高考数学知识点复习指导文

《高考数学知识点总结》【文】

第一部分集合与简易逻辑...........................2

第二部分不等式的解法.............................3

第三部分函数...................................5

第四部分导数..................................13

第五部分三角函数................................15

第六部分数列....................................21

第七部分平面向量................................25

第八部分不等式性质..............................28

第九部分直线和圆................................29

第十部分圆锥曲线................................34

第十一部分立体几何...............................40

第十二部分复数....................................44

第十三部分概率与统计..............................45

第十四部分极坐标与参数方程.......................48

第一部分集合与简易逻辑

L数集的符号表示：自然数集N;正整数集N*;整数集Z;

有理数集Q、实数集R

2.0是任何集合的子集.条件为时不要遗忘了A=0的情

况

3.对于含有〃个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、

nnnn

非空子集、非空真子集的个数依次为2,2-lz2-1,2-2

4.理解集合的意义一抓住集合的代表元素。如:{x|y=f(x)}表示

y=f(x)的定义域>{y|y=f(x)}表示y=f(x)的值域•{(x,y)|y=f(x)}表

示y=f(x)的图像

5.A是B的子集AgboAUB=BQACB二A,

6•四种命题及其相互关系:若原命题是〃若p则q〃，则逆命题

为"若q则p〃；否命题为〃若则［q〃;逆否命题为〃若」

q则。互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件或结论是不

等关系或否定式的命题，一般利用等价关系"AnBoGnV判断其

真假

7.要注意区别“否命题”与〃命题的否定〃：否命题要对命题

的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；命题〃〃

或q"的否定是且r";"p且/'的否定是或r"

8、逻辑联结词：命题〃A4真假判断：两真才真•一假则假;

命题〃V"真假判断：两假才假，一真则真；命题即真假与P相反

9、⑴全称量词——〃所有的〃、〃任意一个〃等，用〃〃表

示；

全称命题「：xM’P(x);全称命题夕的否定;zxM,

P(x)。

⑵存在量词——〃存在一个〃、〃至少有一个〃等，用〃〃表

示；

特称命题「：xM,P(x);特称命题夕的否定「夕：xM,

P(x)；

10.充要条件:由A可推出B，A是B成立的充分条件；B是A

成立的必要条件。

从集合角度解释，若AqB，则A是B的充分条件；B是A的

必要条件；小充分大必要

第二部分不等式的解法

n.一元二次方程的基础知识：①求根公式：②根的判别式：

bc

=b2-4ac③根与系数关系:X1+X=X»2二一④根的分布：方

2aa

程ax2+bx+c=0有两正根的条件是:+N>0,升约>0；有两负根的

条件是：ANO,%]+々<。，工酰/有一正一负两根的条件是：>0,

X1X2<0；在（4,+8）上有两根的条件是:△之0,%对〉&J（Q>0、在（-8,后）上

有两根的条件是：△20,X对<"（左）>0、在（-8,幻和（匕+8）上各有一根

的条件是f（k）<0

12.一元二次不等式的解法：先将二次项系数化为正数，解出

对应方程的两根，根据不等号方向写出解集（大于取两边，小于取

中间）注意：二次项系数为字母或两根表达式含字母时要类讨论开

口方向及根的大小。

13.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系：二次方程

ax2+bx+c=0的两个根即为二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端

点值•也是二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标

14.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项

f（x）

使右边为0，再通分变成标准型—>0，再转化为整式不等式

f（x）g（x）>0求解，注意最高次项的系数要为正

15.绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：

|x|>6/<=>x<-c/jjJcr>a.

\x\<a-a<x<a］双绝对值不等式可用〃按零点分区间讨论〃

的方法来解

16.指数不等式、对数不等式的解法：先将不等式两边转化为

同底的指对数式•再利用单调性转化为整式不等式求解。注意对底

数的讨论，对数不等式还要注意真数要大于0

第三部分函数

17.函数定义：函数是定义在两个非空数集A•B上的一种特

殊对应关系，对于A中每一个数x，在B中都有唯一的数与之对应。

函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点

18.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函

数值的字母无关）；②定义域一致（两点必须同时具备）

19.定义域求法使函数解析式有意义（如:分母=0；偶次根式被开

方数非负;对数的真数〉0,底数且口;零指数黑的底数，0）;实际

问题有意义；若/⑴定义域为以此复合函数月g（刈定义域由

aKg(x)«b解出；若/[g(x)]定义域为[〃,句,则/(x)定义域相当于xe[a,b]

时g(x)的值域.

