热力学与统计物理习题课

第一章习题

10.(a)等温条件下，气体对外作功为

C1Vp2vzdV

W=Lpciv=/?r£—RT\n2

Q=—W=—Sn2(At/=O)

p_RT

(b)等压条件下，由=得〃一三

所以W=P()(2VO-VO)=POVO=RTO

TPVP-2V-

当体积为2V时1=----=-------=21

RR

C2T5

Q=CP\TdT=CPT=-RT

5

11.(1)Q=CPn(T2-T.)=2Ax\Qcal

"理=250〕

4

⑵AU=nCv^T=1.5x10^cal

⑶W=Q-AU=6xl04cal

(4)因为W=o,所以Q=AU=1.5xio5cal

12.由热力学第肯定律

dU=dW+dQ(1)

对于准静态过程有

dW=-PdV

对志向气体dU=CydT

气体在过程中汲取的热量为

x^Q=CndT

由此G-Cv)dT=PdV(2)

由志向气体物态方程PV=nRT(3)

且Cp—Cv—"十R

所以(C"-Cv)3~=(Cp-Cv)E~(4)

对志向气体物态方程(3)求全微分有

dVdPdT

VPT⑸

dT

(4)与(5)联立，消去，有

T

dPdV

C-G)7+(G-。)歹=o(6)

_cn-cP

令"二c〃-g，可将⑹表示为

伫+丝o

VP⑺

若c〃，G，G均为常量，将⑺式积分即得

n

PV=C(8)

式(8)表明，过程是多方过程.

14.(a)以T,P为电阻器的状态参量，设想过程是在大气压下进

行的，假如电阻器的温度也保持为27。不变，则电阻器

的炳作为状态函数也保持不变.

(b)若电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全

部被电阻器汲取而使其温度由刀升为乌，所以有

2

mCp(Tf-Ti)=iRt

+记=60°K(1卡=4.1868焦耳)

“Up

TmCdTT

AS=C[f-----------In—t=1

丁=mC.39cal•K

PT

15.

依据热力学第肯定律得输血表达式

dU=dW+dQ(i)

在绝热过程中，有出2=°,并考虑到对于志向气体

dU=C、,dT(2)

外界对气体所作的功为：=-pdV,则有

CvdT+pdV=O(3)

由物态方程Pv=HRT,全微分可得

pdV+Vdp=nRdT（4）

考虑到对于志向气体有〃R=c〃-G=G，。一i）,则

上式变为

pdV+Vdp=CJy—l）dT⑸

把（5）和（3）式，有

Vdp+ypdV=0（6）

（）p

dp_=r

所以有[dv）s~v⑺

若加是空气的摩尔质量，加+是空气的质量，则有

mm

夕二伺和〃=——

Vm

MJdp}(dv^

(8)

[dp)s~[dv)s[dp)

将式（7）代入（8）式，有

'型、/v

m(9)

由此可得

m__

有物态方程pV=腌RT=']R7\代入上式，得

，，6

17.

(1)。。的水与温度为1。。。的恒温热源接触后水温升为

100C,这一过程是不行逆过程.为求水、热源和整个系统

的病变，可以设想一个可逆过程，通过设想的可逆过程来

求不行逆过程前后的病变。

为求水的嫡变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,

其温度分布在0。与100C之间，令水依次从这些热源吸

热，使水温由0C升至100C,在这可逆过程中

「mCpdT

小J2731

373

=mCIn

p273

=1304.6人右1

水从。c升至100c汲取的总热量Q为

Q=mCp・AT

=4.18x105/

为求热源的燧变，可令热源向温度为100℃的另一热源放

出热量。，这样在这可逆过程中，热源的病变

_4.18X105_-

△S热源―――—-—1120.6J・K

郃总=以源+的”184九上

⑵

3231

As=fmCPdT=mCln323=703.0J-AT

iJ273T273

A『3些血=6。［61

乙J3231

mCpKT1

AS痴=一9=-=-647.1J.A：-

热।了(

△S热2=-'"2T=-560.3J.^-'

T?

AS,.=703.0—647.1+601.6-560.3=97.2人L

(3)为使水温从。。升至100。而参加过程的整个系统的病保

持不变，应令水与温度分布在。。与10。C之间的一系列

热源吸热.水的病变仍为(1)给出.这一系列热源的炳变之

和为

=—173"2cp"=—13。4以叱

△s热源

J273丁

参加过程的整个系统的总炳变为

△SM=AS执用+45水=0...

忠热源ZK

18.

L表示杆的长度。杆的初始状杰是/=。端温度为5，l=L

T_T

端温度为Z,温度梯度为1(设汇>()。这是一个非平衡状

态，通过匀称杆中的热传导过程，最终达到具有匀称温度;上

的平衡状态，将杆分为长度为4的很多小段。位于/到/+力的

T{-T2工+(

小段，初温为1二12+1^/。这小段由初温T变到终温下二

后的病增加值为

=pCdl4n------

PT2+U/

2L

其中g是匀称杆单位长度的定压热容量。依据炳的可加性，整个

匀称杆的炳增加值为

AS=JdSl

空一"喑〃/

T\+T?

