高中数学必修1-5知识点归纳

必修1知识点

第一章、集合与函数概念

§1.1.K集合

1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做基金。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合:N*或N+,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法、图象法.

§1.1.2,集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的

子集。记作AqB.

2、如果集合6,但存在元素xe8,且x史A,则称集合A是集合B的真子集.记作:A£B.

3、把不含任何元素的集合叫做室里.记作：。.并规定：空集合是任何集合的子集.

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有岂个子集；有2"-1个非空子集;有2"-1个真子集;有2"-2个

非空真子集

§1.1.3、集合面的基本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的左基.记作：AUB.

2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作:Afi3.

3、全集、补集?CUA={X\X&U,^LX^U]

§1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系了,使对于集合A中的任意一个数X,在集合B中都

有惟一确定的数/(x)和它对应，那么就称了:Af8为集合A到集合B的一个函数，记作：y=/(x),xeA.

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域为口果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致，

则称这两个函数相等.

§1.2.2、函数的表示法函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

§1.3.1、单调性与最大(小)值注意函数单调性证明的一般格式：

解:设X],无2W以且X1<尤2，则:/&)一/(工2)=…

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(-x)=/(x),那么就称函数为偶函数.

偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有/(—x)=—/(x),那么就称函数fG)为奇函数.

奇函数图象关于原点对称.

第二章、基本初等函数(I)

§2.1.1、指数与指数幕的运算

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根。其中〃>l,〃eN+.

2、当〃为奇数时，府=a；当〃为偶数时，行=同.

3、我们规定：⑴a"，=(a>0,，〃,〃e>1)；⑵。-"=丁(”>0)；

4、运算性质：

Wa'as=ar+s(a>0,r,se⑵(")'=a"(a>0,r,swQ)；(3)[ab)'=a'br(a>0,b>0,reQ).

§2.1.2、指数函数及其性质

1、记住图象：y=a'\a>Q,a^\)通过图象观察函数的性质

§2.2.1,对数与对数运算

1、a*=N<=>log“N=x；2、a'°s,,N=N.3、log,,1=0,log„a=l.

4、当4>0,4。1,/〉0,"〉0时：

(Dlog“(MN)=log“M+log“N；⑵log“[*)=log“"-log“N；(3)log„=/ilogaM.

5、换底公式：=(a>0,aHl,c>0,cwl*>0).

log,a

6、logab——--(a>0,aw1,6>0,"1).

log/,a

§2.22、对数函数及其性质

1、记住图象：y=log“x(a>0,awl)通过图象观察函数的性质

§2.3、幕函数

第三章、函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程/(x)=0有实根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.(零点不是点)

2、性质：如果函数y=/(x)在区间［a,同上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(a)•/伍)<0,那么，

函数y=/(x)在区间(。,份内有零点，即存在ce(a,。，使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

I、掌握二分法

§3.2.1、几类不同增长的函数模型

§3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2知识点

第一章空间几何体

1、空间几何体的结构

(D常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面

体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,

平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

r

⑴圆柱侧面积；5tM而=2乃⑵圆锥侧面积：S侧面=»•「•/⑶圆台侧面积：S侧面=1・r•/+%•R•/

⑷体积公式：V柱体=S•〃：%体=3小V台体=g(s上+JS上.S下+S。

C4Q

⑸球的表面积和体积：S球=4成V球=］冰3.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

10、面面平行:

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

第三章：直线与方程

1、倾斜角与斜率：k=tana=—~~—

x2—X]

2、直线方程：注意各种方程成立.条件

⑴点斜式：^一>0=%(％—%0)(2)斜截式：y=kx+b

⑶两点式："弘=*一拓⑷截距式：-+^=1(5)一般式：Ax+By+C=O

y2-y}x2—x}ab

3、对于直线：4:y=AqX+b]/：y=42元+)2有：

"k=k

⑴/J//,12；(2)/1和4相交=女产幺；

也产。2

k=k

2

⑶/]和，2重合।；(4)Z,±Z9<=>k}k2——1.

出二%

/竹吉4乙：A/+gy+G=。，右

4、对于直线：有：

l2:A^x+B2y+C2=0

A.B)=4B,

(1)/J〃20{；(2)/1和4相交04^2W42用；

81c2*B2cl

A=AB.

⑶4和4重合<=><~~2；⑷/]_L乙=AA)+片层=0.

SlC2=B2cl

5、两点间距离公式：山舄|=J(尤2—召)2+出—y)2

6、点到直线距离公式：d=a+5yo乂

7A2+B2

第四章：圆与方程

1、圆的方程：

⑴标准方程：(%-.)2+()，一少2=/⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

2、两圆位置关系：d=\O,O^,(。1,。2是两圆的圆心，R,，且R>r是两圆半径)

⑴外离：d>R+r；⑵外切：d=R+r；⑶相交：R-r<d<R+r；

⑷内切：d=R-r；⑸内含：d<R-r.