20.求函数值域(最值)的方法：

(1)二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给

区间的相对关系)，

(2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求

值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模

型,如y=2sin2%-3sinx-l'y=2x+l+>/^T(运用换兀法时,要特别要注

意新元f的范围)

(3)单调性法——利用一次函数­反比例函数，指数函数，

对数函数等函数的单调性，

(4)导数法：一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数，

①求导②解导数为0的根③计算极值和区间端点函数值④比较大

小，得出最值

21.求函数解析式的常用方法：

(1)代换法：已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。

可设g(x)=t,用t表示x,再代回原式即可

(2)转化法：若根据函数奇偶性求解析式，则设X£所求区

间，利用f(x)=f(-X)或f(x)=-f(-X)求解析式

(3)方程的思想——已知条件是含有了(幻及另外一个函数的

等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及

另外一个函数的方程组。通过解方程组得到f(x)解析式。如已知

/(X)+2/(-%)=3x-2,求/(%)的解析式

22.函数的单调性。

(1)定义：设函数片［%的定义域为I，如果对于定义域I内

的某个区间D内的任意两个自变量的，至，当Ai<A2时，都有

4应)<4为)(MM,则就说心)在区间D上是增函数(减函

数)；

(2)常见函数的单调性：y=kx+b(看k正负)f(x)=ax?+bx+c(—

看开口方向；二看对称轴)指对数函数(看底数a>l增；0<a<l

减)鬲函数y=x。在第一象限内。如果。>0，则鬲函数的图象过

原点，并且在［0，上为增函数•如果a<0，则鬲函数的图象

在(0，+8)上为减函数，图象无限接近x轴与y轴•其他象限看奇

偶性

(3)复合函数单调性法则：特点是同增异减，

(4)特别提醒：求单调区间时•一是勿忘定义域；二是在多

个单调区间之间一定不能添加符号〃〃和〃或〃；三是单调区间

应该用区间表示，不能用不等号表示•

(5)注意函数单调性的逆用：若心1)＜心)，则有"＜或(增

函数)或xl＞x2(减函数)

23.函数的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函数定义域必须关于原点对称！为此确定

函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否父于原点对称。

⑵若f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x);若f(x)是偶函数，则

/(x)=/(-x)=/(|x|)；定义域含零的奇函数必过原点(f(0)=0)；

(3)复合函数的奇偶性特点是：〃内偶则偶，内奇同外〃.

(4)若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断;

既奇又偶的函数有无数个(如定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的区间有相同1的单调性；偶函数在对称的区

间有相反的单调性；

24.函数的对称性：

①y二f(x)与y=f(-x)的图像父于y轴对称；y=f(x)与y=-f(x)的

图像关于X轴对称;

②若f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直

线x=a对称;

a+b

③若f(a+x)=f(b-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=—g一对

称；

25.函数的周期性:若f(T+x)=f(x),则f(x)是周期函数，T是它

的一个周期。

⑴若y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a)恒成立，则f(x)的周其明2间;

⑵若y=f(x)是偶函数，其图像又欠于直线x=a对称，则y=f(x)的

周期为21al;

⑶若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则y=f(x)的周

期为41al;

⑷若y=f(x)关于点(a,O),(b,O)对称，则y=f(x)的周期为2|a-b|;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)的周期

为2|a-b|;

1

(6)f(x+a)=-f(x)°Kf(x+a)=-则y=f(x)的周期为2|a|;

T(X)

26.指数式、对数式运算：

mi--m1

m

cr=yla，a：=；*logal=0*logaa=l;logex=lnx，b=

..zlogb

bogaNcn

logaNa=N*a=N*logab=0.•logaM=nlogaM;

M

loga(MN)=logaM+logaN;loga-=logaM-logaN.;

