高中数学选择性必修第一册课后练习9倾斜角与斜率

倾斜角与斜率

[4组基础巩固练]

一、选择题

1.过点4(一小，&)与点3(一也，小)的直线的倾斜角为()

A.45°B.135°

C.45。或135°D.60°

方一也

[因为斜率攵=所以倾斜角为

一小一(一小)一45°.]

2.若图中直线/2,b的斜率分别为舟,k2f色,则()

A.k\<ki<ki

B.h<k\<k2

C.k3Vk?<ki

D.k\<ky<k2

D[由题图可知，抬<0,42>0,23>0,且，2比/3的倾斜角大，，人〈43<22]

3.若点A(—l,-2),8(4,8),已知AB的方向向量为(1,k),则实数k的值为()

A.3B.-3C.2D.—2

C[A8的方向向量坐标为(4+1,8+2),即(5,10).又(1,k)也是AB的方向向量，，攵=

4.设直线/过坐标原点，它的倾斜角为匿如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转45。,

得到直线人那么小的倾斜角为()

A.a+45°

B.a-135°

C.1350-a

D.当(TWaV135。时，倾斜角为a+45。；当135。WaVI80。时，倾斜角为。一135。

D[根据题意，画出图形，如图所示.

当0°WQV135°时，1的倾斜角为a+45。;

当135。在。<180°时，八的倾斜角为45。+。-180。=。一135°.]

5.如果直线/过点(1,2),且不通过第四象限，那么/的斜率的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,21

C.[o,1D.(0,3]

B[如困，经过(1,2)和(0,0)的斜率左=2,若/不通过第四象限，则0WAW2.故选B.]

(1,2)

二、填空题

6.设P为x轴上的一点，4—3,8),5(2,14),若直线PA的斜率k积是直线PB的斜率

心8的2倍，则点P的坐标为.

814

(-5,0)［设P(x,0),由条件炀=2如，«'!_0_=2X—,解得％=—5,故P(—5,0).］

7.已知点41,2),若在坐标轴上有一点P,使直线外的倾斜角为135。，则点P的坐标

为•

0—2

(3,0)或(0,3)［由题意知面=一1,若尸点在工轴上，则设P(/%0),则获=y=-l,解得

〃一2

机=3;若P点在y轴上，则设P(0,〃)，则鼠7=一1，解得〃=3,故P点的坐标为(3,0)或

03).］

8.若经过点尸(1一〃/+〃)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数。的取值范围是

(一8,-2)U(1,+8)［由得或

JI1v4JC*I4

三、解答题

9.求证：A(l,-1),5(-2,-7),C(0,一3)三点共线.

［证明］VA(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),

・・kAB=_।_=2,kAC==2.・・KAB=KAC-

•・•直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A,

・•・直线A8与直线AC为同一直线.

故4,B,C三点共线.

10.已知直线/的倾斜角a的范围是45。或0在135。，求直线/的斜率女的范围.

［解］分类讨论：当Q=90。时，/的斜率不存在；

当45°<aV90°时，/的斜率k=1@110£［1,+«>)：

当90°VaW1350时，/的斜率L=tana£(-8,-1］.

."的斜率不存在或斜率及£(一8,-|］U［1,4-oo).

［B组素养提升练］

11.(多选题)若两直线，I，，2的倾斜角分别为内，。2,则下列四个命题中错误的是()

A.若则两直线的斜率：kx<ki

B.若%=。2,则两直线的斜率：ki=k2

C.若两直线的斜率：k\Vk2,则如<。2

D.若两直线的斜率：21=依，则。|=。2

ABC［当勿=30。，a2=12(r,满足&Va2,但是两直线的斜率於>近，选项A说法错

误；当囚=8=90。时，直线的斜率不存在，无法满足鬲=公，选项B说法错误；若直线的

斜率卜=-1,fe=l,满足hV22,但是ai=135°,。2=45°,不满足由<。2,选项C说法错

误；若“=心说明斜率一定存在，则必有。］=。2,选项D正确.］

12.将直线，向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线

的斜率为()

5454

A.不B.百C.一wD.一§

C［设点P(a,力是直线/上的任意一点，当直线/按题中要求平移后，点户也做同样

的平移，平移后的坐标为3+4,。-5),由题意知，这两点都在直线/上，，直线/的斜率

b-5-b51

-a+4—44

13.(一题两空)直线/经过点(一1,0),倾斜角为150。，若将直级/绕点(-1,0)逆时针旋

转60。后，得到直线八则直线厂的倾斜角为________,斜率为________.

