高考物理冲刺：知识讲解-电磁感应中的能量问题（提高）

物理总复习：电磁感应中的能量问题

编稿：李传安审稿：

【考纲要求】

理解安培力做功在电磁感应现象中能量转化方面所起的作用。

【考点梳理】

考点、电磁感应中的能量问题

要点诠释：

电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来的，具体问题

中会涉及多种形式能之间的转化，如机械能和电能的相互转化、内能和电能的相

互转化。分析时应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功就

可以知道有哪些形式的能量参与了相互转化如有摩擦力做功，必然有内能出现;

重力做功就可能有机械能参与转化;安培力做负功就是将其他形式的能转化为电

能，做正功就是将电能转化为其他形式的能，然后^用能量守恒列出方程求解。

电能求解的主要思路：

(1)利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的

功。

(2)利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能。

(3)利用电路特征求解：通过电路中所产生的电流来计算。

【典型例题】

类型一、根据能量守恒定律判断有关问题

例1、光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线,如图所示，抛物线的方程是y

=x2，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y二a的直线(图

中的虚线所示).一个小金属块从抛物线上y=b(b>a)处以速度v沿抛物线

下滑.假设抛物线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是()

A.mgbB.，加;V|V

C.mg（b-a）D.mg（b-a）+^mv2-*~~7|7~~

【思路点拨】小金属块在进出磁场的过程中，磁通量发生变化,

金属块内部产生感应电流，其机械能转化为电热，根据能量守恒定律分析初态的

机械能和末态的机械能，减少的机械能转化为内能。

【答案】D

【解析】小金属块在进出磁场的过程中，金属块内部产生感应电流，其机械能转

化为电热，在磁场内运动，没有感应电流，没有内能产生，不损失机械能，最终,

小金属块在光滑曲面上（y4。）往返运动，在y=a处，速度为零。初态的机械

能：rngb^mv2,末态的机械能：mga,由能量守恒定律,产生的焦耳热即减

少的机械能：Q=△七+,D选项正确。

【总结升华】始终抓住能量守恒定律解决问题，金属块（圆环等）在穿越磁场时

有感应电流产生，电能转化为内能，消耗了机械能，机械能减少，可以类比：在

磁场中运动相当于力学部分的光滑问题,不消耗机械能。

举一反三

【变式】如图所示，闭合线圈abed用绝缘硬杆悬于。点，虚线表示有界磁场B,

把线圈从

图示位置释放后使其摆动，不计其它阻力，线圈将（）

A彳主复摆动、、吟、、…

B很快停在竖直方向平衡而不再摆动乃［、

c.经过很长时间摆动后最后停下耳2

D线圈中产生的热量小于线圈机械能的减少量…一

【答案】B

【解析】当线圈进出磁场时，穿过线圈的磁通量发生变化，从而在线圈中产生感

应电流，机械能不断转化为电能，直至最终线圈不再摆动。根据能量守恒定律,

在这过程中,线圈中产生的热量等于机械能的减少量。

拓展：上述线圈所出现的现象叫做电磁阻尼。用能量转化和守恒定律解决此类问

题往往十分简便。磁电式电流表、电压表的指针偏转过程中也利用了电磁阻尼现

象，所以指针能很快静止下来。

类型二、"杆"+水平导轨（竖直导轨）问题

例2、如图,ef,gh为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为L=lm,

导轨左端连接一个R=2。的电阻，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直地放置

导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计，整个装置放在磁感应

强度为B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒施加一

水平向右的拉力F使棒从静止开始向右运动。（1：若施加的水平外力恒为F=8N,

则金属棒达到的稳定速度vi是多少？

（2）若施加的水平外力的功率恒为P=18W，则金:：f

属棒达到的稳定速度V2是多少?「：：U，

Uxxxxxxxx

（3）若施加的水平外力的功率恒为P=18W，则金gdh

属棒从开始运动到速度v3=2m/s的过程中电阻R产生的热量为8.6J，则该过程

所需的时间是多少？

【思路点拨】（1）做匀速运动的条件是水平外力等于安培力；（2）安培力的功

率根据公式尸=4求解；（3）根据能量守恒定律求解，外力的所做的功等于动

能的变化与产生的热量之和。

【答案】（1）vi=4m/s（2）v2=3m/s（3）0.5s

【解析】（1）由E=BLv、/=4和比知产二锂之

RR

金属棒达到匀速运动的速度%=芸=箸=4〃"s

DL，X1

F

由闭合电路欧姆定律，彳导人=3，E=BLv,解得v=lm/s

K总

(2)当R=3。时，R与R2的并联电阻值为为二咎7=2Q

设电流表满偏(=3A,则电压表的示数&=72/?；r.=6V<10V

故满偏电表为电流表，此时尸=即2乙，得尸=60N

(3)撤去外力时ab杆具有动能Z=］加，最后ab杆停下，具有的动能转化

为

内能。=&,由串联电路的功率分配有与二冬=》

所以储=*Q总=0.03J.