27.指数、对数值的大小比较:(1)化同底后利用函数的单调

性；(2)利用中间量(0或1);(3)化同指数(或同真数)后利

用图象比较。

28.指数函数y二a〉与对数函数y=logax(a>0,awl)

指数函数y=aX(a>0且a对数函数y=logaX(a>Oz

名称

awl)

定义

(-8,+OO)(0,+8)

域

值域(0,+8)(-8,+OO)

过定

(0•1)(1*0)

点

指数函数二与对数函数图象

yaxy=logax(a>Ozarl)

关于y二x对称

图象J

x

X^y=a(a>l)

y=a(O<a<l\yrl°gaxG>1)

一

尸1管(0<a<l)

a>L在(-8,+8)为增函

a>L在(0,+8)为增函数

单调数

在8)为

0<a<lz(0,+

性0<a<1,在(-8,+8)为

减函数

减函数

底数与图像位置父系：在第一象限指数函数是〃底大图高〃

对数函数是〃底大图低〃

29募函数

靠函数的定义:一般地，函数y=x0^做黑函数，其中x为自变

量，a是常数•

①y=x0在第一象限的图象,可分为如图中的三类：(在其他象

限的图像要根据函数的定义域和奇偶性作图)

(1)所有的帚函数在(0，+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)

(2)当a>0时，募函数的图象都通过原点,并且在［0，+8)

上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)•

特别地，当时，xe(0,l)，y=x°的图象都在y=x图象

的下方•形状向下凹，a越大，下凹的程度越大・

当0<a<l时，xw(0,l)，y=x。的图象都在y=x的图象上方，

形状向上凸，a越小，上凸的程度越大・

(3)当a<0时,器函数的图象在区间(0，+8)上是减函数,

30.函数的零点.

Q)零点概念:对于函数y=f(x)，把使f(x)=0成立的实数x叫

做函数y=f(x)的零点。

(2)函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=O实数

根•亦即函数y=f(x)的图象与工轴交点的横坐标。

(3)判断函数F(x)的零点个数，一般将F(x)=0拆成f(x)=

g(x),通过看两个函数y=f(x)和y=g(x)的图像交点个数判定

(4)二分法：对于在区间［a,b］上连续不断•且满足f(a)-f(b)<0

的函数y二f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二•

使区间函数值异号的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值

的方法叫做二分法

31.常见的图象变换

⑴平移变换：〃左加右减〃(注意是针对大而言)；〃上加下减〃

(注意是针对f(x)而言).

(2)翻折变换：________去掉附车型图象，，八.

I')v一八")保留y轴右边图象，解其关于)轴对称图象>>一/(1v'1h)

32,恒成立•能成立问题处理思想：方程k=f(x)有解。晚。(D

为f(X)的值域)；。”(幻恒成立o心"(切最大值,恒成立

。。工"(刈最小值.

a>fM能成立o42"(x)］最小值，a<fM能成立oa〈"(创最大值

第四部分导数

33.导数的运算

(1)常见函数的导数公式：c=o(。为常数)；

37)']qm(〃sQ).(qinx),=cCcOSX/l^COSx)j=-sinA,(axy=ax\na；(，)'=，；

2\[x

阳7

&:X2W

(2)导数的四则运算法则：(〃±uy=/±M；(uv)f=u,v+uvi

-LIV

V

34、导数的几何意义：函数/(x)在点/处的导数的几何意义，

就是曲线》=/(%)在点P(%o/(X0))处的切线的斜率，即曲线尸/(x)在

点p(%/0。))处的切线的斜率是r(/)，相应地切线的方程是

y-%=7'(%)(%—%)。

特别提醒：解这类题首先要弄清楚已知短是否为切点，如果不

是切点，应先设切点为(卬儿)然后写出切线方程：

)，-)，0=/'伉)(工-工0)再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点,

则直线求此点的导数得出直线的斜率。

35、导数与函数的单调性：(先求函数的定义域)

①求函数单调区间方法：解不等式/(幻>。,则为增函数；

若尸(x)<0,则/(x)为减函数；

②根据函数单调区间求参数问题：若函数y=f(x)在区间(a,b)