30°坐[如图所示.

•・•直线/的倾斜角为150。，,绕点(一1,0)逆时针旋转60。后，所得直线广的倾斜角。=

(150o+60°)-180o=30°,斜率k=tana=tan30。=坐.]

14.已知两点4(-3,4),8(3,2),过点P(2,—1)的直线/与线段A3有公共点，则/的斜

率的取值范围为.

(-8,-HU[3,+8)[如图，要使/与线段48有公共点，则直线/的倾斜角介于直

线尸B与直线网的倾斜角之间.当直线/的倾斜角为钝角时，•.•直线%的斜率为;二=

乙I。

-1,・・・比(-8,-1],

当/的倾斜角为锐角时，又直线尸3的斜率为1_：=3,.•/£[3,+8).故2£(—8,

-1]U[3,+8).]

[C组思维提升练]

15.已知坐标平面内三点A(—1,1),C(2,小+1).

(1)求直线4B.BC,AC的斜率和倾斜角：

(2)若。为△A3C的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围.

1—1

[解I(1)由斜率•公式得匕8=]_(_])=0,

V3+1—1r-^5+1—1V3

融2_1_73,KAC_2_(_])­3'

倾斜角的取值在区间[0。，180。)范围内，•・・tan()o=0,

.•.直线A8的倾斜角为0。「・七1160。=仍，J直线5C的倾斜角为60°.

Vtan30°=^,工直线AC的倾斜角为30°.

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，

直线CO与4B恒有交点，即。在线段48上，此时左由依八增大到Acs,所以2的取值范围

为停同

3

2

1.平面Q的斜线I与它在这个平面上射影r的方向向量分别为a=（l,0,1）,6=（0,1,1）,

则斜线/与平面a所成的角为（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］/与a所成的角即为。与b所成的角（或其补角），因为cosQ,b）=就=3

所以Q,b）=60。./与a所成的角为60。.

2.已知向量〃I,〃分别是直线/和平面。的方向向量和法向量，若cos〈/w,=~2f

则/与a所成的角为（A）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］由已知得直线/的方向向量和平面a的法向量所夹锐角为60。，因此/与a所成

的角为30°.

3.直线人的方向向量。1=（1，-1,1），直线/2的方向向量42=（12，—1），设直线/|与

/2所成的角为仇则（D）

A.Q应n.口应

A.sin0=—B.sin

C.cos0=—D.cos3

••/\0色1—2—1—2也

［解析］.cos<«„。"一丽=^~=稀=一3•

..cos0=卞.

4.在三棱锥P—ABC中，ABLBC,48=3。=弧，点O,。分别是4C,PC的中点，

OP_L底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为_噂_.

f解析］以。为原点，射线OA,OB,。尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

设AB=a,则。尸=塔，历=（一%,0,乎J,可求得平面P8C的法向量为〃=

(fl,通

所以8s〈历，加=亚=曙，

\OD\\n\

设成)与平面PBC所成的角为仇则sin

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB_L底面ABC。，CDLPD,底面48co为直角梯

形，AD//BC,AB.LBC,AB=AD=PB=3.点E在棱上，且PE=2E4.求平面45E与

平面£)8七夹角的余弦值.

［解析］以8为原点，以直线8C,BA,BP分别为x,>>,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.则P(0,0,3),A(0,3,0),0(3,3,0).

设平面EB。的一个法向量为〃i=(x,y,z),

.—►—►—►—►2~►2->

因f为8E=BP+尸E=8P+?B4=(0,0,3)+1(0,3,—3)=(0,2,1),8。=(3,3,0),

n\BE=O［2y+z=0,

由《t得

g.而=0,出+3产0.