"总"总_

例3、如图所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L=0.5m,框的电阻

L11感应强度B=1T方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100g,

I_______：MN无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到

M\

近程中通过棒某一横截面的电量为2C,求此过程中回路产生的

J不计，g=10m/s2)

【思路点拨】在竖直导轨中能量守恒的关系一般是：重力势能转化为动能和电能

(内能、

"从释放最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量〃要用感应电动势平均值公

式，化简后得^=字,即电量等于磁通量的变化量除以总电阻。

【答案】3.2J

【解析】金属棒下落过程中所受安培力大小为F二BIL

其中通过金属棒的电流强度为，=4=绐

RR

金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最

大，

根据平衡条件得〃7g=F

在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E,

,12口

由能量守恒定律得nigll=-mv-+E

通过导体某一横截面的电量为q=lt"字=当，得叱警

RRR

加/左

由以，各式解得石=衅

2夕〃

【总结升华】在竖直导轨中能量守恒的关系一般是：重力势能转化为动能和电能

（内能）。熟练应用这一关系，是解题的关键。同时要注意电量的求法，是遨通

量的变化量除以总电阻。

举一反三

【变式】如图金属棒MN,在竖直放置的两根平行导轨上无摩擦地下滑，导轨间

串联一个电阻，磁感强度垂直于导轨平面，棒和导轨的电K

阻不计，MN下落过程中，电阻R上消耗的最大功率为P,

IXXX|

要使R消耗的电功率增大到4P,可采取的方法是（）"xJ

A、使MN的质量增大到原来的2倍；

B、使磁感强度B增大到原来的2倍；

C、使MN和导轨间距同时增大到原来的2倍；

D、使电阻R的阻值减到原来的一半.

【答案】A

类型三、"杆，，+倾斜导轨问题

例4、如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹

角为。，上

端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B。将质量为m的

导体棒由静止释放,当速度达到v时开始匀速运动,此时对导体棒施加一平行于

导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P,导体棒最终以2v的速度匀速运动。

导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g,

下列选项正确的是（）

A.P=2mgv3\v\6

B.P=3〃?gusin0

C.当导体棒速度达到］时加速度为ggsin，

D.在速度达到2v以后匀速运动的过程中,

R上产生的焦耳热等于拉力所做的功

【思路点拨】求"杆〃+倾斜导轨问题的能量问题的基本方法，仍然是受力分析、

运动分析，关键是安培力的大小和方向，安培力做的功转化为内能，再应用能量

守恒定律。

【答案】AC

【解析】由题意可知导体棒以V匀速运动时mgsin0=FA,

F力粒二B四厂也，此时

.RRB2E

当导体棒最终在拉力作用下达到2V时，F+mgsin^-F/=O,

D2

而乙'=------=2mgsin夕,则/二mgsin0,

R

又P=R2v=2mgusin。,A选项正噂，B选项错误；

,n

当导体棒速度达到:时，F41=一/=~^=-8sin0,

由牛顿第二定律〃吆sin。-%=〃⑼，a}=ysin^,C选项正确；

速度达到2v后电阻R上产生的热量等于克服安培力做的功,

此时尸+〃吆sin9-/Y=0,故该热量数值上大于外力F所作的功，D选项错误.