上单调递增,则外力NO恒成立；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单

调递减，则广(幻40恒成立

36、函数的极值：

求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(i)求导数f<x);

(ii)求方程(。)=0的根%；(iii)检查八龙)在方程((x)=o的根%的

左右的符号："左正右负"O/(戈)在/处取极大值；〃左负右正"

O/(处在X。处取极小值。特别提醒：见是极值点的充要条件是小点

两侧导数异号，而不仅是/，■)=0，=0是与为极值点的必要而

不充分条件。

37、求函数y二f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤:(1)

求函数y=f(x)在(4力)内的极值(极大值或极小值);(2)^y=f(x)

的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个

为最小值。

第五部分三角函数

38、任意角的三角函数的定义：设a是任意一个角，P(x,y)

是a的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r，则

sina=—,cosa=—'tana=—

rrx

39、三角函数值的符号：〃一全正二正弦，三正切四余弦〃

40.弧长公式：l=\a\R,扇形面积：S=IR=^\ct\R~,180°=TI

弧度

41.同角二角屋数的基本关系•式sin2a+cos2(7=1,tan<7=sintZ

cosa

(1)"正余弦和差积式sinxcosx、sinxcosx〃的关系.如

(sinxcosx)2=l2sinxcosx.

(2)已知正切值，关于正、余弦齐次式处理方法：sina-3cosa；

sina+cosa

sin2a+sinacosa+2

k

42.三角函数诱导公式(^n+a)的本质是：奇变偶不变(对k

而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把a看

成是锐角).牢记几个诱导公式：sin(;r-a)=sina,

43、正余弦函数性质

44、正弦函数)；=sinx(x£R)'余弦函数y=cos%(x£&的图像:

正弦函数图像余

弦函数图像

45、y=Asin(5+e)的函数性质：

1

（1）几个物理量：A一振幅;f二〒一频率（周期的倒数）；u）x+（p-

相位；中一初相；

（2）研究函数y=Asin（（x）x+（p）性质的方法：类比于研究y=sin

x的性质，只需将y=Asin（（jox+（p）中的3x+（p看成y=sinx中的工，

整体代换到正弦函数相应性质中，但在求y=Asin（3x+（p）的单调区

间时，要特别注意A和3的符号，通过诱导公式先将3化正。

（3）函数y=Asin（cox+（p）表达式的确定：A由最值确定；3

2TI

由周期确定T=—;（p由图象上的特殊点的相位值列方程确定（即

c兀371A\

（4幅数y=Asin（3x+cp）+k的图象与y=sinx图象间的父系:

①函数y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（（p>0）或向右

（（p<0）平移|（p|个单位得y=sin（x+（p）的图象；②函数y=sin（x+（p）

1

图象的纵坐标不变横坐标变为原来的一倍彳导至U函数y=sin（ujx+（p）

UU

的图象；③函数y=sin（cox+（p）图象的横坐标不变，纵坐标变为原

来的A倍得到函数y=Asin（cox+（p）的图象;④函数y=Asin（cox+q））

图象的横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0），得到

y二Asin（3x+（p）+k的图象。

特别注意•若由y=sincox得至Uy二sin（ujx+（p）的图象，则向左

和性质:

（2）周期性：是周期函数且周期是乃，

k

（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是（/n，0），特

别提醒：正切型函数的对称中心有两类：一类是图象与X轴的交点，

另一类是渐近线与X轴的交点，但无对称轴，。

（4）单调性：正切函数在开区间（kn--，kn+-）内都是增

函数。但在整个定义域上不具有单调性。

47、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；sin(a-p)=sinacos[3-

cosasinp

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；cos(a-0)=COSQCOS0+

sinasinp

48.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：

(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变

换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如

a=(a+0)-0=(a-。)+0'a=+，

(2)三角函数名互化(切割化弦)，

(3)公式变形使月lana±tan/?=tan(cif±/?)(ltancrtan/?)°

.,1-cos2a-^1

(4)三角函数次数的降升(降器公式：，sin-a=-----------

22

升募公式:1+cos2a=2cos2a'1-cos2«=2sin2«)°

⑸正余弦值互求时一定要注意角的范围决定开方结果的正负

49、辅助角公式・asinx+bcosx=\la2+/72sin(.r+6?)