3、直线与圆的位置关系：(d是圆心到直线的距离，r是圆的半径)

(1)相离：d>r；(2)相切：d=r；(3)相交：d<r

4、点与圆的位置关系：(已知点用(与，孔)，圆：(工一。)2+(>-炉=,)

22

(1)点在圆上：(%o-a)?+(y0-b)=r

22

(2)点在圆内：(X。一a)?+(y0-Z?)<r

(3)点在圆外：(x。-«)2+(%-b)2>r~

必修3知识点

第一章：算法

1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；

2、算法的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构

3、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法;

4、循环结构中常见的两种结构：当型循环结构、直到型循环结构

5、基本算法语句：

①赋值语句："="（有时也用“一”）②输入输出语句：“INPUT”“PRINT”

③条件语句：

If…Then

Else…

EndIf

④循环语句：“Do”语句

Do

Until…

End

“While”语句

While…

Wend

⑹算法案例：辗转相除法一同余思想

第二章：统计

］、抽样方法，

①简单随机庙样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为二。

N

2、总体分布的估计：

⑴一表二图：①频率分布表一一数据详实②频率分布直方图一一分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数：可为+叼+=+…+~；

n

取值为…的频率分别为P1，P2,…,，则其平均数为+必〃2+…+；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据西,必，…,工”

In_2F.~~n_2

方差：s~=—V（xz-x）；标准差：S=J—£区一X）

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

'乂一用

1)=旦-------------

③线性回归方程：y=bx+a(最小二乘法)<72-2

-nx

i=\

a=y-bx

注意：线性回归直线经过定点日5)。

第三章：概率

1、随机事件及其概率：

⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点：

⑶随机事件A的概率：P(4)=—,0<P(A)<1；

n

2、古典概型：

⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；

⑵古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件

A发生的概率P(A)=—.

n

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式：P(A)="型嗯;

。的测度

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

4、互斥事件：

⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件4,&,任意两个都是互斥事件，则称事件A,&，…，4彼此互斥。

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B发生的概率的和，

即：P(A+8)=P(A)+P(8)

⑷如果事件4,A2,…,4,彼此互斥，则有：

「(A[+A2H-----(■A”)=P(A|)+P(A2)H-----1-P(A”)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。

①事件A吃对立事华己作入

尸(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

必修4知识点

第一章、三角函数

§I』」、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

2、终边相同的角的表示：

(1)a终边与。终边相同(a的终边在。终边所在射线上)0&=夕+2女乃(左eZ),注意：相等的角的终边

一定相同，终边相同的角不一定相等.

(2)a终边与6终边共线(a的终边在。终边所在直线上)oa=e+k兀(kwZ).

(3)a终边与6终边关于x轴对称oa=一。+2k兀(ksZ).

(4)a终边与。终边关于y轴对称oa=7T-0+2k/r(kGZ).

(5)a终边与。终边关于原点对称oa=7i+0+2k7r(keZ).

TT

(6)a终边在x轴上的角可表示为：a=k7i,keZ；a终边在y轴上的角可表示为：a=k7r+—,keZ；

「终边在坐标轴上的角可表示为：a=^-,keZ.与角。终边相同的角的集合：烟0=a+2k冬kw八.

§1.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的雨.7irad=180°

2、\a\=~.3、弧长公式：/=四=同火.4、扇形面积公式：s=@-=LR.

11

11r1803602

§1.2.1、任意角的三角函数

1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸(x,y),再，么：sina=y,cosa=x,tana=—.

x

2、设点AG。，%)为角。终边上任意一点，那么：(设-=Jx：+y；)

sin6<=—,cosa=—,tana=—.

3、sina,cosa,tana在四个象限的符号和三角函数线的画法.

sin(a+2k兀)=sina,

4、诱导公式一：co〈a+2攵〃)=cosa,(其中：keZ)

tan(6f+2k7i)=tana.

