《备考指南一轮 数学 》课件-第10章 第2讲

统计第十章第2讲用样本估计总体考点要求考情概览1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．2．能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．3．了解样本估计总体的取值规律考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测本年度将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图估计总体，利用样本数字特征估计总体．题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型．频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题．学科素养：主要考查直观想象、数据分析的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求______，决定组数和组距，组距＝______；第二步：________，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．极差

分组

(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示________，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的________．频率

2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，________减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．中点

组数

组距

3.样本的数字特征(1)众数：一组数据中______________的那个数据，叫作这组数据的众数．(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．(3)平均数：把______________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．出现次数最多

最中间

1．(2019年长春期末)10名学生在一次数学考试中的成绩分别为x1，x2，…，x10，要研究这10名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是

(

)A．频率

B．平均数C．独立性检验

D．方差【答案】D3．(2020年青岛模拟)已知等差数列{xn}的公差为2，若x1，x2，x3，x4，x5是从总体中抽取的5个样本数据，则此样本的方差为 (

)A．12 B．4C．8 D．10【答案】C【答案】BC5．(2020年芜湖月考)一组数据从小到大排列，依次为2,3,4，x,9,10，若它们的中位数与平均数相等，则x＝________.【答案】86．(2020年上海)已知有四个数1,2，a，b，这四个数的中位数为3，平均数为4，则ab＝________.【答案】36频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小矩形的面积和相等．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．

(

)(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．

(

)(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了． (

)(4)方差与标准差有相同的单位． (

)(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．

(

)(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．

(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×重难突破能力提升2

(1)(2020年天津)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为(

)A．10 B．18C．20 D．36频率分布直方图(2)(2019年新课标Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中给A组小鼠服甲离子溶液，给B组小鼠服乙离子溶液，给每只小鼠服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(i)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(ii)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【答案】(1)B

(2)见解析【解析】由题意可得，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，则区间[5.43,5.47)内零件的个数为80×0.225＝18.(2)解：(i)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(ii)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.【变式精练】1．(2020年南昌模拟)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因店面需重新装修，现需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换(用频率估计概率)．(1)根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支，若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的数量；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．解：(1)由题图可知，各组中值依次为3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为3100×0.1＋3300×0.3＋3500×0.4＋3700×0.2＝3440(小时)．(2)由题图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换5×0.8＝4(支)．(3)若选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；若选择B型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．因为967.5>870，所以该商家应选择A型节能灯．(1)某地区经过一年的新农村建设，经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区的经济收入变化情况，现统计了该地区新农村建设前后的经济收入构成比例，得到如下扇形图：扇形图、折线图的应用则下面结论中不正确的是

(

)A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半(2)“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．根据该统计图判断，下列结论正确的是 (

)A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从该关键词的搜索指数来看，2018年10月的方差小于11月的方差D．从该关键词的搜索指数来看，2018年12月的平均值大于2019年1月的平均值【答案】(1)A

(2)D(2)由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2018年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2018年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2018年12月该关键词的搜索指数大多高于10000，该月平均值大于10000,2019年1月该关键词的搜索指数大多低于10000，该月平均值小于10000.【解题技巧】扇形、折线统计图的特点(1)通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．【变式精练】2．某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论错误的是 (

)A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【答案】D【解析】在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．示通法平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．样本的数字特征(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．【解题技巧】用样本的数字特征估计总体问题的类型及解法(1)直接给出样本数据：根据平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算得出相应数据．(2)给出统计图表，一方面可由图形得到相应的样本数据，再计算相应数据；另一方面，可从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性反映方差(标准差)的大小．(3)用样本估计总体时，若所得数据不