湘教版九年级上册数学教案(全册)教学教材(一)

湘教版九年级上册数

学教案（全册）

第1章反比例函数

1.1反比例函数

教学目标

【知识与技能】

理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.

【过程与方法】

经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.

【情感态度】

培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价

值.

【教学重点】

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.

【教学难点】

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.复习小学已学过的反比例关系，例如：

(1)当路程S一定，时间t与速度V成反比例，即vt=s(s是常数)

(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab=S(S是常数)

2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时，请你用含R的代数式表

示I吗?

【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础

二、思考探究，获取新知

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探究1:反比例函数的概念

(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间

t(S)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.

(2)利用(1)的关系式完成下表：

所用时间t(s)121137139143119

平均速度v(m/s)

(3)随着时间t的变化，平均速度V发生了怎样的变化？

(4)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？

(5)观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？

【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成疗㊁(k为常数且kHO)的形

然

式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数.

【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言

说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例

函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可

以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，

应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为

负数，所有t的取值范围为t>0.

【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P3例题.

2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？

(1)已知平行四边形的面积是12cm乙它的一边是acm,这边上的高是hem,则a与h的函

数关系;

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(2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；

(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.

(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系

式.

分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合吟(k是

常数,k#0).所以此题必须先写出函数解析式，后解答.

解：

⑴a=12/h,是反比例函数；

(2)F=pS,是正比例函数；

(3)F-W/s,是反比例函数：

(4)y=m/x,是反比例函数.

3.当m为何值时，函数衿是反比例函数，并求出其函数解析式.分析：由反比例函

数的定义易求出小的值.解：由反比例函数的定义可知：2m-2=l,m=3/2.所以反比例函数

的解析式为胪耍.

4.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例且V=5m3时，p=1.98kg/m3

(1)求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围.

(2)求V=9n?时，二氧化碳的密度.

解：略

5.已知y=yi+y2,yi与x成正比例，y2与x2成反比例，且x=2与x=3时，y的值都

等于19.求y与x间的函数关系式.

分析：yl与x成正比例，则yl=klx,y2与x2成反比例，则y2=k2x2,又由y=yl+y2,

可知，y=klx+k2x2,只要求出kl和k2即可求出y与x间的函数关系式.

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解：因为w与x成正比例，所以yi=kix:因为力与X2成反比例，所以¥而丫二丫1

+y2,所以v=k1x+与当X=2与x=3时，y的值都等于19.

X'

19=2A

所1以

19=36♦市

解得［*='

（岛=36

所以、=5x+空

【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想！而后以小组为单位派代表进行总结.教勤乍以补充.

课后作业

布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.

教学反思

学生对于反比例函数的概念理解的者防螃，但在求函数解I斤式时，解题不够灵活，如解答

第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.

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1.2反比例函数的图象与性质

第1课时反比例函数的图象与性质（1）

教学目标

【知识与技能】

1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.

【过程与方法】

观察、比较、合作、交流、探索.

【情感态度】

通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.

【教学重点】

画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.

【教学难点】

理解反比例函数的性质，并能灵活应用.

教学过程

一、情景导入，初步认知

你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性

质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢？

【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解

函数的性质.

二、思考探究，获取新知

探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数步婚的图象.分析：画出

忌

函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.

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左右均匀，对称地取值.

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(-6,

-1)X(-3,-2)、(-2,-3)等.

(3)连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个

分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这

两个分支合起来，就是反比例函数的图象

思考：

(1)观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何

变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律？

(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？探究2:反比例函数所

在的象限画出函数.的图形，并思考下列问题：

窥

(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限？

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(2)在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？

【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数浴的图象由分别在第一、

三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数

值y随自变量x的增大而减小.

探究3:反比例函数料的图象.可以引导学牛采用多种方式进行自中

探索活动：

(1)可以用画反比例函数护3色的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；

(2)可以通过探索函数尹£与步口£之间的关系，画出尹Q色的图象.

*宏、宗

【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数环的图象由分别在第二、

四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数

值y随自变量x的增大而增大.

