2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义43 圆的综合题含答案或解析

微专题43圆的综合题类型一与锐角三角函数结合1.如图，AB为☉O的直径，△BCD内接于☉O，连接DA并延长交BC的延长线于点E，且∠E＝∠ABC.（1）求证：BC＝EC；（2）若EC＝20，tan∠BCD＝247，求☉O的半径第1题图2.如图，四边形ABCD内接于☉O，对角线BD为☉O的直径，对角线AC是∠BCD的平分线，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E.（1）求证：AE是☉O的切线；（2）若∠AEB＝60°，BD＝22，求AC的长.第2题图3.（2021广东24题10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积.第3题图类型二与全等三角形结合1.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作☉O，交斜边AC于点D，连接BD.（1）若∠C＝30°，求ADCD的值（2）过点D作☉O的切线，交BC于点E，求证：E是BC的中点.第1题图2.（2024梅州模拟）如图，P为☉O外一点，PA，PB为☉O的切线，切点分别为A，B，直线PO交☉O于点D，E，交AB于点C.（1）求证：∠ADE＝∠PAE；（2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形.第2题图3.如图，BC为☉O的弦，点A为劣弧BC的中点，D为BC上一点，连接AD，过点A作☉O的切线AE，连接CE，CE∥AD，点F为AE上一点，AF＝BD，连接AB，AC，CF.（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当BD＝EF＝12AB时，求证：AC＝2AD第3题图4.（2023广东22题12分）综合探究如图①，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E，连接CA'.（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图②，☉O与CD相切，求证：AA'＝3CA'；②如图③，☉O与CA'相切，AD＝1，求☉O的面积.第4题图类型三与相似三角形结合[6年2考：2020.22（2），2019.24（3）]1.如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，连接CD，过点C作☉O的切线交DB的延长线于点E，且DE⊥CE.（1）求证：AC＝CD；（2）若☉O的半径为5，BC＝6，求BD的长.第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE的外接☉O与BC交于点F，连接AF，AF平分∠BAC.（1）求证：BC为☉O的切线；（2）若AD·CE＝8，求☉O的半径.第2题图3.（2024珠海一模）如图，AB是☉O的直径，C是半圆AB的中点，点D是☉O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF＝DF.（1）求证：DF是☉O的切线；（2）连接BC，BD，AD，若tan∠BCD＝12，DF＝3，求☉O的半径第3题图4.如图①，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝AC，且△ABC内接于☉O.（1）当BC为☉O直径时，求证：BC＝2AB；（2）如图②，当CD与☉O相切时，求证：四边形ABCD是菱形；（3）如图③，当CD与☉O相交于点E时，连接BE，交AC于点F，若EF·AB＝CE2，求∠D的度数.第4题图类型一与锐角三角函数结合1.(1)证明：如解图，连接AC，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵∠E＝∠ABC，∴AE＝AB，∴BC＝EC；第1题解图(2)解：∵∠DAB＝∠BCD，∴tan∠DAB＝tan∠BCD＝247∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴tan∠DAB＝BDAD＝24设AD＝7x，则BD＝24x，∴AB＝AD2＋B∴由(1)知，AE＝AB＝25x，∴DE＝AE＋AD＝25x＋7x＝32x，∵CE＝20，∴BE＝2CE＝40，在Rt△BDE中，∵BD2＋DE2＝BE2，∴(24x)2＋(32x)2＝402，解得x＝1(负值已舍去)，∴AB＝25x＝25，∴☉O的半径为2522.(1)证明：如解图，连接OA，∵AC是∠BCD的平分线，∴∠ACB＝∠ACD，∴∠AOB＝∠AOD，∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∵BD∥AE，∴∠OAE＝∠AOD＝90°，∵OA是☉O的半径，∴AE是☉O的切线；(2)解：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，∵AE∥BD，∴∠AEB＝∠CBD＝60°，∵BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠BDC＝30°，∴BC＝12BD＝2∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝12∠BCD＝45∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝BC·sin45°＝1，∵∠BAC＝∠BDC＝30°，在Rt△ABF中，AF＝BFtan∠BAC∴AC＝AF＋CF＝3＋1.