2024-2025学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算（教师用书）教学设计 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算（教师用书）教学设计新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图嗨，大家好！今天我们要一起探索复数代数形式的乘除运算。同学们，你们知道吗？复数就像是一把开启数学宝库的钥匙，而乘除运算则是这把钥匙的精妙技艺。接下来，让我们一起走进这神秘而有趣的复数世界，感受数学的无限魅力吧！🌟📚🧮核心素养目标培养学生逻辑推理能力，让学生通过探究复数乘除运算的规律，理解数学知识的内在联系。提升学生数学抽象能力，通过具体实例抽象出复数乘除运算的通式。同时，强化学生数学建模意识，学会运用复数解决实际问题，提高数学应用能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本章学习前，应该已经熟悉了实数和复数的概念，以及复数的表示方法。此外，他们还应该掌握了实数的四则运算和复数的加法、减法运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学通常有较高的兴趣，尤其是对具有挑战性的数学问题。他们的能力在逐步提高，能够进行一定的数学抽象和逻辑推理。学习风格上，部分学生可能偏好通过直观图形来理解概念，而另一些学生则更喜欢通过公式和代数推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在复数乘除运算的学习中可能会遇到以下困难：一是对复数乘除运算的规律理解不够深入，容易混淆；二是缺乏对复数几何意义的直观理解，难以将代数运算与几何直观相结合；三是计算过程中可能出现的符号错误和运算失误。针对这些挑战，教师需要引导学生通过实例分析和反复练习来克服。教学资源-教材：人教A版选修2-2《数学》

-教学课件：包含复数乘除运算的演示和例题讲解

-黑板或白板：用于板书关键公式和步骤

-多媒体设备：用于播放教学视频或动画

-练习题集：提供多种难度的练习题，帮助学生巩固知识

-纸笔：学生进行笔记和练习所需

-互动式教学软件：如数学软件Geogebra，用于动态展示复数运算的几何意义教学过程（一）导入新课

1.教师提问：同学们，我们之前学习了实数的运算，那么复数呢？它们之间有什么联系和区别呢？

2.学生回答：复数是在实数的基础上引入的，它们由实部和虚部组成，实部可以是实数，虚部是实数乘以虚数单位i。

（二）新课讲解

1.教师讲解：今天我们要学习的是复数代数形式的乘除运算。首先，我们需要明确复数乘除运算的基本规则。

2.教师板书：复数乘法规则：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$；复数除法规则：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$。

3.教师举例：接下来，我们通过几个例题来巩固这些规则。

例题1：计算$(2+3i)(4-5i)$。

学生解答：$(2+3i)(4-5i)=8-10i+12i-15i^2=23+2i$。

例题2：计算$\frac{5+2i}{3-i}$。

学生解答：$\frac{5+2i}{3-i}=\frac{(5+2i)(3+i)}{3^2+(-1)^2}=\frac{15+11i}{10}=\frac{3}{2}+\frac{11}{10}i$。