5、特殊角的三角函数值:

30°45°60°0°90°180°270°15°75°

j_V2V3V6-V2V6+V2

sina010-1

22244

V3V2V6+V2V6-V2

cosa]_10-10

~T244

tana旦1V3002-V32+V3

3//

V3

cota拒1~T/0/02+V32-V3

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

sinoc

1、平方关系：sin26Z4-cos2a=1.2、商数关系：tan6Z=--------.3、倒数关系：tana・cokz=l

cosa

§1.3,三角函数的诱导公式：奇变偶不变(对人而言，指左取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把

a看成是锐角)，诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：负化正，大化小，化成锐角0K了！

sin(乃+a)=-sina,sin(—a)=-sina,

1、诱导公式二：cos(乃+a)=-cos。，2、诱导公式三：cos(-a)=cosa,

tan(^+a)=tana.tan(-a)=-tana.

sin(乃一a)=sin。，

3、诱导公式四：cos(万一a)=-cosa,4、诱导公式五:

tan(乃一。)=-tana.

.(71、

sinl—4-cifI=cosa,

5^诱导公式六：

(71.

cos—+a=-sint

12)

§1.4.K正弦、余弦函数的图象

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、

单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

§1.4.2.正弦、余弦函数的性质

1、周期函数定义：对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有

/(x+T)=/(%),那么函数了.)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

y=smx的图象

y=cosx的国象

2、正弦函数y=sinx(x£H)、余弦函数y=COSX(XG&的性质：

(1)定义域：都是R。

jr3冗

(2)值域：都是[一1,1],对丁=5也1,当x=2%%+,(ZeZ)时，y取最大值1；当x=2女乃+:eZ)

时，y取最小值一1：对丁=<\«X,当x=2左乃(ReZ)时，y取最大值1,当x=2kr+〃(ZeZ)时，y取最

小值一1。

(3)周期性：®y=sinxy=cosx的最小正周期都是2万；②/(x)=Asin(0x+0)和/(x)=Acos(0x+0)

2〃

的最小正周期都是T

（4）奇偶性与对称性：正弦函数丁=而%（%€/?）是奇函数，对称中心是（Qr,O）（ZeZ）,对称轴是直线

x=kjT+^keZ）；余弦函数y=cosx（xeR）是偶函数，对称中心是（攵万+1,0）（上eZ）,对称轴是直线

x=k兀（kGZ）（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的

交点

（5）单调性：y=sinx在卜版■—泉2版■+］（々eZ）上单调递增，在2版■+泉2碗+芳（AeZ）单调递

减；y=cosx在［2%乃,2匕?"+句（％eZ）上单调递减，在［2左乃+乃,2左乃+2万］（左eZ）上单调递增。特别提醒，

别忘了k&Z\

§1.4.3、正切函数的图象与性质|p个寸II

1、记住正切函数的图象：।J；彳1|

I/；/'/IX

y=tanx的黑象

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

§1.5、函数y=Asin（a>x+Q）（A>0,«y>0）的图象和性质：

1、研究函数^=Asin（（yx+0）性质的方法：类比于研究y=sinx的性质，只需将y=Asin（（yx+。）中的

0X+8看成y=sinx中的x,但在求y=Asin（3x+e）的单调区间时，要特别注意A和①的符号，通过诱导

公式先将。化正。

2、对于形如y=Asin（<yx+°）（A>0,<y>0）的函数有：

（1）几个物理量：A—振幅；/=,一频率（周期的倒数）；3X+。一相位；。一初相；

（2）函数y=Asin（s+。）表达式的确定：A由最值确定；。由周期确定；。由图象上的特殊点确定；

7T3乃

（3）函数y=Asin（啰x+e）图象的画法：①“五点法”一一设X=iyx+°,令X=0,亍,万,3,2万求

出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数y=Asin（的+0）+%的图象与丁=4!1》图象间的关系：①函数y=sinx的图象纵坐标不变，横

坐标向左（0>0）或向右（°〈0）平移|°|个单位得旷=$皿工+0）的图象；②函数y=sin（x+o）图象的纵坐

标不变，横坐标变为原来的,，得到函数旷=5m（5+9）的图象；③函数y=sin（&x+e）图象的横坐标不变,

纵坐标变为原来的A倍，得到函数丁=4&11（3：+°）的图象；④函数y=Asin（8+°）图象的横坐标不变，纵

坐标向上（2>0）或向下（左<0）,得到y=Asin®x+0）+左的图象。要特别注意，若由y=sin（ox）得到

y=sin（5+°）的图象，则向左或向右平移应平移|?|个单位，

§1.6、三角函数模型的简单应用要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.

§2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、向量丽的大小，也就是向量屈的长度（或称慢），记作而；长度为零的向量叫做零向量;长度等于1

个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定:零向量与任意向量平行.

§2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形法则和平行四边形法则.2、|Z|工区Z±gWZ+%.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

与3长度相等方向相反的向量叫做]的相反向量.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数;I与向量[的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作:Aa,它的长度和方向规定如下:

（l）bq=M问，⑵当4>0时，的方向与〉的方向相同；当；1<0时，九2的方向与Z的方向相反.