L=i

取z=l,所以<1于是—/1)

［y=~2-

又因为平面ABF的一个法向量为改=(1,0,0),

1

所以COS(«1,〃2〉=~^=坐.

设平面A5E与平面DBE的夹角为0,

则cosJ=|cos<m,〃2〉尸平，故所求夹角的余弦值为平.

A组•素养自测

一、选择题

1.(多选题)已知彩为直线/的方向向量，小，处分别为平面。，6的法向量3,4不重

合)，则下列选项中，正确的是(AB)

A.n\//n^a//pB.n\Ln^aLp

C.v//n\^l//aD.v±n^l//a

［解析］对于A,平面a,尸不重合，所以平面a,4的法向量平行等价于平面a,4平

行，A正确；对于B,平面如夕不重合，所以平面a,。的法向量垂直等价于平面a,夕垂

直，B正确；对于C,直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C错误；

对于D.直钱的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线,平行于平面或直线在平面内，D错

误.故选AB.

2.若平面a的一个法向量为m=(1,0,1),平面0的一个法向量是〃2=(-3,1,3),则平

面a与夕所成的角等于(D)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］因为〃0,1)•(一3,1,3)=0,所以a_L£,即平面a与£所成的角等于90。.

3.已知40,1,1),8(2,—1,0),C(3,5,7),£>(1,2,4),则直线48和直线CO所成角的余

弦值为(A)

妪_5^22

A.66B，66

2_5^22

22u.22

［解析］AB=(2,—2,—1),8=(—2,—3,—3),

瓶诙55后

而cos(AB,CD)

—丽|西一3X/-66，

故直线AB和CD所成角的余弦值为嘴.

4.已知正方形ABC。所在平面外一点P,以_L平面4BC。，若玄=A8,则平面以8与

平面尸C。的夹角为(B)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］如图所示，建立空间直角坐标系.设B4=AB=1,

则A(0,0,0),0(0,1,0),P(0,0,l),

.,.AD=(0,1,0).

取PZ)的中点E,

则£(0,I，£),

・••危=(0,I，1

易知病是平面PAB的一个法向量，能是平面PCD的一个法向量，所以cos(AD,AE)

=4，故平面物B与平面PCO的夹角为45。.

5.在正方体ABCO-AiBiGDi中，M,N分别为AO,GA的中点，O为侧面BCGBi

的中心，则异面直线MN与。。所成角的余弦值为(A)

A.TB.4

64

C.—7D.—7

64

［解析］如图，以。为坐标原点，分别以D4,DC,。。所在直线为x,y,z轴建立空

间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(lQ0),N(0,1,2),0(1,2,1),0)(0,0,2),

，疝=（-1,1,2）,而=（一1,一2,1）.则cos〈而，6b\>=MMODI=J1.

|两曲|平又乖6

异面直线MN与。。所成角的余弦值为卷，故选A.

二、填空题

6.如图，在正三棱柱4BC—A/iG中，已知A3=l,点。在棱83上，且80=1,则

AD与平面A4CC所成角的正弦值为_乎_.

［解析］解法一：取AC、4G的中点M、M,连接MM1、BM.过。作。则

容易证明。2_1_平面"|（7］。.连接AM则ND4N就是AD与平面4AGC所成的角.

在RtADAN中，

0L

./八八―也_2_亚

sm/DAN-AD-取-4-

解法二：取AC、4G中点。.E,贝《OBJ_AC,OE_L平面ABC,以0为原点。4、。3、

0E为大轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

在正三角形ABC中，助0=坐48=坐，

o,0）,《0,冬oj,电,孚1），

坐，1），

又平面A46C的法向量为e=（0』,0）,

设直线AO与平面"CC所成角为仇则

・I।I病「乖

sin6/—|cos\AD,e)|—^—

而闺

解法三：设枝=b,BC=a,Sb=Cy

由条件知aac=0,bc=O,

又病=丽一丽=c—b,

平面AA\C\C的法向量前=；(°+5).