常见变形：sin.r±V3cosx=2sin(x±f)；^sinx±cosx=2sin(x±|)

sinx±cosx=V2sin(x±-j)

50.三角形中的有关公式：

+

(1)内角和定理，A+B=^-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos—

22

(2)正弦定理：」_=_A_=q=2R.

sinAsinBsinC

⑶示弦定理：》+3ccos4cos4=

(4)面积公式：S=-^ah(l=^abs'\nC=^r(a+b+c)(其中一为二角形内切

圆半径).

51・三角困数的值域的求法：

(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型，利用卜皿乂期cosRwi).

即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。

(2)y=asinx+bcosx型，引入辅助角0，化为y=1"、及sin

(X+o)，利用函数卜in(x+0)W1即可求解°

(3)y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c)，型，可

令t=sinx(t=cosx),-lwtwL化归为闭区间上二次函数的最值问

题。

(4)丫=汕*(或广丝丝丑)型，解出sinx(或cosx),

csinx+dcosx+d

利用卜inR〈l(或|cosR«l)去解；或用分离常数的方法去解决。

(5)y=〃sinx+。型，可化归为sin(x+0)=g(y)。利用函

ccosx+d

数卜in(x+°]Ml即可求解

(6)对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用

的方法是令sinx+cosx=t|r|<V2sinxcosx转化为t的函数尖系

式，从而化为二次函数的最值问题。

(7)y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x4-n型问题，可先利用降鬲

公式转化为二倍角形式，再利用辅助角公式转化为尸sin(5+0)，

根据X的范围求解函+夕整体取值范围，在求解相应值域

52.三角不等式的解法：

sinx>azcosx>a型不等式♦应先画出正余弦函数在的图

像•根据取值要求找出对应角的范围，再加上周期2kn即可♦如果

角的区间不连续，则平移使之相连。

tanx>a问题要注意加周期kn

第六部分数列

53.S”与a〃关系应用：9=81++…+3"；•

(1)已知求，用作差法：见<铲y*>力°已知

q・jL•%=/(〃)求勺，用作商法：.。检验当时'

"一[云普’(心刀

若由适合S-9.1，则n=1的情况可并入n>2时的通项an;当

〃二1时，若心不适合S〃-S”i，则用分段函数的形式表示・

(2)由为与9的关系求为，通常用1代替n，两式作差将

用力替换，转化为力与力.1的关系，然后求解・

(3)由为与5；的父系求9.通常利用an=Sn-Sn.1(〃22)将已知

美系式转化为S,与5^-1的关系式，然后求解・

54.等差数列的有关概念：

(1)等差数列的判断方法：定义法%~=d(d为常数)或

%+1522)°

(2)等差数列的通项:%=q+(〃-l)d或a”=q〃+(〃-〃z)d。

(3)等差数歹I」的前〃项和：s“=M3，5〃=〃4+必曰。。.

(4)等差中项：若A〃成等差数列，则A叫做〃与匕的等差

中项，且％=竺^。

2

55,等差数列的性质：

(1)当m+n=p+q时，贝I」有+为=<+与*特别地，当

m+n=2p时，贝U有%+。〃=24.

⑵若｛当｝成等差数列，则S〃，邑“-5〃国「邑”，…也成等差数列

56.等比数列的有关概念：

(1)等比数列的通项:勺=%。或下=9尸。

(2)等比数列的前〃和：当q=l时，s“=㈣;当尸1时，

_q(lW)_4一〃/°

n-l_q[_q

(3)等比中项：若qA〃成等比数列，则A叫做〃与力的等比

中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等

比中项，且有两个±5/防。

57.等比数列的性质：

(1)当m+n=p+q时则有=%吗特别地，当m+n=2p

时*则有时卯“=4〃2.