2、平面向量共线定理：向量与各共线，当且仅当有唯一一个实数4,使1=4工

§2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量有且只

有一对实数4,4，使2=41+4最.

§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示a=xi+yj=[x,y）.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、设0=（王，凹贝I：⑴4+办=（工1+W，y+%），=（x]-x2,yy-y2）>

⑶彳4=（弱,肛），Wa//b<^>xly2-x2yl.

、设（和%）,），则：

245&,%AB=（X2-X],y2-yj.

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示

1、设4（阳,月）5（巧,为），。&，丁3），则

⑴线段AB中点坐标为七巨，牛），⑵AABC的重心坐标为色守,取筝乃）.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

1、ab=abcosO.2、a在各方向上的投影为：|dcosd=^^

11I回

—2i—»i2i—»|/12———*-♦—♦—♦—♦—♦—♦—»

3、a=a.4、a=4。.5、a1.boa-b=0.6、allb<^>a=AKb0,2GR）

§242、平面模瘫

1、设a=（x，y）1=（尢2，%），贝必

⑴a・5=x/2+yy2（2）4=Jx；+y；（3）a_L^。+y%=°；⑷=12%

2、设4（为，必）,8（工2，%），则：28=J（》2-占丫+（%一H丫・

§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换

§3.1.1、两角差的余弦公式cos(cu-/7)=cos«cos/7+sinasin/3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、cos(a+£)=cosacos户一sinasin/72、sin(a-/?)=sin«cos/?-cosasinp

3、sin(«+>9)=sinacos/3+cosasinp

4^tan(a士尸)=)器募夕•变形：tana土tan£=tan(a土尸)(1干tana•tan尸)

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a

1、sin2a=2sinacosa,变形1：sinacosa=^sin2a.变形2：cosa=--------

2sina

2、cos2cr=cos2a-sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a,变形1：c°s%=一

变形2：sin2a=1-c；s2a.变形3：l+cosa=2cos2a变形4：l-cosa=2sin2a

类比：1±sina=(sinW±cos0)23、tan2a=?tan/.

221-tan2a

§3.2、简单的三角恒等变换：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即

首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的

关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:角变形(加一加、减一减)、函数名称变形

(切化弦、弦化切)和常数变形。注意正切化弦、平方降次;辅助角公式的应用。.

必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：—9—=一竺=-^=2/?.(注意其变形情况)

sinAsinBsinC

b2+c2-a2

AcosA=----------

a1=/?2+c2-2力ccosA,2bc

a2+c2-b2

2^余弦定理：b2=a2+c2-2accosB,DcosB=----------

2ac

c2=a2+—2abcosC.

_a2+b2-c2

cosC=----------

2ab

3、三角形面积公式:SMBC=—ahsinC=—hcsinA=—tzcsinB

第二章：数列

5，当”=1时，

1、数列中3与之间的关系：a

nS“-S,i，当〃>1时.

2、等差数列:

⑴定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

⑵通项公式：an-a｝+(n-V)d

⑶求和公式：5“=叼+的上以=包上她

3、等差数列的性质：

(1)当公差d/0时，等差数列的通项公式〃，=0+(〃-1)"=血+4-4是关于"的一次函数，且斜率为公差d；

2

前〃和S,、=na｝+幽-1)"=|«+(«,-|)n是关于〃的二次函数且常数项为0.

(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差。=0,则为常数列。

(3)当"2+〃=p+q时，则有+。“=%,+%,特别地，当帆+/=2〃时，则有册+。“=24.

(4)若｛4｝、他,｝是等差数列，则｛履“｝、伙4+油"｝”、，是非零常数)、｛々『/(PMCN*)、

S”,S2”—S”,S3”—S2“，…也成等差数列，而｛相"｝成等比数列；若｛4｝是等比数列，且4>0,则｛1g4｝是

等差数列.

(5)在等差数列伍,｝中，当项数为偶数2〃时，S偶一5奇=〃4；项数为奇数2〃一1时，S奇-S偶=。中，

52“-|=(2〃一1>。中(这里/即。“)；S奇：5偶=伏+1):后。

(6)若等差数列｛%｝、｛"｝的前〃和分别为4、Bn,且今=/(〃)，则2=等条=*2=/(2〃-1).

纥21(2〃-氏.i

(7)“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前”项和的

最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组,，，*°(或1%4°)确定出前多少项为非负(或非正)；法二：

因等差数列前〃项是关于〃的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性〃eN*。

4、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵通项公式：an=

C

⑶求和公式：Sn=~~=_L11)；Sn=｛q=1)

1-q1-q

5.等比数列的性质：

(1)当m+〃=p+q