探究4:反比例函数的性质反比例函数理jg与尸，的图象有什么共同特

征？

【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图

象“曲线”及“两支”的序正

【归纳结论】反匕例函数v=*(kHOj的图象是由两个分支组成的曲线.当

x

k>()时，图象在一、三象限；当k<()时，图象在二、四象限.反比例函数招自强

.解

科鸟k，0)的图象关于x轴或y轴对称.

【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观

察函数图象，掌握反比例函数的性质.

三、运用新知，深化理解

1.教材P9例1.

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2.如果函数y=2xk+l的图象是双曲线，那么k=.

【答案】-2

3.如果反比例函数资好的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正

整数k的值是____.

【答案】1.2

4.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则函数尹里的图象

在第象限

【答案】二、四

5.反比例函数V=L的图象大致是图中的(

X

解析：因为k=l>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.

【答案】C

6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是()

、mr、+1

A.v=—B.y=-

x'x

2

「m+1「、-m

C.V=---------I).Y=--

,X*X

【答案】C

7.已知函数y=(m—2)x3-m2为反比例函数.

⑴求m的值

⑵它的图象在第几象限内?在各象限内，y随x的增大如何变化?

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(3)当-3WXW-J时，求此函数的最大值和最小值.

解：(1)由反比例函数的定义可知：

解得，g2

-2*0.

(2)因为k=4<0,所以反比例函数的图象

在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而

增大.

⑶因为在每个象限内，邪取的增大而增大，

所以当一断最大皆壬或

当奸-3时，、最〃伯-4：

所以当-4这t£-I时，此函数的最大值为

8,最小值崎

8.作出反比例函数升堂的图象，并根据图象解答下列问题:

⑴当x=4时，求y的值；

⑵当y=・2时，求x的值；

⑶当y>2时，求x的范围.

解：列表

X-3-2-1123

y-4-6-121264

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由图知：

(Dy=3

(2)x=-6;

⑶0<x<6

9.作出反比例函数狞=2的图象，结合图象回答:

⑴当x=2时，y的值；

⑵当仅xW4时，y的取值范围；

⑶当1Wy<4时，x的取值范围.

解：列表：

X-4-2-124

y124-4-2-1

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—1―

I.1i

由图知：

⑴尸2；

(2)-4<y<-l;

(3)-4<x<-l

【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每

一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补

充.

课后作业

布置作业：教材“习题1.2”中第1、2、4题.

教学反思

通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描

点法画函数图象的方法同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握

的不够好，应多加练习.

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第2课时反比例函数的图象与性质(2)

教学目标

【知识与技能】

1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的

分析，进一步探究反比例函数的增减性.

【过程与方法】

经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力

【情感态度】

提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.

【教学重点】

会求反比例函数的解析式.

【教学难点】

反比例函数图象和性质的运用.

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么

你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？

【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.

二、思考探究，获取新知

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1.思考：已知反比例函数沪m的图象经过点P(2,4)

思

(1)求k的值，并写出该函数的表达式；

(2)判断点A(-2「4),B(3,5)是否在这个函数的图象上；

(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内，函数值y随自变量x

的增大如何变化，

分析：

(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立，

这样能求出k,解析式也就确定了.

(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解

析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.

(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、

y随X的值的变化情况.

【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.

2.下图是反比例函数小^的图象，根据图象，回答下列问题：

(Dk的取值范围是k>0还是k<0?说明理由；

⑵如果点A(-3,y，，B(-2,丫2)是该函数图象上的两点，试比较yi,y2的大

小.分析:

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(1)由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三

象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.

(2)因为点A(-3,yi),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、

B都位于第三象限，又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知：yi>y2.

【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的

方法.

三、运用新知，深化理解

1.若点A(7,yi),B(5,y2)在双曲线:沪上，则yi、y2中较小的

S?

日

【答案】丫2

2.已知点A(xl,yi),B(x2,y2)是反比例函数v=4(k>Oj的图象上的两点，

x

若XivOvXz,则有().