设直线4£>与平面A4CC成角为"则

sin^=|cos(AD,BM}=[",

\AD\\BM\

—*—*1

AD-BM=(c—b>](。+b)

11,1,l,3

=£℃一呼方f+/c_/Ffl=-

2

\ADf=(c-b)=\cf+\bf-2bc=2f

：.\AD\=y［2t

|砌2=；(0+协2=,同2+步F+2aM4

/.\BM\=乎,***sin。=乎.

7.在空间中，已知平面a过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,〃)(〃>0),如果平面a

与平面xQy的夹角为45。，则。=_号__.

［解析］平面xOy的一个法向量为〃=(0,0』)，设平面a的一个法向量为m=(x,y,z),

—3x+4y=0,/7a(aaA

则JcI1c即3x=4y=az,取z=l,则x=］,y=T,7,11.

—3x十az=0,。，

1'历

由题意得|cos〈〃，m)|=-/22==o-

12

又因为a>0,所以a=/~.

8.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B,线段AC、80分别在这个二面角的

两个面内，并且都垂直于棱A3,.48=4cm,AC=6cm,BD=Scm,CD=2y［\lcm,则这

个二面角的度数为60。一.

［解析］设〈庆，BD>=仇•.•C4_LAB,AB工BD,

：.ACAB=BDAB=Ot<G4,BD)=180。一仇

.'I丽2=(Q+施+丽)2

=|己|2+1赢F+1丽|2+2|G4||3b|cos(I8O0-6>).

・二(2师)2=62+4?+82+2X6X8X(—cos①，

cos^=2*

因此，所求二面角的度数为60。.

三、解答题

9.(2020.衡阳市高三联考)如图1,平面四边形区4OE中，。为上一点，△川?。和4

QCE均为等边三角形，EC=2CB=2,M,N分别是EC和。的中点，将四边形84。七沿

BE向上翻折至四边形BA'D'E的位置，使二面角-BE-。为直二面角，如图2所示.

(1)求证4'A〃平面O'MDx

⑵求平面A'A8与平面O'。七所成角的正弦值.

［解析I(1)在等边△£>'CE和△OCE中，D'MICE,DMLCE,D'MQDM=M,

所以直线CE_L平面O'MD,即直线BE_L平面D'MD,同理可证直线BE_L平面A'NA,

故平面O'M£>〃平面A'NA.

又4'AU平面A'NA,从而有A'A〃平面O'MD.

(2)如图，以M为坐标原点，M/),ME,MD'所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系M一孙z,易知M(0,0,0),E(0,l,0),D他,0,0),D'(0,0,®5(0,-2,0),A(田,

—I，0),A'(0,—I，坐).

则而=(o,函=(坐，*o)，

设平面A'AB的一个法向量为帆=(x,y,z),

m-BA'=0小z=0_

由<得〈/-，令z=l,得x=l,y=一小,所以平面A'48的一

院函=。［小叶尸。

个法向量为m=(l,-<3,1).

/i-ED=0

同理，设平面O'OE的一个法向量为〃=(xi,yi,zi),由<

n-ED'=0

得产一)，产。，

〔一?+小zi=0

令zi=l,得xi=l,yi=/,

所以平面。'DE的一个法向量为〃=(1,小，1).

从而|cos(/n,/i)l=S=|4|=i

故平面4,48与平面》OE所成角的正弦值为

11-(一g坐.

10.(2020.全国III卷理，19)如图，在长方体A88一4四。］£)|中，点E,产分别在棱。。,

BBi上，且2DE=EDi，BF=2FB.

（1）证明：点G在平面AE尸内；

（2）若A8=2,4。=1,A4i=3,求二面角A—E尸一4的正弦值.

［解析］设AB=a,AD=btAAi=c,如图，以G为坐标原点，3•万的方向为x轴正方

向，建立空间直角坐标系Gxyz.

全=（0,b,得证=

因此E4〃GF,即A,EtF,G四点共面,

所以点G在平面AE尸内.

(2)由已知得4(2,1,3),£(2,0,2),尸(0,1,1),4(2,1,0),AE=(0,-1,-1),寿=(一2,0,

-2),Ai£=(0,-1,2),A|F=(-2,0,l).

