第18章 平行四边形专题-平行四边形中的折叠与动点问题(含答案)

八年级数学新课标测试专项素养巩固训练卷【平行四边形中的折叠与动点问题】Ⅰ、平行四边形中的折叠问题类型一平行四边形中的折叠问题1.如图，在□ABCD中，∠C＝136°，M,N分别是边AD,BC上的点，将□ABCD沿MN进行折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A落在□ABCD外的点A′处，若∠CB′N＝28°，求∠A′MD的度数2.如图，将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处，AB′与CD交于点E.(1)求证：△AED≌△CEB′；(2)过点E作EF⊥AC交AB于点F,连接CF,判断四边形AECF的形状并给予证明.类型二矩形中的折叠问题3.【方程思想】如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8,BC＝10,折叠纸片的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，AE为折痕.请回答下列问题：(1)AF＝_______；(2)试求线段DE的长度；(3)若点P为线段AE上的一个动点，连接BP和FP,求BP+FP的最小值.4.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在BD上的点M处，点F在BC上，将△CDF沿DF翻折，使点C落在BD上的点N处(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若AB＝6,BC＝8,求FN的长.类型三菱形中的折叠问题5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(点G不与B、D重合)，折痕为EF,若DG＝2,BG＝6,求BE的长类型四正方形中的折叠问题6.把正方形ABCD对折，得到折痕MN(如图①)，展开后把正方形ABCD沿CE折叠，使点B落在MN上的点B′处，连接B′D(如图②).试求∠BCB′及∠ADB′的度数.Ⅱ、平行四边形中的动点问题类型一平行四边形中的动点问题1.已知在□ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动(1)如图①，在点P运动过程中，若CP平分∠BCD,且满足CD＝CP,求∠B的度数；(2)如图②，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC上往返运动，P,Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时点Q也停止运动)，若AD＝6cm,求当运动时间为多少秒时，以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形.类型二矩形中的动点问题2.如图，在矩形ABCD中，AB＝24厘米，BC＝10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2厘米/秒的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(1)当t＝2时，求P、Q两点之间的距离；(2)t为何值时，线段AQ与DP互相平分？(3)t为何值时，四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的？类型三菱形中的动点问题3.如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm,∠DAB＝60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q,在点P运动过程中，设运动时间为t(s).(1)写出线段PD的长(用含t的式子表示)；(2)当PQ平分菱形ABCD的面积时，求t的值.类型四正方形中的动点问题4.【方程思想】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米.(1)如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由.②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以4厘米/秒的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇，并说明在何处相遇

【参考答案及解析】专项素养巩固训练卷：Ⅰ、平行四边形中的折叠问题1.【解析】：∴∠C＝136°，∠CB′N＝28°，∴∠B′NC＝16°，由折叠性质可知∠BNM＝∠MNB′,∠AMN＝∠A′MN,∴∠BNM＝×(180°－16°)＝82°,∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC,∴∠AMN+∠BNM＝180°，∴∠AMN＝180°－82°＝98°，∴∠A′MN＝98°，∴∠A′MD＝98°+98°－180°＝16°.【方法解读】图形的折叠(1)折叠的实质是轴对称，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称.(2)折叠前后的两部分图形全等，对应边，对应角，对应线段，周长，面积均相等.2.【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC,∠B＝∠D,由折叠可得BC＝B′C,∠B＝∠B′,∴∠D＝∠B′,AD＝B′C,又∠DEA＝∠B′EC,∴△AED≌△CEB′(AAS).(2)四边形AECF是菱形，证明：∵△AED≌△CEB′,.AE＝CE,又EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∠AEF＝∠CEF,.AF＝CF,∵CD∥AB,∴∠CEF＝∠EFA,..