(2)若｛为｝是等比数列，且公比，则数列5〃国「瓜-S2〃

也是等比数列。

(3)如果数列｛力｝既成等差数列又成等比数列，则数列以｝是非

零常数数列，故常数数列&｝仅是此数列既成等差数列又成等比数

列的必要非充分条件。

58.递推数列的通项求法：

(1)若仆,「〃”=/(〃)求d"用累加法4=（a”-a”T）+（a”T_4-2）+L+（%-《）+a\

(2)已知也=/⑺求an'用累乘法：〃=马_.绐

(3)已知的且an+1=Aan+B，则为+1+攵=/⑸+Q(其中攵可

由待定系数法确定)，转化为等比数列｛/+6・

(4)形如为+1=瓦士的数列，可通过两边同时取倒数方法构

造新数列求解•

59,数列求和的常用方法：

(1)分组求和法：等差数列与等比数列对应项相加而成的新

数列的求和问题

(2)错位相减法:一个等差数列与一个等比数列对应项相乘而成

的新数列的求和问题；如

基本步骤如下：乘上公比、错位书写；上下相减、末项为负；

中间求和、注意项数，右式整理、高次化低；去除系数、代2检验。

(3)裂项相消法解决通项公式是等差数列相邻两项乘积的倒数

的新数列的求和问题

常用裂项形式有：①1J__L；②—1—=1(1__L)；

〃(〃+1)nn+\〃(〃+2)knn+k

第七部分平面向量

60•向量的有关概念与表示

(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量技，〃也C

自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，

只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量・

(2)向量的模：向量的长度,记作：|师|

⑶向量的夹角：两个非零向量d，5，作而入，而=力，则AOB

称为向量3，5的夹角,

61、零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0

单位向量：模为1，方向任意的向量，与8共线的单位向量是：

±—(47^0)

\a\

相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量・

相反向量：长度相等，方向相反的向量・

向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与

任意向量共线；共线向量也称为平行向量-记作allb

62・向量的几何运算

(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则・

⑵减法：三角形法则・共起点；差向量方向指向被减向量

(3)数乘：记作：8•它的长度是：|3|二I|•|

aI它的方向：①当>0时，3与8同向②当<0时，

3与d反向③当二0时，a-0

(4)数量积：

①定义：&b-|a||b|cos〈a”〉・

②性质：设d，6是非零向量，则：

当。为锐角时，a>0,且d，Z?不同向，〃./?>()是。为锐角

的必要非充分条件；当。为钝角时<0，且d，6不反向，〃/<0

是。为钝角的必要非充分条件；

特殊地：aa=|a|?或心而；夹角:…。…9

63•向量的坐标运算

若在平面直角坐标系下,a=(Ai>J4),b-(A2，%)

(1)加法：3+6=(应+热+/)(2)减法：3-6=(用-至，

力一女)

(3)数乘：应%)(4)数量积：ab=

⑸若3=(x，勿，则卬=右子(6)cos＜。»ab=［人沁+型

,⑷⑸府系国港

⑺若/(应，，氏至，/)，则|布|=J(X「七尸十"一必尸

(8)d在。方向上的正射影的数量为

a,b

cos<a,b>==华+也2

Tb\内+苏

64•重要定理

(1)平行向量基本定理：

若d=b，则allb，反之：若加b，且Z7/0•则存在唯一

的实数使得d=b

(2)平面向量基本定理：

如果豉和会是平面内的两个不共线的向量，则该平面内的任

一向量a•存在唯一的一对实数凯,力使a=的6+为会

(3)向量共线和垂直的充要条件：

若在平面直角坐标系下，己=(两，%)，6=(至，%)

则:diiboM%-x2yi=0，己_1。=的至+%%=0

⑷若3二(的，川，6二(两，/)，则"

旧=%

65、AABC中中向量一些常用的结论：

①GZ+G%+G2=6OG为MBC的重心；

②苏•丽=丽・瓦=云・无0为。火的垂心；

—>—>

③向量"口~+当^)(/lw())所在直线过41BC内心(是ZBAC角平

\AB\|AC|

分线所在直线)；

uimiuuuuu

④向量OCOAO8中三终点A,B,C共线。存在实数xzy使得

OC=xOA+yOB^X+y=1.