设〃i=(x,y,z）为平面4EF的法向量，则

ni-AE=0,—y—z=0,

即

-2x-2z=U,

ii\AF=0,

可取加=（—1,—1,1）.

设"2为平面AEF的法向量，则

〃2不而=0,（\\

,同理可取〃2=5，2,1）.

因为cos（加，於〉=瑞=一坐

所以二面角A—EF-A｝的正弦值为当

B组•素养提升

一、选择题

1.（2021•福建泉州市普通高口质量检测）正方体ABC。一4囱中，动点M在线段

AC上，E,尸分别为。。1，A。的中点.若异面直线E尸与所成的角为仇则。的取值

范围为（A）

nn

A.[M]B.,4,3.

nn

D.4f2

[解析1以£＞点为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系.设DA=2,易得际=(1,0,-1),^CM=ACAi=(2^,-22,2Z)(0W/tWl),BM=(2A

-2,-2A,2Z),则cos0=|cos〈8M,EF}|,

21

即cos0=

巾N(22—2)2+8产啦，3矣一22+1

=/]‘(04W1),

^V3(A-3)2+3

当时，cos。取到最大值笔当2=1时，cos。取到最小值看

三石

所以。的取值范围为_&3_,故选A.

2.如图，已知四棱锥P—ABC。的底面ABC。是等腰梯形，AB//CD,且4C_L8D,AC

与3。交于O,PO_L底面ABCO,PO=2,AB=2®E,尸分别是AB,AP的中点.则平面

FOE与平面OEA夹角的余弦值为(B)

亚

卓

-3

亚

AC.B.亚

D.

-33

I解析I由题意，以。为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分另!为工轴，)，轴，Z轴建

AdE=(l,-1,0),OF=(0,-1,1),设平面OEF的法向量为加=(x,y,z),

m-OE=O[x—v=0,

则彳t即|।八令x=l,可得

除d=o,—y+z=o，

易知平面OAE的一个法向量为〃=(0,0,1),

则cos(/»,n)=j^j裾=去=坐，设平面FOE与平面OEA夹角为仇则cosJ=|cos

3.正方体ABCO—ASG。中，二面角4一8。一叫的大小为(C)

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—犷，设正方体的棱长为〃，则A(a,

〃,0).即7,0,0),01(0.a,〃)，

.•.函=(0,6(,0),诟1=(一4,a,4),丽=(0,0,4,

设平面A8A的法向量为〃=(x,y,z),

则〃BA=(x,ytz)(0,a,0)=ay=0f

n-BD\=(x,y,z)-(—a,a,a)=-ar+ay+az=0,

•.ZWO,/.j=0,x=zt

令z=l,则〃=(1,0,1),

同理平面SB。的法向量加=(—1,—1,0),

/、〃•m1

8s〈…〉=丽=一》

而二面角A-5G—8]为钝角，故为120。.

4.(多选题)如图，多面体OABDC中，AB=CD=2,AO=BC=2小，AC=BD=y［i(),

B.球面经过点4,B,C,力四点的球的直径是灰

C.直线OB〃平面48

D.二面角4一。。一。等于30。

［解析］由题意，构造长方体，如图，设OA=x,OB=y,OC=zt

则£+，2=4,N+z2=10,)2+Z2=12,

解得x=l,y=y[^,z=3,

对于A,三棱锥。一A8C的体积为:。CX：Q4XO8=坐，故A正确；

对于B,球面经过点4,8,C,D四点的球的直径即为长方体的体对角线长，即为

112+32+(#)2=回,故B正确；

对于C,由于O8〃AE,4E和平面ACD相交，则OB和平面4co相交，故C错误；

对于D,因为月O_LOC,DCrOC,所以异面直线CO与OA所成的角大小为二面角A

一0。一。的二面角大小，连接OE,则NAOE即为所求，tanNAOE=AS=巾，所以NAOE

Cz/i

=60。，故D错误.

二、填空题

5.已知在长方体A8CO-4向GOi中，AB=\,BC=2,AA}=4,E是侧棱CCi的中点，

则直线AE与平面AiED所成角的正弦值为玛_.