∠AEF＝∠EFA.∵AF＝AE,∴AF＝AE＝CE＝CF,∴四边形AECF是菱形.3.【解析】：(1)折叠纸片，使点D落在BC边上的点F处，则AF＝AD＝BC＝10,故答案为10.(2)在Rt△ABF中，BF＝＝＝6，∴FC＝BC－BF＝10－6＝4,由折叠的性质知DE＝EF,设DE＝EF＝x,则EC＝DC－DE＝8－x,在Rt△EFC中，,即42+(8－x)2＝x2,解得x＝5,∴DE＝5.(3)如图，连接PD,BD,由折叠的性质知D、F关于AE对称，∴PF＝PD,则BP+PF＝BP+PD≥BD，∴BP+PF的最小值为BD的长，在Rt△BCD中，BD＝＝＝2，∴BP+PF的最小值为2.4.【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABD＝∠CDB,由翻折的性质可知∠EBD＝∠ABD,∠FDB＝∠CDB,∴∠EBD＝∠FDB,∴BE∥FD,又DE∥BF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，设CF＝x,则BF＝8－x,由翻折的性质可知，DN＝CD＝6,FN＝CF＝x,∠FND＝90°，∴BN＝BD－DN＝4,在Rt△BNF中，BF2＝FN2+BN2,即(8－x)2＝x2+42,解得x＝3,即FN＝3.5.【解析】：作EH⊥BD于H(如图)，由折叠的性质可知EG＝EA,由题意得BD＝DG+BG＝8,四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB,∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝8,设BE＝x,则EG＝AE＝8－x,在Rt△EHB中,BH＝x,EH＝x,在R△ENG中.EG2＝EH2+CH2.即,解得x＝2.8,即BE＝2.8.6.【解析】：连接BB′,如图，由折叠可得BC＝B′C,BB′＝B′C,∴BC＝BB′＝B′C,∴△B′BC是等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠B′CD＝30°，∵DC＝B′C,∴∠CB′D＝∠CDB′,∴∠CB′D＝∠CDB′＝×(180°－30°)＝75°，.∴∠ADB′＝90°－75°＝15°.Ⅱ、平行四边形中的动点问题1.【解析】：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴∠DPC＝∠PCB,∴CP平分∠BCD,∴∠PCD＝∠PCB,∴∠DPC＝∠DCP,∴DP＝CD,∴CD＝CP,∴CP＝CD＝DP,∴△PDC是等边三角形，∴∠B＝∠D＝60°.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,PD∥BQ,∴以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形时，PD＝BQ,设运动时间为t秒，①当0≤t≤3时，PD＝(6－0.5t)cm,BO＝(6－2t)cm,.6－0.5t＝6－2t,解得t＝0；②当3<t≤6时,PD＝(6－0.5t)cm,BQ＝(2t－6)cm,∴6－0.5t＝2t－6,解得t＝4.8；③当6<t≤9时，PD＝(6－0.5t)cm,BQ＝(18－2t)cm,∴6－0.5t＝18－2t,解得t＝8；④当9<t≤12时，PD＝(6－0.5t)cm,BQ＝(2t－18)cm,∴6－0.5t＝2t－18,解得t＝9.6.综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形.2.【解析】：(1)如图所示，连接PQ,过点P作PE⊥DQ于点E,∵点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2厘米/秒的速度运动，∴当t＝2时，QC＝4cm,AP＝8cm,∴DQ＝24－QC＝20cm,则EQ＝12cm,∴PQ＝＝＝2(cm),即当t＝2时，P,Q两点之间的距离为2cm.(2)由题意知AP＝4tcm,DQ＝(24－2t)cm,当线段AQ与DP互相平分时，四边形APQD为矩形，则AP＝DQ,即4t＝24－2t,解得t＝4.故t为4时，线段AQ与DP互相平分(3)S四边形APQD＝(AP+DQ)·AD＝(4t+24－2t)×10＝(10t+120)cm2,S矩形ABCD＝10×24＝240cm2,∴10t+120＝×240,解得t＝3.∴t为3时，四边形APQD的面积为矩形ABCD面积的.【方法解读】动点问题的解题策略策略一:动中寻静,在“静”中探求“动”的规律,获得图形在运动的过程中具有的某种性质，抓住变化中不变的因素，进行求解；策略二：化动为静，抓住动的一个瞬间(或一个确定的位置)，从而找到“动”与“静”的关系；策略三：以静制动，当图形中点的位置变化导致线段间数量关系发生变化时，可寻找变量间的等量关系，建立函数模型或方程模型进行求解.3.【解析】：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝4cm,当0≤t≤2时，PD＝(4－2t)cm；当2<t≤4时，PD＝(2t－4)cm.(2)如图，连接BD,设BD交PQ于点O,过点D作DM⊥AB于点M,则四边形DPQM为矩形，∴DP＝MQ,∵AD＝AB＝4cm,∠DAB＝60°，∴AM＝AD＝2.cm,当PQ平分菱形ABCD的面积时，PQ经过BD的中点，∴OB＝OD,四边形ABCD是菱形，DC∥AB,∴∠PDO＝∠OBQ,∠DPO＝∠BQO,△DPO≌△BQO(AAS),∴DP＝BQ＝(2t－4)cm,∴2+2t－4+2t－4＝4,解得t＝4.【解析】：(1)①全等，理由：由题意得BP＝CQ＝4×1＝4厘米，∵正方形ABCD的边长为10厘米，∴PC＝6厘米＝BE,又∵正方形AB