2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义27 正方形含答案或解析

微专题27正方形考点精讲构建知识体系考点梳理1.正方形的性质与判定(6年8考)(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(2)正方形的性质边四条边都相等，对边平行角四个角都是直角对角线对角线相等且互相①；每一条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条②的交点(3)正方形的判定边有一组邻边相等，并且有一个角是③的平行四边形是正方形(定义)；有一组邻边④的矩形是正方形角有一个角是⑤的菱形是正方形对角线对角线⑥的矩形是正方形；对角线⑦的菱形是正方形；对角线互相⑧的四边形是正方形2.正方形面积面积计算公式：S＝a2＝12l2(a表示边长，l表示对角线长3.平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系4.中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形【温馨提示】连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半练考点1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BD＝42，E是对角线AC上一点，连接BE.第1题图(1)∠ACB的度数为；(2)AO的长为；(3)正方形ABCD的周长为，面积为；(4)若∠ABE＝15°，则BE的长为.2.下列说法中，正确的是()A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形3.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是.(填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”)第3题图高频考点考点1与正方形有关的证明及计算(6年8考)例1已知四边形ABCD为正方形，边长为4，点M为BD上一点，连接AM.(1)如图①，过点M分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，求证：四边形BEMF是正方形；例1题图①(2)如图②，若BM＝3DM，求AM的长；例1题图②(3)如图③，连接AC交BD于点O，若AM平分∠DAC，延长AM交CD于点N，求DNAB的值例1题图③(4)如图④，过点B作BE⊥AM于点E，分别延长BE，AM交AD于点F，交CD于点N，连接DE，若N是CD的中点，求∠DEN的度数.例1题图④考点2中点四边形例2如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是()例2题图A.AB＝CD B.AC⊥BD C.CD＝BC D.AC＝BD变式1(2024山西)在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为()互相垂直平分 B.互相平分且相等 C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等真题及变式命题点与正方形性质有关的计算(6年8考) 1.(2024广东7题3分)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是()A.2 B.5 C.10 D.202.(2019广东10题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于点M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K.则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第2题图2.1变条件——增加线段DF如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，连接DF，H是DF的中点，连接BH，则BH的长为.变式2.1题图3.(2023广东15题3分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为.第3题图3.1变条件——增加线段改变阴影区域的位置如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，图中阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1S2变式3.1题图新考法4.[数学文化](人教八下习题改编)2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为()第4题图A.13 B.19 C.25 D.169

考点精讲①垂直平分②对角线③直角(90°)④相等⑤直角(90°)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等练考点1.(1)45°；(2)22；(3)16，16；(4)42.C3.平行四边形高频考点例1(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴四边形BEMF是矩形.∵∠ABD＝45°，∠MEB＝90°，∴∠EBM＝∠EMB＝45°，∴BE＝EM，∴四边形BEMF是正方形；(2)解：如解图①，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OD.∵正方形ABCD的边长为4，∴OA＝OD＝22AD＝22∵BM＝3DM，∴点M是OD的中点，∴OM＝2，在Rt△AOM中，由勾股定理得AM＝OA2＋例1解图①(3)解：如解图②，过点N作NG⊥AC于点G，例1题解图②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∵AM平分∠DAC，∴DN＝GN.设DN＝x，则GN＝x，CN＝4－x.∵∠NCG＝45°，∴△NGC是等腰直角三角形，∴CN＝2CG，即4－x＝2x，解得x＝42－4，∴DNAB＝2－1(4)解：如解图③，过点D作DG⊥DE交AN的延长线于点G，∵BF⊥AN，∴∠ABF＋∠AFB＝∠DAN＋∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠DAN.又∵AB＝DA，∠BAF＝∠ADN＝90°，∴△ABF≌△DAN，∴AF＝DN，∠AFB＝∠DNA，∴∠DFE＝∠DNG.∵N是CD的中点，∴DN＝12CD＝12AD＝∴F为AD的中点，∴DF＝DN.∵DE⊥DG，∴∠EDF＋∠EDN＝∠GDN＋∠EDN，即∠EDF＝∠GDN，∴△DEF≌△DGN，∴DE＝DG，∴△DEG是等腰直角三角形，∴∠DEN的度数为45°.例1题解图③例2D【解析】应添加的条件是AC＝BD，∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，且AC＝BD，∴EH＝12BD，FG＝12BD，HG＝12AC，EF＝12AC，∴EH＝HG＝GF＝EF，变式1A【解析】∵在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如解图，连接EF，FG，GH，EH，BD，AC，∴EF＝12AC，FG＝12BD，GH＝12AC，EH＝12BD.∵四边形ABCD的对角线相等，即AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∴EG变式1题解图真题及变式1.B【解析】由题意得每个正方形的面积为100÷4＝25，∴正方形的边长为5.2.C【解析】∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝2FG＝2AH，∴∠AFH≠∠AHF，∵AD∥FG，∴∠AHF＝∠HFG，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝12AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴AHAN＝GMAG＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；易知四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝12AN·FG＝12×1×2＝1，S△ADM＝12AD·DM＝12×4×2＝4，∴S△AFN∶S△ADM＝1∶4，变式2.110【解析】如解图，连接BD，BF，在正方形ABCD和正方形EFGB中，∠ABD＝∠GBF＝45°，∴∠DBF＝90°.由题意，得EB＝2，BC＝4，∴BF＝2EB＝22，BD＝2BC＝42，在Rt△DBF中，由勾股定理，得DF＝BF2＋BD2＝210，又∵H是DF的中点，∴BH变式2.1题解图3.15【解析】如解图，∵四边形ABCD，ECGF，IGHK均为正方形，∴CD＝AD＝10，CE＝FG＝CG＝EF＝6，∠CEF＝∠F＝90°，GH＝IK＝4，∴CH＝CG＋GH＝10，∴CH＝AD，∵∠D＝∠DCH＝90°，∠AJD＝∠HJC，∴△ADJ≌△HCJ(AAS)，∴CJ＝DJ＝5，∴EJ＝1，∵GL∥CJ，∴△HGL∽△HCJ，∴GLCJ＝GHCH＝25，∴GL＝2，∴FL＝4，∴S阴影＝S梯形EJLF＝12(EJ＋FL)·EF＝12×(1＋4)第3题解图变式3.1425【解析】如解图，设AH分别交CD，FG，BM于点K，I，L，BM分别交CD，FG于点P，Q，AH＝m，∵正方形ABCD，正方形CEFG和正方形GHMN的一边在同一条直线上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5＋3＋2＝10，HC＝3＋2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴HLAL＝HMAB＝2