高中数学讲义：导数的概念及其意义

高中数学讲义：导数的概念及其意义

目录

1.单元内容及其解析...........................................................1

2.单元目标及其解析...........................................................2

3.单元教学问题诊断分析.......................................................2

4.单元教学支持条件分析.......................................................3

5.导数的概念及其意义.........................................................3

6.第4课时教学设计...........................................................5

6.1.课程基本信息............................................................5

6.2.内容与内容解析..........................................................5

6.3.目标与目标解析..........................................................6

6.4.教学问题诊断分析........................................................6

6.5.教学支持条件分析........................................................6

6.6.教学过程设计............................................................7

7.教学板书设计................................................................11

5.1.2导数的几何意义............................................................11

电子白屏........................................................................11

（播放课件）....................................................................11

例题讲解........................................................................11

8.课后反思：..................................................................11

1.单元内容及其解析

1.内容

变化率的典型实例，导数的概念，导数的几何意义.

2•内容解析

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，导数定量地刻画了函数的局部

变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法，也是解决增长率、膨胀

率，效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.

在大多数大学数学教科书所呈现的微积分知识体系中，都是先介绍极限概念，再介绍导

数楼念，但现在的高中数学教科书在给出导数概念之前并没有介绍极限概念及其运算，因

此就不能用极限理论建立导数概念，导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率

的极限.教科书选取高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率这两个典型的变化率问题.

通过这些特殊案例.使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度、由割线斜率过渡到切线斜率的

过程，以直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念.

极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具.由于导数是一种特殊的极限，其中

自然蕴含着极限思想，所以导数的学习对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着

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重要的作用.从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数概念，蕴

含了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法，导数的几何意义表明，函数在某点处的导

数是函数的图象在相应点处切线的斜率，这对于帮助学生理解导数的意义，提升学生的

数形结合能力，发展直观想象素养，有着重要的作用.

基于以上分析，确定本单元的教学重点:导数的概念及其几何意义、极限思想

本单元数学需4课时，具体分配如下:第1课时，高台跳水运动员的速度;第2课时,

抛物线的切线的斜率;第3课时，导数的概念;第4课时，导数的几何意义、导数的概念及其

几何意义的综合应用.

2.单元目标及其解析

1.目标

(1)通例，经历均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解导数的概念.

(2)通过数图象直观理解导数的几何意义.

(3)通过经历导数概念的抽象概括过程，体会极限思想.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)结合"高台跳水运动员的速度”问题，学生能借助计算工具计算运动员的平均速度，并通

过观察平均速度在自变量问隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度;结合"抛物线的

切线的斜率”问题，观察从割线过渡到切线的过程中，割线斜率在两交点的横坐标间隔不断

变小的过程中的变化趋势，得出切线的斜半，从而了解导数概念的实际背景，知道导数是

关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.

(2)通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的儿

何意义，能通过求函数在某点处的导数得出函数的图象在对应点处的切线斜率，进而求出

切线的方程.

(3)结合"高台跳水运动员的速度"和"抛物线的切线的斜率”问题，能从平均速度的数值变化

和图象过某点处的割线斜率的变化趋势直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是

割线斜率的极限，能结合导数的概念和几何意义知道函数在某指定点处的导数是一个确定

的数，是一个特殊的极限，对于简单的函数，能通过计算平均变化率的极限得出导数.

3.单元教学问题诊断分析

由于学生在学习导数之前没有学习极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限

思想的过程，因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的

斜率，并由此体会极限思想，这是第一个教学难点，要突破这个难点，需要在“高台跳水

运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”这两个案例中，让学生充分经历由“平均变化

率”过渡到“瞬时变化率”的过程，通过观察平均速度的数值变化和图象过某点处的割线

的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线的极限位置就是切线，割

线斜率的极限就是切线斜率，在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义是建立导数

念的关

“学生到高中阶段已经有了一定的归纳能力，但在归纳的基础上抽象出数学概念的能力

仍有所欠缺，因此，如何从瞬时速度、切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第

二个教学难点，要解决这个问题，需要先从学习过的具体案例中提炼出平均变化率的概念，

并用符号形式化地表示出来，在此基础上，观察随着自变量的改变量趋于0,平均变化率

的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.