［解析］在长方体A3CD—A归Ci。】中，A8=l,BC=2,A4=4,E是侧棱CG的中

点，以。为原点，分别以DA,DC,。。所在直线,为x,y,z轴建立空间直角坐标系，4(2,

0,0),£(0』,2),A)(2,0,4),0(00,0),EA=(2,-1,-2),ZMi=(2,0,4),无=(0,1,2),设平

面4EQ的法向量为〃=(x,y,z),则〃QAi=2r+4z=0,iiDE=y^-2z=0,取z=l,得〃

=(-2,-2,1),

设直线4E与平面所成角为仇则

sin6=cos(EA,n)=II=

4

...直线AE与平面4闻所成角的正弦值为泰

6.如图，四面体ABCO中，E,尸分别为AB,0c上的点，且AE=BE,CF=2DF,

设游=a,DB=b,DC=c.

(1)以{。，b,c}为基底表示FE,则成=_-5+/+,〃；

⑵若NAOB=N5OC=NAOC=60。，且15Al=4,|丽=3,|丽=3,则|两=_挛

［解析］(1)如图所示，连接OE.

因为匠=历+函FD=-DF=-{DC,及:*亦+南,

所以产£=—予:+呼+16.

2

(2)阳2=&+%一92=%+扣+&+%•)—%.c—Jc=(X42+；X32+/X3+1

X4X3x1-|x4X3x1-|x3X3x1=y.

所以曲=邛^.

7.在正方体ABCO-ASGDi中，则4B与平面4BCD所成角的大小为30。.

［解析］解法一:连接8G,设与8C交于。点，连接40.

'：BCxIRiC,4阳IRCx.4］%n4C=%.：.RCxI平面

・・・A山在平面AiBiCD内的射影为AiO.AZOAiB就是48与平面A^CD所成的角，

设正方体的棱长为1.

在RtZXAiOB中，45=近，80=当，

巫

8021

..sinNOAiB—斗支=^^=5,***/。48=30。.

即48与平面481co所成的角为30°.

解法二：以。为原点，OA、DC、0d分别x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，设正方体的棱长为1,则4(1,0,1)、C(0,l,0).

・,・晶=(1,0,1)、DC=(0,1,0).

设平面48iCZ)的一个法向量为〃=(x,y,z),

nDA\=0x+z=0

则.令Z=—1得x=l.

iiDC=0尸0

，〃=(l,0,-1),又8(1,1,0),A/M=(0J,-1),

cos〈〃，A\B)二4田〃=I仁=；.

2

.“I©巾

:.<n,/hB)=60°,・・・AiB与平面4BC£>所成的角为30。.

三、解答题

8.如图，四棱柱ABCO—的所有棱长都相等，4。08。=0,AGG8Qi=0”

四边形ACCiAi和四边形B。。山］均为矩形.

(1)证明：OiO_L底面48c。；

(2)若NCB4=60。，求平面CQBi与平面08Q夹角的余弦值.

［解析］(1)证明：因为四边形ACG4和四边形8OQ］以均为矩形，所以CG_L4C,DD1

1BD,

又CG〃。/)i〃00i,所以O5_LAC,OOxLBD.

因为40080=0,所以0］0_L底面ABCQ.

(2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形力BCD为菱形，ACA.BD.又0］0_L

底面A8CO,所以OB,0C,001两两垂直.如图，以。为原点，OB,OC,00i所在直线

分别为小y,z轴，建立空间直隹坐标系.

亿

设棱长为2,因为NCB4=60。，所以08=#，OC=\,

所以0(0,0,0),Bl(小，0,2),C1(O,1,2),

平面BDDIi的一个法向量为n=(0,1,0),

设平面OGBi的法向量为，〃=(x,ytz),

小x+2z=0,

则由相_L6瓦，mlOCi,所以

y+2z=0,

取z=一小，则x=2,j=2^3,

所以帆=(2,R5,f),

行/、.।||2s2后

所以|cos<m,n>J9・

设平面GOB1与平面OBiD夹角为0,

则cosO=|cos<m,n)

所以平面C\OB与平面OB】D夹角的余弦值为需.