第2题解图3.(1)证明：∵CD＝DF，∴设∠DCF＝∠DFC＝α，∴∠FDC＝180°－2α，∵CD∥AB，∴∠BAF＝180°－(180°－2α)＝2α，又∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝180°－2α2＝∴∠CFB＝180°－∠DFC－∠AFB＝180°－α－(90°－α)＝90°，∴CF⊥FB；(2)证明：如解图①，取AD的中点O，过点O作OM⊥BC于点M，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠DCB＝90°，又∵OM⊥BC，∴OM∥AB，∴点M为BC的中点，∴OM＝12(AB＋CD)又∵AF＝AB，DF＝DC，∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD＝2OM，∴OM＝12AD＝OD∴OM是以AD为直径的圆的半径，又∵OM⊥BC，∴以AD为直径的圆与BC相切；(3)解：∵∠DFE＝120°，∠ABC＝90°，CD∥EF，AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠CDF＝60°，∠BAF＝120°，∠AFE＝60°，∠CEF＝∠BEF＝∠EBA＝90°，又∵DC＝DF，∴△DCF为等边三角形，∠DFC＝60°，∴∠CFE＝60°，由(1)得∠CFB＝90°，∴∠EFB＝∠CFB－∠CFE＝30°，∵EF＝2，∴在Rt△BFE中，BE＝EF·tan30°＝23在Rt△CEF中，CE＝EF·tan60°＝23，如解图②，过点D，A分别作EF的垂线，交直线EF于点H，N，则四边形CEHD，四边形EBAN均为矩形，∴CE＝DH＝23，BE＝AN＝23∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA＝12EF·DH＋12EF＝12EF·(DH＋AN＝12×2×(23＋2＝83第3题解图类型二与全等三角形结合1.(1)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠A＝60°，∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝33BD，CD＝3BD∴ADCD＝33BD(2)证明：如解图，连接OD，OE，∵DE是☉O的切线，∴∠ODE＝90°，在Rt△OBE与Rt△ODE中，OD∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠DBE，∵∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠C，∴DE＝CE，∴BE＝CE，∴E是BC的中点.第1题解图2.证明：(1)如解图①，连接OA，第2题解图①∵DE是☉O的直径，∴∠DAE＝90°，即∠DAO＋∠OAE＝90°，∵PA为☉O的切线，∴∠PAO＝90°，即∠PAE＋∠OAE＝90°，∴∠DAO＝∠PAE，∵AO＝DO，∴∠DAO＝∠ADE，∴∠ADE＝∠PAE；(2)如解图②，连接OA，OB，∵∠ADE＝30°，∴∠AOE＝60°，∵PA为☉O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠APO＝90°－∠AOE＝30°，∴AD＝AP，∵PA，PB为☉O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵PO＝PO，OA＝OB，∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠ADE＝∠BPO，∴AD∥PB，∵PA＝PB＝AD，∴四边形ADBP是平行四边形，又∵AD＝AP，∴四边形ADBP是菱形.第2题解图②3.证明：(1)如解图，连接OA，∵点A为劣弧BC的中点，AE是☉O的切线，∴OA⊥BC，DA⊥AE，∴AE∥BC，即AE∥CD，∵CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形；第3题解图(2)∵BD＝AF，BD＝EF，∴AF＝EF，∴BD＝12AE∵点A为劣弧BC的中点，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∵BD＝12AB∴BD＝12AC，∴AC＝AE由(1)得AE∥CD，∴∠ACB＝∠CAF，∴∠ABD＝∠CAF，∴△ABD≌△CAF(SAS)，∴AD＝CF，由(1)知四边形ADCE为平行四边形，∴AD＝CE，∴CF＝CE，∴∠E＝∠EFC，∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠E＝∠EFC，∴△EFC∽△ECA，∴EFEC＝CE设EF＝x，则AC＝AE＝2x，∴xEC＝CE2x，∴CE＝2x，∴AD＝∴ACAD＝2x2x＝2，∴AC4.