f(π,6).所以y＝