2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义22 相似三角形(含位似)含答案或解析

微专题22相似三角形(含位似)考点精讲构建知识体系考点梳理1.比例(1)比例线段比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段比例中项如果a∶b＝b∶c或ab＝bc或①，那么b叫做a和比例的性质性质1(基本性质)如果ab＝cd，那么②＝bc(b，d≠0)(性质2(合比性质)如果ab＝cd，那么a±bb＝③(性质3(等比性质)如果a1b1＝a2b2＝…＝anbn，且b1＋b2＋…＋2.平行线分线段成比例(1)定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(基本事实).(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成④3.黄金分割比例(2023.6)图示定义如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且ACAB＝⑤，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即ACAB＝5－12≈0.618，BCAB≈0.382，【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点4.相似三角形的性质与判定(6年11考)性质(1)相似三角形的对应角⑥，对应边⑦；(2)相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于⑧，面积比等于⑨判定方法两角分别相等的两个三角形相似两边成比例且⑩相等的两个三角形相似三边⑪的两个三角形相似5.位似(1)定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心(2)性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；②在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k练考点1.已知ab＝cd＝ef＝23，则2.如图是五条等距离的平行线，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝4，则线段BC的长为.第2题图3.如图，若线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为.第3题图4.若两个相似三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积比是.5.如图，AB与CD交于点O.若OAOB＝OCOD＝12，则AC第5题图6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB∶OE＝2∶3，若△ABC的周长为4，则△DEF的周长为.第6题图高频考点考点1平行线分线段成比例例1(北师九上习题改编)如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，下列结论正确的是()A.ACCE＝BDBF B.ACAE＝BFDF C.ACDF＝BDCE例1题图变式1(人教九下习题改编)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则BEEC的值为变式1题图考点2相似三角形的性质与判定(6年9考)模型一A字型[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]模型分析类型正“A”字型斜“A”字型模型展示模型特点有共用的一组角∠A，并且有另外一组角相等，形似“字母A”解题思路找同侧的一组相等角找异侧的一组相等角结论△ADE∽△ABC⇒ADAB＝AEAC△ADE∽△ACB⇒ADAC＝AEAB例2(人教九下练习改编)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠AED＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，则CE的长为.例2题图变式2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，若AC＝6，BD＝5，则sinB的值为.变式2题图变式3如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若BE＝2，BC＝3，则S△AEDS变式3题图模型二8字型[2021.23，2019.10③]模型分析类型正“8”字型斜“8”字型模型展示模型特点有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”解题思路找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例结论△AOB∽△DOC⇒AODO＝BOCO△AOB∽△COD⇒AOCO＝BODO例3如图，线段AE，BD交于点C，连接AB，DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，则AB＝.例3题图变式4如图，正方形ABCD的边长为5，正方形EFGC的边长为3，点B，C，G在一条直线上，连接BF，交CD于点H，则图中阴影部分的面积为.变式4题图模型三手拉手型[2024.22(2)]模型分析模型展示：模型特点：1.如图①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；2.如图②，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE，延长BD交CE于点F结论：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，则△ABD≌△ACE例4在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图所示的位置，连接BD'，CE'，若AD＝23AE，BD'＝4，则CE'的长为例4题图变式5如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠B＝∠ADE＝30°，∠BAC＝∠DAE＝90°，则CEBD的值为变式5题图模型四一线三垂直型[2021.23]模型分析类型类型一类型二模型特点∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上，∠1＝∠2＝∠3＝90°模型展示结论△ABD∽△CEB例5如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，BC上，且EF⊥DF.若CF＝2BE，则BF的长为.例5题图变式6如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点A的坐标为(0，2)，顶点C在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，则k的值为变式6题图考点3位似例6如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，2)，B(2，0)，以原点为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D的坐标为(5，0)，则点C的坐标为.例6题图真题及变式命题点1黄金分割数(2023.6) 1.(2023广东6题3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了()A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数拓展训练2.(2024东莞一模)宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是第2题图A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH命题点2相似三角形的性质与判定(6年11考) 拓展训练3.(2024梅州一模改编)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，与CD相交于点F.若∠ABE＝30°，BDCE＝54，则BFEF第3题图4.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长.第4题图5.如图为两个全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，AD，AE分别交BC边于点F，G，BC＝52.(1)求证：AG2＝BG·FG；(2)求证：△ABG∽△FCA；(3)设BG＝x，CF＝y，求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.第5题图新考法6.[数学文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，则四边形A'B'C'D'的面积为()A.9 B.6 C.4 D.3第6题图7.[数学文化]四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代.如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1米的正方形ABCD的一个顶点处安装一根方向杆.若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物E，在四分仪上读出DF的长度为20厘米，已知点B，C，E在同一条直线上，则目标物E与点B之间的距离BE为()第7题图A.1米 B.4米 C.5米 D.6米8.[跨物理学科](2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB＝5－12.若NP＝2cm，则BC的长为cm(第8题图9.[结合网格]如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为.第9题图

考点精讲①b2＝ac②ad③c±dd④比例⑤BC⑦成比例⑧相似比⑨相似比的平方⑩夹角⑪成比例练考点1.232.23.5－14.1∶45.126.高频考点例1D【解析】∵a∥b∥c，∴ACCE＝BDDF，ACAE＝BDBF，ACBD＝CEDF，∴选项A，B，C错误，不符合题意变式132【解析】∵AB∥EF∥CD，∴BEEC＝AFFD＝AO＋OFFD，∵AO＝2，OF＝1，FD＝2，∴例21【解析】∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC＝AEAB，∴23+CE＝32+4，变式223【解析】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即AD6＝6AD+5，解得，AD1＝－9(舍去)，AD2＝4，则sin∠B＝变式349【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴S△AEDS△ABC＝(DEBC)2＝例392【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴ACBC＝CDCE＝32.∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴ABDE＝ACDC＝32，∵DE变式42716【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，∴EFCB＝EHCH＝35，∴EH＝38CE＝98，∴S△EFH＝12EH·EF＝1例46【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，由旋转得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴AD'AB＝AE'AC，∠DAD'＋∠D'AE＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽△ACE'，∴BD'CE'＝AD'AE'＝变式533【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝ACAB，tan∠ADE＝AEAD，∠B＝∠ADE＝30°，∴ACAB＝AEAD＝tan30°＝33.又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴例53【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝90°.∵∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴BECF＝BFCD.∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴BE2BE＝BF6，变式63【解析】如解图，过点C作CH⊥y轴于点H.∵A(0，2)，OA＝OB，∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，∴OAHC＝OBHA＝ABCA＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，∴C(1，3)，∵点C在y＝kx的图象上，∴k＝1×变式6题解图例6(52，5)【解析】由题意得，△OAB与△OCD为位似图形，∴△OAB∽△OCD，∵点B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB与△OCD的相似比为2∶5，∵点A坐标为(1，2)，∴点C的坐标为(1×52，2×52)，即(5真题及变式1.A2.D【解析】设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝5，∴CG＝5－1，∴CGCD＝5－12，∴3.52【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，∴△DFB∽△EFC，∴∠DBF＝∠ECF＝30°，BDCE＝BFCF＝54，在Rt△ECF中，∠ECF＝30°，∴EF＝12CF，∴BFEF＝BF12CF＝24.解：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴ABAD＝ACAE，即ABAC∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC；∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.∵C△ADB＝2，∴C△AEC＝325.(1)证明：由题意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，∵∠AGF＝∠BGA，∴△ABG∽△FAG，∴AGFG＝BG∴AG2＝BG·FG；(2)证明：由题意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45