A.yi<0<y2B.y2<0<yiC.yi<y2<0D.y2<yi<0

【答案】A

3.若A(a1,bi),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点，且"《十，则也

与bz的大小关系是()

A.bKbzB.b^bzC.匕电D.大小不确定

【答案】D

4.函数折」的图象上有两点A(xi,yJ,B(X2,yz),若0<Xi〈X2,则()

总

A.yi<y2B.yi>y2C.yi=y2D.yvy2的大小不确定

【答案】A

5.已知点P(2,2)在反比例函数v=*(kWOj的图象上，

x

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(1)当x=-3时，求y的值;

⑵当1vxv3时，求y的取值范围.

解：⑴•・・点P(2,2)在反比例函数片鲁的图

象上，

袅24，即k=4,

・•・反比例函数的解析式为广等

4

・.・当x=-3时一/

(2)\•当x=1时，y=4;当时叫亲

又反比例函数/匡告在x>0时y值随x值的

增大而减小，

.•・当1<x<3时，y的取值范围为<4.

6.已知卢上(kW0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).

x

(1)求反比例函数的表达式；

⑵求a与b的值.

解：

(1)将A(2,・8)代入反比例解析式得：k=-16,则反比例解析式为y=・

16

(2)将B(4,b)代入反比例解析式得：b=-4;将C(a,2)代入反比例

解析式得：—变.即联-8.

碗.

7.已知反比例函数的图象过点(1.-2).

(1)求这个函数的解析式，并画出图象；

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(2)若点A(-5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在

图象上？

分析：

(1)反比例函数的图象过点即当x=l时，尸-2.由待定系数法可

求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例

函数的图象；

(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出川的值，再验证点A关于两坐

标轴和原点的对称点是否在图象上

解：

(1)设：反比例函数的解析式为：v='(k壬0).而反比例函数的图象过点(1,

x

-2),即当x=l时,y=-2.所以0掌短二2.即反比例函数的解析式

⑵点A(-5,m)在反比例函数行Q%图象上，所以陪金用点A的

坐标为曰熹.点A关于x轴的对称融。*=享界在这个图象上；点A关于

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y轴的对称懿,不在这个图象上；点A关于原点的对称点魏-4）在这个图

象上；

【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

课后作业

布置作业：教材“习题1.2”中第7题.

教学反思

教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教

师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规

律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告

知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念

中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.

在《中学数学课程标准》中明确规定；教师不仅是学生的引导者，也是学生的

合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难

题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相

长，也才能真正让每一个学生都学有所获.

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第3课时反比例函数的图象与性质（3）

教学目标

【知识与技能】

1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；

2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.

【过程与方法】

经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.

【情感态度】

能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图

（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.

【教学重点】

理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些

综合问题.

【教学难点】

学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.正比例函数有哪些性质？

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2.一次函数有哪些性质?

3.反比例函数有哪些性质？

【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有

系统的了解.

二、思考探究,获取新知

1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于PQ3,4),试求出它

们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反

比例函数的表达式分别为v=k1x,v=£其中，是常数，且均不为0.

x

由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则PC3,4)是这两个函数图象上

的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=5(-3).4=4解得，

k尸一:k尸所以，正比例函数解析式为核，反比例函数解析式为沪

函数图象如下图.

【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.

在反比例函数圻色的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x

轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1=—;过点Q分别作x轴

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y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2二―；Si与S2有什么关系?为

什么？

【归纳结论】反比例函数打由（原0）中比例系数k的几何意义：过双曲

线/号（厚0）上任意一点引X轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积

为k的绝对值.

【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时

鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织

能力.

三、运用新知，深化理解

1.已知如图，A是反比例函数y二kx的图象上的一点，AB_Lx轴于点B

且aABO的面积是3,则k的值是（）

A.3B.-3C.6D.-6

分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线

所围成的直角三角形面积S是个定值，即厩=3k].

解：根据题意可知：S4A0B二;|k尸3,又反比例函数的图象位于第一象

限，k>0,则k=6.

