《电工技术》 课件 第6章 电路的暂态过程分析

第6章

电路的暂态过程分析电工技术6.1

电路的暂态过程及换路定理6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.1电路的过渡过程

电路的状态分为稳态和暂态两种。直流电路及周期电流电路中，所有响应或是恒稳不变，或是按周期规律变化。电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。一般说来，含有储能元件C和L的电路从一种稳定状态到另一稳定状态之间总有个过程，这个过程称为过渡过程（或暂态过程）。电路的暂态分析就是研究电路在过渡过程中电压与电流随时间变化的规律。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.2换路定律

1．换路

电路的接通、断开、接线的改变、激励或参数的骤然改变等原因所引起的电路稳定状态的改变统称为换路。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.2换路定律

2．换路定律

因含有C和L储能元件的电路的能量变化必须连续，所以在电路换路时，C和L所储存的能量不能发生跃变。

电容元件储存的电场能

在换路时不能跃变，因为能量跃变意味着电容电压跃变，而电容电压的跃变将导致其电流iC=C(dv/dt)变为无限大，这通常是不可能的。

再如，储存元件电感的储能

在换路时也不能跃变，因为能量跃变意味着电感电流跃变，而电流跃变将导致其端电压vL=L(di/dt)

变为无限大，这也是不可能的。

由以上分析可知，在换路瞬间，电容的电流值有限时，其端电压uC不能跃变；电感上电压值有限时，其电流iL不能跃变。以上结论称为换路定律。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.2换路定律

把换路时刻t=0取为计时起点，则以t=0−表示换路前的最后瞬间，以t=0+表示换路后的最初瞬间。

若用uC(0–)和iL(0–)分别表示换路前的最后瞬间电容电压和电感电流，若用uC(0+)和iL(0+)分别表示换路后的最初瞬间电容电压和电感电流，则换路定律可以表示为(6-1)式(6-1)中，uC(0+)和iL(0+)分别称为t=0后一瞬间的起始值。也叫初始值。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.3初始值的确定1．初始值换路后的最初瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值统称为初始值。通常讨论电路发生换路后（t＞0）的电路响应，所以我们关心的电流、电压在t≥0+时的初始值i(0+)和u(0+)。其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(0+)、iL(0+)由电路的初始储能决定，称为独立初始值或初始状态。其余电压、电流的初始值称为相关初始值，它们将由电路激励和初始状态来确定。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.3初始值的确定1．初始值换路后的最初瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值统称为初始值。通常讨论电路发生换路后（t＞0）的电路响应，所以我们关心的电流、电压在t≥0+时的初始值i(0+)和u(0+)。其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(0+)、iL(0+)由电路的初始储能决定，称为独立初始值或初始状态。其余电压、电流的初始值称为相关初始值，它们将由电路激励和初始状态来确定。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.3初始值的确定2．初始值的求法（1）根据换路前的稳态电路，即t=0–时的等效电路求uC(0−)和iL(0−)。由于换路前电路已处于稳定，uC(t)和iL(t)不再变化，，故iC=0，电容元件相当于开路；，uL=0，电感元件相当于短路。由此画出t=0–时的等效电路，计算出uC(0−)和iL(0−)。（2）根据换路定律，确定初始状态uC(0+)=uC(0−)，iL(0+)=iL(0−)。即独立初始值。6.1电路的暂态过程及换路定理6.1.3初始值的确定2．初始值的求法（3）由t=0+时等效电路求相关初始值。根据置换定理，在t=0+时刻，将电容用电压等于uC(0+)的电压源替代（若uC(0+)=0，电容元件在等效电路中相当于短路），极性与电容端电压极性一致；电感用电流等于iL(0+)的电流源替代（若iL(0+)=0电感元件在等效电路中相当于开路），方向与流过电感的电流方向一致；独立电源均取t=0+时刻的值。此时得到的电路是一个直流电源作用下的电阻电路，称为0+等效电路。用直流电路的分析方法解t=0+时的等效电路，求得的各电流、电压就是相关初始值。6.1电路的暂态过程及换路定理小结1．过渡过程产生的原因

内因是电路含有储能元件，外因是换路。其实质是能量不能跃变。2．设t=0时电路发生换路，则换路定律是：若电容电流和电感电压在换路时为有限值，其电容电压不能跃变；电感电流不能跃变。即第6章

电路的暂态过程分析机械工业出版社电工技术6.2一阶电路的零输入响应6.2一阶电路的零输入响应一阶电路的构成

当电路中没有独立电源的作用，仅由动态元件的初始储能的作用下所产生的响应，称为零输入响应。6.2一阶电路的零输入响应6.2.2RC电路的零输入响应6.2一阶电路的零输入响应6.2.2RC电路的零输入响应图6-3所示的一阶RC电路，当t<0时，开关在1位，电路稳定，电容电压为uC(0–)=US；t=0时，开关由1位打向2位。根据换路定律，uC(0+)=uC(0–)=US，从t=0+开始，电容C通过电阻R放电，产生放电电流iC(t)。根据KVL，在t>0时，有uC(t)−RiC(t)=0