(1)证明：∵点A关于BD的对称点为A'，∴AE＝A'E，AA'⊥BD，即AA'⊥OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE是△ACA'的中位线，∴OE∥CA'，∴AA'⊥CA'； (3分)(2)①证明：如解图①，设CD与☉O相切于点F，连接FO并延长，交AB于点G，∴FG⊥CD，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝OA＝12BD，AB∥CD，FG⊥AB∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)， (5分)∴OG＝OF＝OE，由(1)知AA'⊥BD，∵OG⊥AB，∴Rt△DEA≌Rt△OGA(HL)，∴∠EAO＝∠GAO，∴∠GBO＝∠EAO，∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由(1)知AA'⊥CA'，∴tan∠EAO＝CA'AA'∴AA'＝3CA'； (7分)第4题解图①②解：如解图②，设CA'与☉O相切于点H，连接OH，∵☉O与CA'相切，∴OH⊥CA'，由(1)知，AA'⊥CA'，AA'⊥BD，OA＝OC，∴四边形OHA'E为矩形，∵OE＝OH，∴四边形OHA'E为正方形，∴AA'＝2A'E＝2OH，CA'＝2A'H＝2OE，∴AA'＝CA'，∴∠A'AC＝∠A'CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA'＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA＝2AE，设AE＝DE＝x，则OD＝OA＝2x，∴DE＝OD－OE＝(2－1)x，在Rt△ADE中，x2＋[(2－1)x]2＝12，∴x2＝2+24，即AE2＝OE2＝∴S☉O＝π·OE2＝2π＋2π4第4题解图②类型三与相似三角形结合1.(1)证明：如解图，连接OC，AD，∵CE是☉O的切线，∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.∵DE⊥CE，∴OC∥DE，∴∠OCB＝∠CBE.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠OBC.∵四边形ACBD内接于☉O，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ADC＝∠ABC＝∠CBE，∴∠CAD＝∠ADC，∴AC＝CD；第1题解图(2)解：∵☉O的半径为5，∴AB＝10，在Rt△ABC中，BC＝6，∴CD＝AC＝AB2－∵∠BAC＝∠BDC，∠ACB＝∠CED＝90°，∴△ABC∽△DCE，∴ABDC＝ACDE＝BCCE，即108＝8DE＝6CE，解得DE＝在Rt△BCE中，BE＝BC2－∴BD＝DE－BE＝1452.(1)证明：如解图，连接OF，∵∠BAC＝90°，∴DE是☉O的直径，又∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝45°，∴∠DOF＝2∠DAF＝90°，∵DE∥BC，∴∠OFB＝180°－∠DOF＝90°，∵OF为☉O的半径，∴BC为☉O的切线；(2)解：如解图，连接DF，EF，∵四边形ADFE是☉O的内接四边形，∴∠ADF＋∠AEF＝180°，又∵∠CEF＋∠AEF＝180°，∴∠ADF＝∠CEF，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，∵∠DAF＝∠DEF，∴∠DAF＝∠EFC，∴△DAF∽△EFC，∴DAEF＝DF∴EF·DF＝DA·EC＝8，∵∠DAF＝∠CAF＝45°，∴EF＝DF，∴EF2＝8，∴EF＝22，∵OE＝OF，∴OE＝22EF＝2∴☉O的半径为2.第2题解图3.(1)证明：如解图，连接OD，OC，∵C是半圆AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠OCE＋∠OEC＝90°.∵∠OEC＝∠DEF，∴∠DEF＋∠OCD＝90°.∵EF＝DF，∴∠DEF＝∠EDF，∴∠EDF＋∠OCD＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠EDF＋∠ODC＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD为☉O的半径，∴DF是☉O的切线；(2)解：∵∠BCD＝∠A，tan∠BCD＝12∴tanA＝tan∠BCD＝12∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴tanA＝BDAD＝1∵∠ODF＝∠ADB＝90°，∴∠ODA＝∠BDF，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠BDF＝∠A，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴FBFD＝DFAF＝BDDA∵DF＝3，∴FB＝32，AF＝6∴AB＝AF－BF＝6－32＝9∴☉O的半径