-l-（7；ln7；-7；ln7；）+l

=pCpLIn

2'1-2

其次章习题

2.2(3)题

由dU=TdS-PdV

(1)

令。。=0,则

处、_

由Maxwell关系(2.33-3)方人，则有

即得证。

在上式中用到Maxwell关系（2.33T）［方［一（和

（

本题⑴关系式〔防dU广}一_飞Jd而V力\

若以（。V）为自变量时的内能全微分为

将上式和（1）式比较，可得

2.4题

dU=dQ+dW

dW=-pdV

dQ-dU+pdV

CM+/^dV=O(1.30)式

而1

(a\

将。+至(v—))二R7代入上面的方程得

^^+-^-dV=O

TV-b

积分得

R

T(y-b^=c

2.6题

(1)若以(北3为自变量时的内能全微分为

(1)

由dU=TdS-PdV

将以（T,n为自变量时的病的全微分代入上式，则有

as(、

dV+dT-PdV

^V)

TJv

皿、0、(2)

-PdV+T

lavXw

比较（1）和（2）式，可得

dUdS

+P=T

~dV

TdVT

空、‘dp'

将Maxwell关系式(2.33-3)则可证

SVJT

dUdp、

+P=T

~dV

T而1

（2）若以（。夕）为自变量，焙的全微分为

dH(dH、

dHdT+dp

~dTdp(1)

p/T

由dH=TdS+Vdp

将以（T,p）为自变量时的病的全微分代入上式，则有

fdS_、

=Tjdp+0dT+Vdp

SP［而1

、

"dS_dS_(2)

+Vdp+TdT

9P)TdT

比较（1）和（2）式，可得

9则可证

2.12题

对复合函数uq\P）=uq\v（j\P））

2.15题

依据热力势G的定义

G=U+PV-TS=H-TS

所以有：H=G+TS

由热力势G的微分方程：dG=-SdT+Vdp

\

dGdp

~dTP(劭)T

包、

可以得到：s二-

这样就有：〔而

''P

GQUH

一间

=-T—f/?lnaP5/2

\"""aP(5A,,2

JR7//21-2尸

dT[[(RT广

r、

=-T—LinaP

---R\=-R

dT[|_(/?T)5/222

-1

第三章习题

1.

将(豹。记为(豹「+”

由Maxwell关系式(2.33-4)

此)更、

、6T)P>T

因此水在过程中的炳增加值为

=一日dP

=-/（a+bP）dP

…（2-幻+渺:一尸:）］

将月=1，〃，E=1000p〃代入后，进行单位换算即乘以

101325X10-6

3-6

a{P2—0=4.5xlO-xIOx(1OOO-l)x101325

=0.4555065375=0.456

2(鸟2_[2)=14x106x106(1()6_])x1o1325

22

=0.070927429072=0.071

△S=—a527J・mo『'・K-'

在等温过程中水从外界汲取的热量。为

。=八八5=—157人加。尸

2.（|第2.7题）

由题设，气体压强可表为

P=f（V）T（1）

由dF=—SdT—PdV得Maxwell关系式（2.33-3）

fdSyJ叫

lavVlarX⑵

将（i）代入有

点=偌)")=5

JrJvT

由于P-0,T-0故有(筮］A°,这意味着在温度保持

不变时，该气体的炳随体积而增加。

5.

考虑lmol的范氏气体，依据自由能全微分的表达式，摩尔自由

能的全微分为

df=-SmdT-PdVm(1)

故

I":P=

Iai/Iv内-b，v°2⑵

\m/Tmm

积分得.

f(T，V,n)=—RTln(匕一b)—初+0(7)(3)

ym

由Vf00有f(T,VJ=-RT\nVfll+。(7)

可求出。CO：

又由志向气体的摩尔自由能为

UT8m

、

f=\cVjndT^U,n.-TJ货dT+Rln嗫+S〃7。(4)

将(3)中的极限与式(4)相比较，知

Q

。(丁)=\CvmdT-T\^dT^U,〃0-75,〃。(5)

故范氏气体的摩尔自由能为((5)式代回到(3)式)

=J金,/7-1\牛〃一火/m-—A)一/+Um0-TSIM

(6)

式(6)的/(•/)是特征函数。

范氏气体的摩尔炳为(比较课本第50页)

S〃一夸H与切+而”叫+S,.°

摩尔内能为

小小同=1金〃"一;十人。

m

6题:

dU=TdS-pdV(1)

以（sn为自变量时的内能全微分为

(2)

比较（1）和（2）式，则可得到

dU、（乳"，可得

,也即［而1

SS八

（豹尸韵

比较（1）和（2）式，也可得到

（5pyfdS}

CdVJs9又麦氏关系岳力=［方］

14.题

⑴因为dF=-SdT-PdV,

(dFy

所以

dT)v

d2Fd2F

因为dTdV~dVdT9即

/V

（2）由题设知

因为dU=TdS-PdV

dT+T-PdV

T—

6U竺、

所以

~dVSTJv

dP_1du

而=

dTv3~dT

TduuT""-A1t

所以也）=了方一§，即丁•方一4〃

积分得u=aT4（a为常数）

15题:

系统在可逆等温过程中汲取的热量Q与其在过程中的酒增

加值满意:

Q=TAS

在可逆等温中磁介质的炳随磁场的改变率为(参见汪志诚

92-95页：磁介质热力学部分)：PT—即自，V^m

(dS}_(dVy

以及一旧［二［而，可得：

fas)(cm\

若在体积为V磁介质遵从居里定律

CV”

m------L

T

(dm}CV/

则有U4-7"

(dSyCV/

所以kri

在可逆等温过程中磁场由0增至6时，磁介质的病变为

AC「彳OS)”CV/2

△S=。4，

2「

汲取的热量为

Q=T、S=F"

16.