导数概念的建立过程涉及大量的概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，

是第三个教学难点，教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念

与符号，还要能准确运用相关概念与符号.

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4.单元教学支持条件分析

学生之前没有学过极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限

符号，这些都增加了学生抽象概括出导数概念的难度，因此，教学中要借助信息技术工具，

使学生通过列表观察平均变化率的变化趋势，通过图象直观观察割线变化到切线的过程，

感受“逼近”过程，以此降低学生对导数就是极限的认知难度

5.导数的概念及其意义

导数是微积分的一个基本概念，是用来描述函数局部变化率的度量。对于

给定的函数，它在某一点处的导数，就是函数曲线在该点处的切线斜率。

具体地说，若函数y=f(x)在点xO处可导，则点(xO,f(xO))处切线的斜率就是

f(x)在点xO处的导数F(xO)。导数本质上是一个极限，即函数在某个点xO处的

导数，就是其在此点附近取极限时的极限值，即:

F(xO)=lim(x->xO)[f(x)-f(xO)]/[x-xO]

O导数的概念

导数的意义非常广泛，下面列出其中的几个:

1.函数的增减性：如果导数在某个点X处为正，说明函数在这个点的左边

是上升的，右边是下降的；反之，如果导数在某个点X处为负，说明函数在这

个点的左边是下降的，右边是上升的。如果导数在某个点X处为零，说明函数

在这个点处达到了极值，可能是极大值或极小值。

2.函数的凸凹性：如果导数在某个点x处单调递增，则说明函数在这个点

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处是凸向上的；反之，导数在某个点X处单调递减，则说明函数在此点处是凸

向下的。

3.极值问题：如果函数在某个点x的导数为零，说明此点处可能存在一个

极值(局部最大值或最小值)。因此，求函数的极值问题可以转化为求其导数

的零点问题。

函数在某个时间点xO处的导数F(xO)即是该物体在这个时刻的瞬时速度。物体

的加速度就是速度的导数，即f'(xO)o

5.切线，法线和曲率：在某个点xO处，函数曲线的切线斜率就是该点的导

数F(xO),法线斜率则是其相反数的倒数，即某一点处函数曲线的曲

率则是它的导数F'(xO)与切线斜率的比值。

6.泰勒展开：通过对函数在某个点的导数进行求解，我们可以对函数进行

泰勒展开，从而获得关于该点附近的各个点的函数值的近似值。这是在数值计

算和科学计算中非常常用的技巧。

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基本初等函数的导数公式

1.若〃x)=c(c为常数)，贝「(")=0;

2.苟'(X)=x'XnGQ),贝叶(％)=nx"'

3.若f(x)=sinx,JJlJf(x)=cosx；

4.^f(x)=cosx,5!*]/(x)=-sinx；

5.若f(x)=〃x,则/(x)=a"In。；

6.苟(x)=e=贝始(x)=ev；

7.隐函数求导：有些函数不是显式地表示为y=f(x)的形式，而是通过方程

式来定义的，例如/2+h2=1。在这种情况下，我们可以通过隐函数求导的

方法来求得函数的导数。

总之，导数是微积分学中的一个重要概念，它的应用涉及到几乎所有数学

学科和实际问题，是学习高等数学和物理的必备内容。

6.第4课时教学设计

6.L课程基本信息

学科高中数学年级高二学期春季

课题5.1.2导数的概念及其几何意义(第2课时)

教科书书名：数学选择性必修第二册教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月

6.2.内容与内容解析

1.课时内容

导数的几何意义、导数的概念及其几何意义的综合应用.

2.内容解析

微积分学是人类思维的伟大成果之一，为研究变量和函数提供了重要的方法.导数是微

积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用.导数的几何意义作为导数的概念

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的下位知识课，是学生掌握了上位知识一一平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础

上进一步从''形"的角度理解导数的含义与价值，体会逼近、以直代曲和数形结合的数学思

想方法.同时，本节的学习也为下位知识一一导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚

实的基础.

3.核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算.

基于以上分析，本课时的教学重点：对导数的几何意义的探究，及其在数学、实际问题

中的应用.

6.3.目标与目标解析

1.教学目标

(1)通过函数图象直观理解导数的几何意义；

(2)通过经历导数几何意义的抽象概括过程，体会数形结合、以直代曲、极限思想；

(3)会应用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程.