因为故

图6-3一阶RC电路的零输入响应6.2一阶电路的零输入响应6.2.2RC电路的零输入响应这是一个一阶齐次线性微分方程,其特征根故（6-2）式的通解为将初始条件uC(0+)=U0代入上式,可得A=U0,则

（t＞0）（6-3）式（6-3）就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式。电路中的放电电流和电阻电压分别为6.2一阶电路的零输入响应小结零输入响应是由电路的初始储能产生的。对一阶电路，它的变化规律为

（t＞0）第6章

电路的暂态过程分析机械工业出版社电工技术6.3一阶电路的零状态响应6.3一阶电路的零状态响应6.3.1RC电路的零状态响应

零状态响应是指电路换路时储能元件没有初始储能，电路仅由外加电源作用产生的响应。由于动态元件的初始状态是零，即uC(0+)=0，iL(0+)=0。所以叫零状态响应。6.3一阶电路的零状态响应6.3.1RC电路的零状态响应1.RC电路的零状态响应的数学分析如图6-10所示的电路中，t＜0，开关S闭合前，电容上没有充电，uC(0−)=0，t=0时开关S闭合，电源通过电阻对电容充电。依KVL，在t＞0时，有（t＞0）将R、C的伏安关系:代入上式后可得

图6-10（t＞0）（6-13）6.3一阶电路的零状态响应

式(6-13)是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数学知识可知,它的解由其特解ucp和相应齐次方程的通解uch两部分组成,即

（6-14）对应于式（6-13）的齐次微分方程即式（6-2）,其通解为

其中

=RC,为时间常数。非齐次方程式(6-13)的特解为电路达到稳态时的解因此uC的全解为

（t＞0）（6-15）6.3一阶电路的零状态响应将初始条件uC(0+)=uC(0−)=0代入上式,可得则电容电压的零状态响应为（t＞0）（6-16）充电电流i(t)和电阻电压uR(t)分别为（t＞0）（6-17）（t＞0）（6-18）6.3一阶电路的零状态响应小结

零状态响应是由外加电源产生的。则一阶电路的零状态响应的uC或iL的变化规律为

(t>0)第6章

电路的暂态过程分析机械工业出版社电工技术6.4一阶电路的全响应6.4一阶电路的全响应6.4.1一阶电路的全响应的规律当一个非零初始状态的电路受到外加电源的作用时，电路的响应为全响应。从电路中能量的来源可以推论：线性动态电路的全响应，必然是由储能元件初始储能产生的零输入响应，与外加电源产生的零状态响应的代数和。从响应与激励的关系看，这是叠加定理的一个应用。6.4一阶电路的全响应6.4.1一阶电路的全响应的规律

在图6-15（a）所示的电路中，开关S闭合前，电容已有储能，设uC(0－)=U0。在t=0时S闭合，显然，换路后可以将电路的全响应，视为图6-15（b）所示电路的零输入响应与图6-15（c）所示电路的零状态响应相叠加。即（a）（b）（c）6.4一阶电路的全响应6.4.1一阶电路的全响应的规律由前面分析可知：RC电路的零输入响应RC电路的零状态响应所以，电路的全响应即全响应=零输入响应+零状态响应还可以写成其中，称为稳态分量，也称为强制分量，称为暂态分量，也称为自由分量。于是全响应还可表示为

全响应=稳态分量+暂态分量6.4一阶电路的全响应小结

(t>0)全响应=零输入响应+零状态响应

(t>0)全响应=稳定分量+暂态分量第6章

电路的暂态过程分析机械工业出版社电工技术6.5一阶电路的三要素法6.5一阶电路的三要素法6.5.1三要素法三要素（1）初始值：也就是在换路瞬间t=（0+）时，电路中所求物理量的值。（2）稳态值：稳态值(f(∞))，是指电路在经历了足够长的时间，进入稳态后的物理量的值。（3）时间常数(τ)：它决定了电路暂态过程的快慢。回顾一阶电路全响应公式6.5一阶电路的三要素法6.5.1三要素法1．三要素公式

一阶电路的全响应为零输入响应和零状态响应之和，所以全响应是动态电路响应的一般形式，而零输入响应和零状态响应则是全响应的特例。一阶电路响应的一般公式为

（t＞0）整理后，得

（t＞0）（6-29）

响应f(t)主要由初始值f(0+)、换路后的稳态值f(∞)和时间常数三个因素决定，因此称f(0+)、f(∞)和为一阶电路的三要素，（6-29）式为求解一阶电路的三要素公式。应用三要素公式求解一阶电路的响应的方法，称为三要素法。（1）适用范围：直流激励下一阶电路中任意处的电流和电压；（2）三要素法不仅可以求全响应，也可以求零输入响应和零状态响应分量。6.5一阶电路的三要素法6.5.2三要素的求解方法【解】（1）t=0−时，等效电路如图6-18（b）所示。换路前电容上电压为