北京八十中2024年高一3月月考 数学（含解析）

2024北京八十中高一3月月考数学姓名

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（考试时间90分钟满分100分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列量中是向量的为（）A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离2.已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（）A. B. C. D.3.设，其中，是实数，则的值为（）A.1 B. C. D.24.已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（）A. B. C. D.不存在这样的向量5.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.0 B.2 C.3 D.0或26.如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（）A. B. C. D.7.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（）A. B. C. D.38.已知点O为外接圆的圆心，且，则的内角A等于（）A. B. C. D.9.复数满足条件，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知向量满足，，则的最大值等于（）A. B. C.2 D.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11.复平面上，点对应的复数______．12.已知平面向量，，若.则_________.13.写出一个与向量共线的单位向量_____________.14.已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则_________.15.已知非零向量，满足，则的夹角为_____________.16.设复数z满足，则的取值范围是_________.三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．18.在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.（1）求；（2）若的外接圆半径为2，且，求.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.19.已知集合.对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.（1）当时，设，求；（2）若，且存在，使得，求证：；（3）记.若，且，求的最大值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2.【答案】C【分析】由向量分减法法则和数量积以及模长逐一判断即可.【详解】A：由向量减法法则可得的差为向量，不等于数，故A错误；B、D：，由于夹角大小不定，故值不确定，故B、D错误；C：单位向量的模长相等，故C正确；故选：C.3.【答案】D【分析】根据复数相等的充要条件得到方程，即可得解.【详解】因为，即，又，是实数，依据复数相等的条件得，即，故.故选：D.4.【答案】A【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且，所以等于，故选：A5.【答案】B【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值.【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：B.6.【答案】B【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.【详解】由题意以及题图可知，所以.故选：B.7.【答案】C【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.【详解】由图可知角度关系，外角，作平行四边形，，设八边形的边长为1，则，，所以，，所以.故选：C8.【答案】A【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案.【详解】由得，，由为外接圆的圆心，所以，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故，即的内角A等于.故选：A.9.【答案】C【分析】根据复数的模整理得到，再利用基本不等式计算可得.【详解】由且，得，∴，整理得，∴，当且仅当，即，时，取得最小值故选：C10.【答案】A【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【详解】设，因为，，所以，又，所以，所以点共圆，要使的最大，即为直径，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11.【答案】【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知故答案为：12.【答案】【分析】利用向量垂直的充分必要条件代入点的坐标求出即可.【详解】因为，所以，故答案为：.13.【答案】（答案不唯一）【分析】先求出，则即为所求.【详解】所以与向量共线的单位向量为或.故答案为：（答案不唯一）14.【答案】【分析】由投影向量的公式求出，再利用模长公式求出结果即可.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且，所以，所以，故答案为：.15.【答案】【分析】设，再由模长的计算得到向量的数量积，最后代入夹角公式即可.【详解】设，则，所以，所以的夹角为，故答案为：.16.【答案】【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为，所以取值范围为.故答案为：.三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.【答案】（1）（2）7【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解【小问1详解】变形为：，所以，因为，所以，【小问2详解】因为，且，所以由正弦定理得：，即，解得：18.【答案】（1）条件选择见解析，（2）【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，（2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.【小问1详解】选择条件①：因为，在中，由余弦定理可得，由余弦定理可得，则，因为，所以.选择条件②：因为，由正弦定理得，.即，则，因为，所以，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，即，即，又因为，所以.由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以19.【答案】（1）（2）见解析（3）26【分析】（1）当时，直接利用求得的值（2）设，则由题意可得，使得，其中，得出与同为非负数或同为负数，由此计算的结果，计算的结果，从而得出结论（3）设中有项为非负数，项为负数不妨设时，，时，利用，得到得