2.目标解析

达成上述目标的标志：

(1)通过研究从曲线的割线过渡到切线，从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数

的几何意义；

(2)利用信息技术演示的动态变化效果，体会数形结合、以直代曲、极限思想；

(3)给定一个具体函数上某个已知点P(x°，yo)，会应用导数的概念得到/'Go)，进一

步用导数的几何意义得到该点处的切线方程.

6.4.教学问题诊断分析

(-)已经具备的基础

从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的

过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思

想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识.

从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研

究问题的能力.经过高中近两年的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结

的学习模式.

(二)可能存在的困难

首先学生对切线认识存在一定的思维定势一一“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的

切线”，其次学生对导数几何意义的认知即找到数与形之间的联系存在一定的困难.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：用运动变化、极限的观点理解导数的几何意义.

在教学中借助信息技术工具，组织、引导学生通过图象直观观察割线变化到切线的过程，感

受“逼近”过程，以此降低学生对导数几何意义的认知难度，从而突破本节课的教学难点.

6.5.教学支持条件分析

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为突破本节课的教学难点，在教学中借助信息技术工具，使学生通过图象直观观察割线

变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对导数几何意义的认知难度.

1、教法分析："启发探究式”教学法，教学中遵循教师主导、学生主体、探究主线，教

师更多的是启发引导学生的思维.

2、学法指导：（1）自主学习（2）合作学习（3）探究学习

3.教学媒体：PPT.GeoGebra

6.6.教学过程设计

复习：导数的概念

活动1：形成一般曲线的切线定义

活动2：探究导数几何意义的应用

例1：巩固导数的几何意义，生成以直代曲的思想；（活动

3）例2：加深导数几何意义的理解.（活动4）

从知识、方法、思想三个方面进行总结，一图二义三思想

检测教学目标（1）、（2）、（3）的达成情况

A组感受理解8组思考运用

（环节一）情境引入

问题1：求函数y=f（x）在x=%。处导数/'（xo）分哪儿步？

第一步：求增量Ay

第二步：求平均变化率包=+入）一，（/）；

AxAx

第三步：求瞬时变化率尸（%）=㈣/缶.

前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”的角度来

解读导数，即导数的几何意义.

【设计意图】：由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题.

（环节二）探索建构

1.切线的定义

问题2：平均变化率”="X。+―）二f（X。）的几何意义是什么？

AxAx

【学情预设】：平均变化率表示的是割线p°p的斜率.

师：这就是平均变化率（电）的几何意义

..........Ax...........

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【设计意图】：以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手，探索导数的

几何意义，抓住Arf0的联系，在图形上从割线入手来研究问题.

♦多媒体演示【动画1】：

学生自己拖动点P(&+Ax,/(x0+Ax))沿着曲线/(x)趋近于点Po(xo，f(&))时，割线P°P的

变化趋势图.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

【学情预设】：学生观察【动画1】，类比得出一般曲线的切线

切线定义：在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点

Po(xoj(x。))时，割线P°P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线

y=f(x)在点R)处的切线.

【设计意图】：让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线

的发生、发展过程，上升理性思维，形成切线定义，体会“逼近”思想.

问题3：初中时，我们怎样定义圆的切线？

追问1：圆的切线定义适合于任意曲线吗？

活动1：小组合作列举必修一中基本初等函数的图象，探究圆的切线定义是否适合以上函

数？

【学情预设】：(1)切线与曲线的相对位置(二次函数)：(2)切线与曲线公共点的个

数(三次函数，正弦函数).二.

追问2：今天对切线的定义符合初中圆的切线定义吗？

多媒体演示【动画2】：圆上点P。处的切线P°T和割线4P，

演示点P从右边沿着圆逼近点卅,然后再从左边沿着圆逼近点P。，即&f(),割线P°P的

变化趋势.

【学情预设】：先感知后发现，当△龙-0,随着点P沿着圆逼近点P。，割线P°P无限趋

近于点Po处的切线.

【设台意图】：带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感

知当"f0,割线的变化趋势.