【答案】C

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2.反比例函数沪;与贡，在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴

的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、0B,则△AOB的面积为()

过B作BC_Ly

轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形

OEAC、AAOE.ABOC的面积，进而可得出结论.

解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E,过B作BC_Ly轴,

点C为垂足，•・・由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形0EAc=6,

AOE=3,

SABOc=1,.,.SAAOB=S四^OEAC-SAAOE-SAB0O6-3-l=2.

【答案】B

3.已知直线产x+b经过点A(3,0),并与双曲线尹3的交点为B(-2,m)

和C,求k、b的值.

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X+

A-6

解：点A(3,0)在直线y=x+b上，所以0=3+b,b=-3.一次函数的解析

式为：y=x-3.又因为点B(-2,m)也在直线y=x-3上，所以m=-2-3=

-5,即3(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数朝；上，所以k=-2x

(-5)=10.

4.已知反比例函数涉「有的图象与一次函数y=k2X-l的图象交于A(2,1).

瓯

(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析：

(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把八点的坐标代入这两个

解析式即可求出X、k2的值.

(2)把点A关于坐标原点的对称点A'坐标代入一次函数和反比例函数解析式

中，可知A，是否在这两个函数图象上.

解：

(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以kl=2Xl=2.

1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为：旷^;一次函数解析式为：y

=x-l.

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(2)点A⑵1)关于坐标原点的对称点是A'(-2,T).把A，点的横坐标代入反

比例函数解析式得，所以点A在反比例函数图象上.把A，点的横

坐标代入一次函数解析式得，尸-2-1二-3,所以点A，不在一次函数图象

上.

5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B

在反比例函数的料的图象上.

⑴求a的值.

(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象.

(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在7Wy<3范围内时，相

应的x的取值范围.

⑷如果P(m,yi)、Q(m+l,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较yl

与y2的大小

分析：

(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些

点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值.

(2)由⑴求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线

画出函数图象.

(3)和⑷都是利用函数的图象进行解题.

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解：(1)反比例函数的图象过点B(a,-3a),

目因为所以a=_

又因为一次函数图象过点A(0:1)和

点B(-l,3).

所以解得"

所以(3=-…,解体”6=1

以

3

=7

二

-4

(3)从图象上可知，当一次函数y的值在7<yW3范围内时，相应的x的

值为：TWxWl.

(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又所以yi>丫2.

或解：当Xi二m时，yi=-2m+l;当x2=m+l时，y2=-2x(m4-l)+l

=-2m-l所以yi-y2=(-2m+l)-(-2mT)=2>0,即y>y2.

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6.如图，一次函数尸kx+b的图象与反比例函数引警的图象交于A、B两

就

点

⑴利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

⑵根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.

分析：

⑴把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析

式.

(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比

例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标

大于反比例函数图象上点的纵坐标.

解：(1)观察图象可知，反比例函数।='〃的

A

图象过点A(-2,1),m=-2x1=-2.

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所以反比例函数的解析式为。邀等又点B

(La)也须比例函数图牡，"〒二一2即B

(1,-2).

因为一次函数图象过点A、B.所以

产解得=-1,

一次函数解析式为：y=-x-l.

⑵观察图象可知，当x<.2或0<x<l时,

一次函数的值大于反比例函数值.

【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主,

也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.

四、师生互动、误堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补

充.

课后作业

布置作业：教材“习题1.2”中第6题.

通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：

教学反思

1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数

法.

2.观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解

题.

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1.3反比例函数的应用

教学目标

【知识与技能】

经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,

体会建模思想.

【过程与方法】

观察、比较、合作、交流、探索.

【情感态度】

体验数形结合的思想.

【教学重点】

建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.

【教学难点】

经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.

教学过程

一、情景导入，初步认知

复习回顾

1.什么是反比例函数？

2.反比例函数的图象是什么？

3.反比例函数图象有哪些性质？

4.反比例函数的图象对称性如何？

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【教学说明】通过提出问题，引发学生思考，培养学生解决问题的能力.