9.如图，在四棱锥产一AB。中，B4_L平面ABCO,AD//BC,AO_LCO,且AO=C。

二巾,BC=2yj2,PA=2.

(1)取PC的中点N,求证：ON〃平面以&

(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；

(3)在线段PZ)上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面4c。的夹角为45。？如果存

在，求出与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.

I解析I(1)证明：取BC的中点E.连接OE.交AC于点

O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系，则40,-1,0),B(2,-1,0),C(0,l,0),

D(-1,0,0),P(0,-1,2).

•・•点N为PC的中点，•••MOOD，，痂=(1,0,1).

设平面附5的一个法向量由〃=(x,y,z),

由崩=(0,0,2),牯=(2,0,0),

可得〃=(0,1,0),：,DNn=0.

又・.・£)NQ平面力以二.ON〃平面曲反

⑵解：由⑴知战=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).

设直线AC与P。所成的角为仇

2班

则8so=反诉=大

直线AC与PD所成角的余弦值为兴

(3)解:存在.

设M(x,)，，z),且丽=而,0<2<1,

x=-2,

.*/1=A,A/(—A,A—1,2—2A).

.z-2=-2A,

设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z),

由元=(0,2,0),Qf=(一九2,2-22),可得利=(2—射，0,2),

由图知平面4CO的一个法向量为〃=(0,0,1),

..,、।_____________旦

..cos〈机，n)=­；,==~V>

1心+(2-纱22

2

解得2=§或2=2(舍去).

设BM与平面M4C所成的角为中,

12

则sin3=|cos(BM,m)|=~2^2=2'••9=30°.

3X2汩

故存在点M,使得平面MAC与平面ACO的夹角为45。，此时8例与平面MAC所成的

角为30°.

第二章2.12.1.1

课堂检测」同双基

1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(D)

A.(4,2)与(一4,1)B.(0,3)与(3,0)

C.(3,一1)与(2,-1)D.(一2,2)与(一2,5)

［解析］D项，因为即=及=一2,所以直线垂直于x轴，倾斜角为90。，斜率不存在.

2.若经过A(见3),8(1,2)两点的直线的倾斜角为45。，则加等于1A)

A.2B.I

C.-1D.-2

［解析1由题意知，ian45°=;^,得加=2.

1—m

3.己知直线/向上方向与y轴正向所成的角为30。,则直线/的倾斜角为一为。或120。一.

I解析］有两种情况：①如图1,直线/向上方向与工轴正向所成的角为60。，即直线/

的倾斜角为60。.

②如图2,直线/向上方向与x轴正向所成的角为120。，即直线1的倾斜角为120。.

4.若A（2,3）,仇3,2）,心，三点共线，则实数〃?的值为

f解析］设直线AB,8C的斜率分别为心小kac,则由斜率公式，得心"=汽=一1,

2—3

m-22

kBc=%-----=—7（w—2）.

2-3

*•A,B,C三点共线，:・kAB=kBC,

2Q

即一1=-解得

5.经过A（肛3）,8（1,2）两点的直线的倾斜角。的取值范围是一0。<〃忘90。_.（其中心1）

3,~2

［解析］当帆=1时，倾斜角a=90。；当机>1时，tana="7［>°，.*.0o<a<90o.故

00<a«90°.

第二章2.12.1.1

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

C.®@D.②④

［解析I®®中直线的倾斜角为a,故选C.

2.（2020•烟台高一检测）若直线的倾斜角为60。，则直线的斜率为（A）

A.3B.一小

C,坐D.一手

［解析］直线的斜率后=tan60o=巾.故选A.

3.若过两点A（4,y）、BQ,一3）的直线的倾斜角为45。，则y等于（C）

A-@B近

・2o•2

C.-1D.1

［解析］•・•直线的倾斜角为45。，

，直线的斜率2=团145。=1,・•・/=1，，y=-L

Z—4

4.直线/的倾斜角是斜率为坐的直线的倾斜角的2倍，则/的斜率为(B)

A.1B.小

C.孚D.一小

［解析］:tana=坐,0°<a<180°,，a=30°,

A2a=60°,••・k=tan2a=巾.故选B.

二、填空题

5.