2.导数的几何意义

问题:4：曲线上两点卅@),'。),P(x()+Ax,/®+Ax)),Axf0,割线P0P-＞点P处的切

线，那么：Ax.0,割线的斜率f?与导数/'(4)又有何关系呢？

【学情预设】：生：k°=lim

Ax-tOfAxg)

.多媒体演示【动画1】：

三三.,n(1)结合动画中具体函数，由导数的定义求出/'(4)=0.8

(2)结合动画，由切线的定义观察平均变化率的极限即外处的切线的

斜率.k=0.8

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问题5：你能发现导数的几何意义吗？

【学情预设】：生：函数/（X）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率A，即:

人1而小。+公）一/禺）=八/）

导数的几何意义：k=lim/（X。+&）-"/）=/'（X。）

20Ar

活动2：小组讨论利用导数的几何意义能帮助我们解决哪些函数问题？以f（x）=M为例.

【学情预设】：（1）求瞬时变化率.（2）求曲线上某点处的切线方程.

【设计意图】：体会导数的几何意义，抓住求导数的点与切点的联系.

（环节三）应用拓展

3.了解以直代曲思想

例1（课本例5）：图5.1-7表示人体血管中的

药物浓度。=/（0（阜位；ing/mL）随时间f

（单位：min）变化的函数图像，根据图像，

估计1=0.2,0.4,0.6,0.8min时，血管中药物

浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，

就是药物浓度/⑺在此时刻的导数，从图像上

看，它表示曲线/«）在此点处的切线的斜率.

如图5.1-7,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时

刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作f=0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,

（1.0,0.48）则该切线的斜率：k=?048-0491=—1.4所以/z（0.8）«-l.4

1.0—0.7

活动3：小组合作利用网格估t=0.2,0.4,0.6min时，血管中药物浓度的瞬时变化率

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t0.8

0.20.40.6

药物浓度瞬时变化率/«）

0.40-0.71.4

【设计意图】：要求学生动脑（审题）、动手（画切线）、动口（说出如

何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数

形结合”、“以直代曲”的思想方法.

问题6：图中哪条直线最贴近点P。附近的曲线？

师：带领学生利用信息技术工具将P。附近的曲线不断放大，引导学生发现P。附近的曲线越

来越接近于直线，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线

与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线.

以直代曲：在点P。附近，曲线y=可以用点处的切线RT近似代替，这是微积分中重

要的思想方法

【设计意图】：通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼

真地再现“以直代曲”思想.

例2（课本例4）：图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化

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的函数h（t）=-492+4.8t+11的图象.根据图像，请描述、比较曲线11仕）在1=力出出附

近的变化情况.

%tl，t2附近的变化情况.

解：我们用曲线60）在务、6、q处的切线，刻画曲线力。）在上述三个时刻附近的变化情

况.

（1）当r=f0时，曲线〃«）在处的切线％平行于x轴，所以，在^=务附近曲线比较平

坦，几乎没有升降；

⑵当t=4时，曲线〃⑺在％处的切线4的斜率1储）＜0,所以，在if附近曲线下降，

即函数〃（x）=—4.9f+6.5x+10在，=%附近单调递减；

（3）当f=L时，曲线6。）在与处的切线4的斜率〃*2）＜0，所以，在r=f2附近曲线下

降，即函数/z（x）=—4.9/+6.5尤+10在/=今附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在内附近比在

弓附近下降的缓慢.

问题7:比较曲线h（t）在t=功/4附近的变化情况.

【设计意图】：要求学生动脑（审题）、动手（画切线）、动口（讨论），体会利用导数的几何意

义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用“以

直代曲”的思想方法.

导函数：内（X）的导函数/（加广/出&F

（环节四）归纳总结

数:

形:

【设计意图】：引导学生回顾本节课所学知识并从中体会数学思想与方法，帮助学生建构

知识体系。

（环节五）目标检测

1.已知函数f（x）的图像如图所示，/'（X）是/（X）的导函数，则下列结论正确的是（）

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A.o<r(i)<r⑶⑴B.0<r(3)<〃3)”i)<r⑴

C.0(尸(3)<6(1)<“3)；”1)D.0<"3)；〃l)<r⑴<r(3)

2.如图，函数y=/(x)的图象在点尸处的切线方程是y=-x+8,则lim“5+口一〃5)二