二、思考探究，获取新知

1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了

安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条

临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？

(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式耳，请你

判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？

⑵如人对地面的压力F=450N,完成下表：

受力面积S(m2)0.0050.010.()20.04

压强p(Pa)

(3)当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S

增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地

的道理.解：

(1)对丁期，当「一定时，根据反比例函数的定义可知，P是S的反

比例函数.

(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由尹卷得：

p=450/0.005=90000(Pa)类似的，当SR.OlrrP时，p=45000Pa;当S=0.02m2

时,p=22500Pa;当S=0.04m2时，p=l125OPa

(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所

示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，

因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，

从而可以顺利地通过湿地.

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0"'0.0050.010^02O.（MS/rtf

2.你能根据玻意巨定律（在温度不变的情况下，气体的压强P与它的体积

V的乘积是一个常数K（K>0）,即pV=K）来解释：为什么使劲踩气球时，气体会

爆炸？

【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水

平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合

运用.

三、运用新知，深化理解

1.教材P15例题.

2•一个水池装水12m5如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把

水放完，那么y与x的函数关系式是_______,自变量x的取值范围

是

【答案】内里;x〉0

3.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的高为y,面积为60,贝l]y与

X的函数关系是_______（不考虑X的取值范围）.

【答案】疔暨

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4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进

行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y[cm)

与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是()

【答案】A

5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是()

A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(S)与他的平均速度v(m/s)之间的关系

B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系

C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系

D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之

间的关系

【答案】D

6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出

每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：

体积x/mL10080601020

压强y/kPa6075100150300

则可以反映y与x之间的关系的式子是().

A.y=3000xB.y=6000xC.v=­D.v=竺》

xx

【答案】D

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7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个灯图案，如图所

示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2WxW10,则y

与x的函数图象是()

【答案】A

8.一个长方体的体积是100cn)3,它的长是ylem),宽是5cm,高是x(cm).

(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

⑵画出⑴中函数的图象；

(3)当高是3cm时，求长.

解：

“20A

⑴产一(x>0)；

x

⑵图象略；

⑶长为弓cm.

【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识.

四、师生互动、课堂小结

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先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补

充.

课后作业

布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、4题.

教学反思

本节课通过学生自主探索，合作交流，以认知规律为主线，以发展能力为目标，

以从直观感受到分析归纳为手段，培养学生的合情推理能力和积极的情感态度，促

进良好的数学观的形成.在教学手段上，本节课大量使用多媒体辅助教学，既能体

现知识的背景材料，又能一下子引起学生的注意力，有效地节省了时间，增大了课

堂容量.生动形象的动画演示，动感强，直观性好，既加深了学生的理解，又培养了学

生的抽象思维能力，同时也向学生渗透了归纳类比，数形结合的数学思想方法.

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第2章一元二次方程

2.1一元二次方程

教学目标

【知识与技能】

探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中

抽象出方程知识.

【过程与方法】

在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方

程与实际生活的联系.

【情感态度】

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学

生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

【教学重点】

一元二次方程的概念.

【教学难点】

如何把实际问题转化为数学方程.

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教学过程

一、情景导入，初步认知

问题1：已知一矩形的长为200cm,宽150cm.在它的中间挖一个圆，使剩

余部分的面积为原矩形面积的34,求挖去的圆的半径xcm应满足的方程.（TI取

3）问题2:据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增

加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.你能

列出相应的方程吗？

【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然

的引入，为本课的探究活动做好铺垫.

二、思考探究，获取新知

1.对于问题1：找等量关系：矩形的面积一圆的面积二矩形的面积X3/4

列出方程：200X150-3x2=200x150x3/4①

对于问题2:

等量关系：两年后的汽车拥有量二前年的汽车拥有量X（1十年平均增长率）2

列出方程：75（1+x）2=108?②

2.能把①,②化成右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形

式吗?让学生展开讨论，并引导学生把①,②化成下列形式：

①化简，整理得x2.2500=0③

②化简，整理得25x2+50x-U=0④

3.讨论：方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少？

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【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发

现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是

2次.