（三）巩固练习

1.教师布置练习题：请同学们完成以下练习，检验自己对复数乘除运算的掌握程度。

练习题1：计算$(1+2i)(3+4i)$。

练习题2：计算$\frac{3-4i}{2+3i}$。

（四）课堂互动

1.教师提问：同学们，在计算复数乘除运算时，有哪些注意事项？

学生回答：计算时要注意虚数单位i的幂次运算，以及运算过程中的符号。

2.教师总结：确实，虚数单位i的幂次运算和符号问题在复数运算中非常关键，我们要细心对待。

（五）拓展延伸

1.教师讲解：除了基本的乘除运算，我们还可以探究复数乘除运算的几何意义。

2.教师演示：利用几何画板或数学软件Geogebra，展示复数乘除运算在复平面上的几何意义。

3.教师提问：同学们，通过观察几何画板，你们发现了什么规律？

学生回答：复数乘法相当于向量乘法，复数除法相当于向量除法。

（六）总结归纳

1.教师总结：今天我们学习了复数代数形式的乘除运算，包括乘法和除法的基本规则，以及几何意义。

2.教师强调：复数乘除运算在复数中的应用非常广泛，希望大家能够熟练掌握，并将其应用于实际问题中。

（七）布置作业

1.教师布置作业：请同学们完成课后习题，巩固所学知识。

2.教师提醒：课后作业是对课堂学习内容的补充，希望大家认真完成。

（八）课堂反馈

1.教师收集学生作业，了解学生对复数乘除运算的掌握情况。

2.教师针对学生在作业中遇到的问题进行个别辅导，确保每位学生都能理解和掌握复数乘除运算。知识点梳理1.复数的概念及表示：

-复数由实部和虚部组成，形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。

-实部可以是任意实数，虚部b也可以是0。

2.复数的性质：

-两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等。

-复数的相反数是实部不变，虚部取相反数的复数。

-复数的模是其实部和虚部的平方和的平方根，即|a+bi|=√(a^2+b^2)。

3.复数的加法与减法：

-复数的加法：直接对应实部的加法和虚部的加法，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

-复数的减法：与加法类似，只是减去对应的虚部，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

4.复数的乘法：

-复数乘法遵循分配律和结合律。

-乘法公式：(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i。

5.复数的除法：

-复数除法可以通过乘以共轭复数来简化。

-除法公式：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$。

6.复数的几何意义：

-复数可以表示为复平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。

-复数的模表示该点到原点的距离。

-复数的乘法在复平面上表示为向量旋转和伸缩。

7.复数的应用：

-在工程、物理、电子等领域，复数用于表示交流电的电压和电流。

-在计算机图形学中，复数用于实现图形的缩放、旋转和平移等变换。

8.复数与其他数学分支的关系：

-复数是解析几何和微积分的重要组成部分。

-复数在解决某些实数问题，如解多项式方程时，提供了一种简便的方法。

9.复数的计算技巧：

-利用复数的模和共轭复数进行乘除运算。

-在进行复杂运算时，先进行实部和虚部的分离，然后分别计算。内容逻辑关系①复数的概念与表示

-重点知识点：复数的定义、实部、虚部、虚数单位i。

-重点词句：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。

②复数的四则运算

-重点知识点：复数的加法、减法、乘法、除法。

-重点词句：复数的加法是实部和虚部分别相加，减法是实部和虚部分别相减；复数乘法遵循分配律和结合律，乘法公式为(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i；复数除法通过乘以共轭复数简化，除法公式为$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$。

③复数的几何意义与应用

-重点知识点：复数在复平面上的表示、复数的模、复数的几何运算。

-重点词句：复数可以表示为复平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标；复数的模是其实部和虚部的平方和的平方根；复数的乘法在复平面上表示为向量旋转和伸缩。

④复数与其他数学分支的关系

-重点知识点：复数在解析几何、微积分中的应用。

-重点词句：复数是解析几何和微积分的重要组成部分，用于解决实数问题，如解多项式方程。

⑤复数的计算技巧

-重点知识点：利用复数的模和共轭复数进行乘除运算。

-重点词句：在复杂运算中，先进行实部和虚部的分离，然后分别计算；利用复数的模和共轭复数简化计算过程。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第3.2节“复数代数形式的乘除运算”的课后练习题，包括第1、2、3、4题，重点练习复数乘除运算的基本技能。

2.自主设计一道涉及复数乘除运算的应用题，要求题干中包含实际情境，如计算交流电的电压或电流。

3.选择两个不同类型的复数乘除运算题，分别写出它们的解题步骤和最终答案，并在旁边标注出你认为在解题过程中需要注意的要点。

作业反馈：

1.对于课后练习题的反馈：

-对每个学生的作业进行逐题批改，检查他们是否掌握了复数乘除运算的基本规则。

-对错题进行详细分析，指出错误原因，如公式运用错误、符号错误或计算失误。

-对正确解题的学生，鼓励他们保持良好的解题习惯，并提出更高的要求，如优化解题步骤。

2.对于自主设计应用题的反馈：

-评价学生的应用题设计是否合理，是否能够正确地运用复数乘除运算解决实际问题。

-指出学生在设计过程中可能出现的逻辑错误或计算错误。

-鼓励学生从实际问题出发，深入理解复数乘除运算的实际意义。

3.对于解题步骤和答案的反馈：

-检查学生的解题步骤是否清晰，逻辑是否严密。

-分析学生在解题过程中是否能够准确运用公式和运算规则。

-对解题要点进行标注，帮助学生强化记忆和实际操作能力。

4.对于作业整体反馈：

-总结学生在复数乘除运算方面的普遍问题，如计算能力、解题策略等。

-根据学生的作业情况，调整下一节课的教学内容和重点，确保学生能够针对自身不足进行针对性的复习和提高。

-安排课后辅导时间，对有需要的学生进行个别辅导，帮助他们克服学习中的困难。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.创设情境，激发兴趣：在讲解复数乘除运算时，我尝试结合实际生活中的例子，如电路中的交流电，让学生感受到数学与生活的紧密联系，从而激发他们的学习兴趣。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体设备展示复数乘除运算的动画，帮助学生直观理解复数在复平面上的几何意义，提高他们的空间想象力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对复数乘除运算的规则理解不够深入：部分学生在运算过程中容易混淆，尤其是在处理虚数单位i的幂次运算时。

2.学生缺乏对复数几何意义的直观理解：一些学生难以将代数运算与复平面的几何直观相结合，影响了他们对复数运算的掌握。

3.课堂互动不足：在课堂教学中，我未能充分调动学生的积极性，导致课堂氛围较为沉闷，学生参与度不高。

反思改进措施（三）

1.