在可逆等温过程中系统汲取的热量为

Q=TAS

由热辐射的炳函数表达式

S=-aT3V

3

4

所以0=745=4〃尸（％_乂）

17.

对复合函数

S=S（P,V）=S（P,T（P,V））

c

求偏导数，有（考虑到dS=b"T）

^dv）==

PlarJpWXTWjP

因为CpA°，TA°,所以（第］的正负取决于（今■］的正负。

18.

(HP\

由p=f(y)T,故［k

(dU\(dU\

dU=TdS-PdV=—dT+—dV

<BT)v\SV)T

得

dU=

(dPy

利用Maxwell关系方人，则有

包］-T(—

<ev>r>v

四、

所以=T./(V)-P=O

则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数

第四章习题

4.1

证明：

由题意给出

PV=PV(T,V,^,...^

得出

dPVdPVdPV

d(PV)=(亍)"+("MV+…(1)

Cz/CzVU

由G=E>W,，求得

i

dG=Z几id4+Z4血，

ii

利用热力势热力学微分方程：dG=-SdT+VdP+24%

i

比较这两式可得

VdP=SdT+2%d〃,

i

所以，

d(pV)=PdV+VdP=SdT+PdV+Z44(2)

（1）和（2）式比较，可以得到

。—/叫/叫_丁”、

"（亍）5'=（/］）7必'〃产4（可）小'勺（3）

依定义，我们可以由PV及其偏导数得到其他的热力学函

数，

G=Z〃，4•，其中“可由PV的偏导数求出，

i

H=G+TS,其中G及S可以由PV的偏导数导出，

U=G+TS-PVf可由PV及其偏导数求出，

F=U-TS也可由PV及其偏导数求出。

由（2）式以下的推倒可以看出，PV是独立变量

丁，匕必，…，4的特征函数。

4.5

证明：

多元系的内能。=。(/，匕〃「・・・％)是变量V,%,…%的

一次齐函数。依据Euler定理(式4.38),有

〃F加、dU

U=>71(----)4-Vu-----(1)

Y'西T3V吗ndVW

由

V==(2)

ii

将(2)代入(1),得出,

V1QU、fdU、

牛"=牛”而）…54（而）T,皿

上式对巴的随意取值都成立，故有

「匕(竺dU

''SV

7题:

由题意知，气体A和气体B的摩尔数分别为4/N,%/N其

中N为阿伏加德罗常数。对于体积和温度不变时，单位摩尔志向

气体的炳有（参见第27页（1.57）式

s=GInT+7?lnv+S0(1)

“%N

气体A初始的嫡为（留意口=1〃）

SA=^Cv\nT^R\n^+^S.

NNnxN

气体B初始的炳为

SB*Cv'nT*R'也味

NNn2N

所以，混合前气体总的炳为

S=sA+snR

又因为，A,B为同种气体，所以混合后不构成扩散过程，所以混

合后的炳为总粒子数为％+%和体积为V+V=2V,则由（1）

式有

NNn2+n{N

.R

所以病变为（考虑到％=印）

NS=S'-S=kn}In——----Fkn2In—5-----F+%)In2

〃1+&〃]+4(1)

（炳改变的范围可参见汪志诚第159-163页：混合志向气体的性

质）

4.10

解

（1）

容器是绝热的，过程中气体与外界不发生热量交换。抽去隔板后

气体体积没有改变，与外界也没有功的交换。由热力学第肯定律

知，过程前后气体的内能没有发生改变。志向气体的内能只是温

度的函数，故气体的温度也不改变，仍为T。

初态时两边气体满意

4K=%RT,P2V2=n2RT⑴

式（1）可以确定两边气体初态的体积。终态气体的压强P由物态

方程确定：

P(V[+V2)=(n[+n2)RT

即

Vj+匕〃1g+“2[

(2)假如气体是不同的(汪志诚159T61页)

混合前两气体的嫡分别为

S]=nxCXpInT_/Rin乌+%又皿，

§2="2c2PIn7—%RIn〃2+n2S2fM

由嫡的相加性知混合前气体的总焙为

S=S[+S?

混合后气体的嫡

九H

S'=〃G3nT-〃8n点〃+〃吊“。+"£34-%/^：必+〃25,,,。

两式相减得抽去隔板后端得改变为

△S=姓小)+2In〃式…)]

"iP

(3)

若为同种气体混合，