【归纳结论】如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一

个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式

是：ax2+bx+c=0,(a,b,c是常数且aWO),其中a,b,c分别叫作二次项系

数、一次项系数、常数项.

4.让学生指出方程③,④中的二次项系数、一次项系数和常数项.

【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定

义，从而达到真正理解定义的目的.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P27例题.

2.下列方程是一元二次方程的有.

(l)?+l-5=c⑵x2-3xy+7=

⑶x+vx2-1=4(4)m3-2m+3=0

%-5=c(6)a2-bx=4

DI乙

【答案】⑸

3.已知(m+3)x2-3mx-l=0是一元二方程।则m的取值范围是

分析：一元二次方程二次项的系数不等于零.故口岸-3.

【答案】n#・3

4.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+l化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，

二次项系数，一次项，一次项系数及常数项.

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解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0(若写成-5x2-8x+2=0,则不符

合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,

常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单

项式系数的负号).

5.关于x方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？

分析：先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

解：由mx2-3x=x2-mx+2得至(m-1)x2+(m-3)x-2=0,所以m-1

WO

即mWl.所以关于x的方程nix2-3x=x2-mx+2是一元二次方程，m应满足

m*.

6.一元二次方程(x+l)2-x=3(x2-2)化成一般形式是.

分析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0(a#0),对照一般形式可先

去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0.

【答案】2x2-x-7-0

7.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为()

A.x2+6/5x+3/5=0B.x2-6x-3=0

C.x2-6/5x-3/5=0D.x2-6/5x+3/5=0

【答案】C

注意方程两边除以-5,另两项的符号同时发生变化.

8.已知方程(m+ZW^m+Dx-mR.当m满足______时，它是一元一次方

程；当m满足时,它是二元一次方程.

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分析：当m+2=0,n[=-2时，方程是一元一次方程；当m+2#),mr

-2时，方程是二元一次方程.

【答案】m=-2m#-2

9.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，

设平均每次降价的百分率为x,则列出方程为

【答案】1185(1-x)2=580

10.当常数a,b,c满足什么条件时，方程(a-l)x2-bx+c=0是一元二次方程?

这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a,b,c满足什么条件

时，方程(a-l)x2-bx+c=0是一元一次方程？

解：当aWl时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是aT,一次项系

数是-b;当a=l,bW0时是一元一次方程.

【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征

的理解.进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补

充.

课后作业

布置作业：教材“习题2.1”中第1、2、6题.

教学反思

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一

元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在

教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习

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有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内

容并且要真正能消化

2.2一元二次方程的解法

2.21配方法

教学目标

【知识与技能】

1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方

程.

2.学会用直接开平方法解形如(ax十b)2-k=0(le0)的方程.

3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的

过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.

【过程与方法】

通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

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【情感态度】

学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强

学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

运用配方法解一元二次方程.

【教学难点】

把一元二次方程转化为形如(x+n)2=d(dK))的过程

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.根据完全平方公式填空：

(l)x2+6x+9=()2

⑵x2-8x+16=()2

(3)x2+10x+()2=()2

(4)x2-3x+()2=()2

2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次

方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二

元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？

3.你会解方程x2+6x-16=0吗?你会将它变成(x+m)2=n(n为非负数)的

形式吗？试试看.如果是方程2X2+|=3X呢？

【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础.

二、思考探究，获取新知

1.解方程：x2-2500=0.

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问：怎样W这个方程“降次”为一元一次方程？

把方程写成X?=2500

这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得

x=J2500或x=-V2500

因此，原方程的解为XF50,x2=-50

【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.

2.解方程(2x+1)2=2

解：根据平方根的有意义，得

2x+l=J2或2x+l=-V2

因此，原方程的根为

V2-1,V2+1

Xi=---------------------

22

3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方

程呢？

【归纳结论】对于形如(x+nT=d(d20)的方程，可直接用开平方法解.

直接开平方法的步骤是：