【总结升华】处理"杆"+倾斜导轨问题的能量问题时，首先进行受力分析，特

别要注意安培力的方向及大小的描写；其次是运动分析；第三,安培力做的功转

化为内能；第四，正确应用能量守恒定律。

举一反三

【变式】如图所示，平行金属导轨与水平面成e角,RI=R2=2R,匀强磁场垂直

穿过导轨平面，有一导体棒ab质量为m棒的电阻为2R,

棒与导轨之间的动摩擦因数为Mo导体棒ab沿导轨向上\B\

滑动，当上滑的速度为v时，定值电阻R2消耗的电功率

为P,下列说法正确的是（）KSr

A.整个装置因摩擦而产生的热功率为Z/^PCOS0

B.整个装置消耗的机械功率为4P+〃〃2gucosd

C.导体棒受到的安培力的大小为竺

v

D.导体棒受到的安培力的大小为竺

v

【答案】AC

【解析】棒ab上滑速度为v时,切割磁感线产生感应电动势后=用廿,棒电阻

为2R,

Ri=R2=2R,回路的总电阻R总=3R,

通过电阻Ri的电流与通过电阻R2的电流相等，

通过棒ab的电流等于通过电阻R2的电流的2倍，导体棒ab功率是电阻R2的

4倍，

即以=4P，总功率为6P,则有6P=4,所以导体棒受到的安培力的大小

「6P

F=—,

v

C对D错；杆与导轨的摩擦力f=cos。,

故摩擦消耗的热功率为Pf=fv=//w^vcos8,A对；

整个装置消耗的机械功率为摩擦消耗的热功率与三部分导体的热功率之和，

%=%+与=6P+，〃〃gucos夕，B错。故正确选项为AC。

类型四、〃杆〃+导轨+弹簧的问题

例5、如图所示,固定的水平金属导轨，间距为L,左端接有阻值为R的电

阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定

弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于

自然长度，导体棒具有水平向右的初速度％在沿导轨往复运动的过程中，导体棒

始终与导轨垂直并保持良好接触。

(1)求初始时刻导体棒受到的安培力；

(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep,在这一

过程中安培力所做的功Wi和电阻上产生的焦耳热Qi分别为多少？

(「『V：x冬将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的

过L赤乂就学"耳热Q为多少？

|xxXXX

X~XX_XX"

【思路点拨】(3)棒最终静止于初始位置,初态的动能全部转化为内能,可以

与力学部分的能量守恒定律、电场部分的能量守恒定律进行类比。

【答案】(1)八"兽水平向左(2)叱=弓〃就二加-玛

A22

(3)棒最终静止于初始位置。机片

【解析】导体棒以初速度+做切割磁感线运动而产生感应电动势，回路中的感应

电流使导体棒受到安培力的作用，安培力做功使系统机械能减少，最终将全部机

械能转化为电阻R上产生的焦耳热。由平衡条件知，棒最终静止时，弹簧的弹

力为零,即此时弹簧处于初始的原长状态。

(1)初始时刻棒中产生的感应电动势E=BL%①

棒中产生的感应电流/=4②

作用于棒上的安培力F=BIL③

D-72

联立①②③，得尸二竺出,安培力方向：水平向左

R

(2)由功和能的关系，安培力做功叱=成

电阻R上产生的焦耳热e,=1%-EP

(3)由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置。

根据能量守恒定律，电阻R上产生的焦耳热为。=

【总结升华】解题的关键仍然是运动分析和能量分析。（1）很常规,不会有什

么问题；（2）能量分析：初态只有动能，末态只有弹性势能，弹性势能必然小

于初态的动能，还有能量呢？克服安培力做功了，所以安培力做的功等于弹性势

能减去动能（为负数）0能量守恒定律是很有用的。

举一反三

【变式】两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L,底端接阻值为R的电阻。

将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，

导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示。除电阻R外其余

电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放.则（）

A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g।J।

B.金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a-b，,厚：\

C.金属棒的速度为V时.所受的安培力大小为尸=彳，XX.

Ra1--------------

D.电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少。

【答案】AC

类型五、矩形线圈穿越磁场问题

例6、如图所示,将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直

向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面

向里.其中a<b,线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，

线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场.整个运动过程

中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动，求：

段匀速进入磁场时的速度V2;

x^xXX

段刚离开磁场时的速度vi;

白。段通过磁场过程中产生的焦耳热Q.

【思路点拨】（1）理解”下落阶段匀速进入磁场〃的意思，受力平衡，受力分析，

列出平衡方程求解；（2）理解〃上升阶段刚离开磁场时”的意思，再进行运动分

析，离开磁场后上升到最大高度后再落回的速度已知了，应用动能定理即可求解；

（3）在线框向上刚进入磁场到刚出磁场的巨逞迪里能量守恒求解。

【答案】（1）岭=（哂评?口（2）V,J瓜*［广

c5niR-（m~g-f）/，、/

（3）Q=--------J〃?g+/）（〃+份

2Da

【解析】（1）重力竖直向下，阻力向上，安培力向上，

FA=BI。,!4=粤则安培力取=更用

KKK

线框下落到能匀速进入磁场则满足受力平衡

rDfcB2a2V（mg-f）R

mg=f+B/ci=f+--K=Fr-

（2）线框出磁场向上运动的初速度为匕，线框离开磁场能上升的最大高度为h,

则从刚离开磁场到刚落回磁场的过臂上1^熊定理：mgh+川=；〃出

mgh_fh=!mv；联立可得出匕=坐）：Lo

2B~a~

（3）已知线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，速度关系、

几何关系如图所示，在线框向上刚进入磁场到刚出磁场的过程中，由能量守恒

1,10

—=—〃叫+mg(b+。)+/(67+/7)+(2

八3,成2(，n2g2-f2).，、/

。=-----2."-------(mg+fXa+b)

【总结升华】（1）受力平衡问题，较简单。（2）运动分析:

对上升、下落两个过程分别应用动能定理，求出M，可见正确进行运动分析仍然

是解题的关键。（3）正确运用能量守恒定律也是解题的关键。此外还要正确分析

几何关系，画出线圈的位置，线圈上升的高度为g+。）。

举一反三

【高清课堂：电磁感应综合应用一例4】

【变式1］如图，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度V匀速进入磁场,第二

次以速度2v匀速进入滋场。则第一次和第二次：线圈中感应电流之比

为产••1y'厂:为________；回路中产生的焦耳热之比

为—J—I1;二工电量之比为——;

【答案】1:2;1:4;1:2;1:1.

【变式2】如图所示，质量为m,边长为L的正方形线框，在有界匀强磁场上方

h高处由静止自由下落，线框的总电阻为R,磁感应强度为B的匀强磁场宽度为

2L。线框下落过程中，ab边始终与磁场边界平行且处于水平方向他知ab边

ab—r

刚穿出.......y

XXXx|

磁场时线框恰好做匀速运动，求：?XXx广

(l)cd边刚进入磁场时线框的速度.

(2)线框穿尸磁场的过程中,产生的焦耳热。

【答案】(1)姆*2gL(2)mg(h+3L)4

【解析】(1)已知ab边刚穿出磁场时线框恰好做匀速运动,设速度为v,

安培力以=8〃，/=)=绐则安培力，=£»

R2RA

重力等于安培力FA=C*=mg,ab边刚穿出时速度V=鬻

RBL

取cd边刚进入磁场时为初态,速度为v0,ab边刚穿出时为末态,速度为v,线

圈下落的高度为L,线圈全部在磁场中，没有安培力，

2回2针户

根据动能定理〃次(2L-L)=：inv-；〃瑞,解得%=2&L

(2)线框穿过磁场的过程中,取线圈由静止下落时为初态，Cd边刚穿出磁场时

为末态,

线圈下落的高度为(h+3L),根据能量守恒定律加g(/?+3L)=Q

所以产生的焦耳热Q="电(〃+3L)-gmv2=mg(h+3L)-冬冬与。

228L

类型六、“双杆"+滑轨及电磁感应与动量能量的综合应用

例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度

B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导

轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨

上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Qo

在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力

F作尸十八0"二L空金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s,金属杆甲的加速度

为a：~|匚1寸两金属杆的速度各为多少？

【思路点拨】金属杆甲在恒定外力作用下，回路中产生感应电流，乙杆受到安培

力作用向右运动用杆受到安培力作用加速度减小根据牛顿第二定律写出方程,

显然要求感应电流即要求感应电动势，只能用法拉第电磁感应定律E=3丝公

式求，又要求面积的变化量。

【答案】1=8.15"〃sv7=1.85/??/5

【解析】设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为X,速度分别为V1和V2,

经过很短的时间仪,杆甲移动距离V~t,杆乙移动距离V2Z,回路面积改变

AS=[(x-V2A/)+V1A/]X/-=(VJ-V2)/A/

由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势5空

回路中的电流i，杆甲的运动方程尸=

由以上各式得尸一夕/二匕-匕)=〃也，代入数据得匕-2=6.3〃z/s。

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量。=。

时为0)

等于外力F的冲量Ft=，〃匕+"%。

代入数据解得V)=8.15机/sv2=1.85〃z/s

【总结升华】本题是两杆都做同方向上的加速运动问题。"双杆”中的一杆在外

力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速

度做匀加速直线运动。解析中再求回路的面积变