特别的，若C是A,B中点,则有泥，北+工掳

22

第八部分不等式性质

66、不等式的性质：

(1)同向不等式可以相加；不可以相减：

(2)同向正数不等式可以相乘，但不能相除；

(3)同向正数不等式两边可以同时乘方或开方：若Q〉〃〉O，

则优*或后〉物;

1111

若

则

若

则

必

4o•必O

>a>-<-/<>->-

4bQb

67.均值不等式定理：若〃>0，人>0，则疝，即

匕W箍・

2

68.常用的重要不等式：

①/+从之29？；②ab<（^1^；

69.含参不等式的解法：求解的通法是〃定义域为前提«函数

增减性为基础，分类讨论是关键•〃注意解完之后要写上：〃综上，

原不等式的解集是…〃。注意：按参数讨论.最后应按参数取值分

别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集.集合的形式表示

结果

第九部分直线和圆

70、直线的倾斜角的概念：当直线I与x轴相交时，取x轴作

为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾

斜角.特别地,当直线I与x轴平行或重合时，规定a=0°.倾斜角a的

值范围：0°<a<180°.

71、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90c的直线,它的倾

斜角的正切值叫这条直线的斜率攵，即A=tana（aW90。）"顷斜角

为90。的直线没有斜率；当。£[0。•90。）时，a越大，/的斜率越大；

当伯（90。，180”寸，碘大,/的斜率越大・

（2）斜率公式：经过两点々a，y）、的直线的斜率为

k=%.乃&乜）；

再一工2

72、直线的方程：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点

斜式不适用干斜率不存在的直线，过定点P（x0,y。）的直线要设成

x=Xo和y_JO=A（%一%O））;

（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距

相等=直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数=

直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等=直线的

斜率为±1或直线过原点。

73、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点2工"0）到直线/x+仪/+G0的距离;

VA24-B2

(2)两平行线4：Ar+8y+G=0,/2：Ax+8y+C2=0间的距离为

74、直线4：AX+BJ+G=O与直线4：&尤+&丁+6=0的位置关

系：

（1）平行O4与一44=0（斜率相等）且4c2-与C尸0（在y轴

上截距不等）；

（2）直线/应+&y+G=0与直线/妆+&y+G=0垂直

=4出+3旦=0°

75、对称问题：

（1）中心对称

①点Hx，勿关于C\a"）的对称点户（八，）满足y=2a-xfy

=2b-y

②直线欠于点的对称可能转化为点共于点

n-bA

的对称问题来解决-尸x（“L-l,

a+mb+?!…-

A---+B,~~+C=0.

（2）轴对称--

①点4d，为关于直线/x+By+C=0（券0）的对称点4（/77，

n）-

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解

决.

提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求

解。

76、简单的线性规划：

(1)二元一次不等式表示的平面区域：用特殊点判断；②无

等号时用虚线表示不包含直线/，有等号时用实线表示包含直线/;

(2)求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约

束条件列出不等式；②作出可行域•写出目标函数；③确定目标函

数的最优位置，从而获得最优解。

(3)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截

式方程；②寻找最优解时注意作图规范；③注意直线的斜率正负对

最值取点的影响。

(4)线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处

取得，所以对于一般的线性规划问题•我们可以直接解出可行域的

顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函

数的最值。

77、圆的方程：

⑴圆的标准方程：=，。

⑵圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D24-E2-4F>0)*

⑶圆的参数方程：t叠二;郭(6为参数)，其中圆心为5⑼，

半径为一。

78、直线与圆的位置关系：直线/:Ax+为+c=o和圆

C：(x-«)2+(y-匕)2=r2

(r>0)有相交、殂离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情

况)：A>0o相交；△<()=相离；△=()=相切；

(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆

心到直线的距离为d，贝=相交；相离；4=相切。

79、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判

断)：已知两圆的圆心分别为9，o2•半径分别为小丹,则(1)当

IOQ2>4+6时，两圆外离；(2)当002|『+弓时，两圆外切；(3)

当l“OQ2l<q+与时'两圆相交；(4)当IOQ2HLeI时'两圆内

切；(5)当OKioaklL’l时'两圆内含°

80、圆的切线与弦长：

(1)切线：①过圆/+),2=六上一点p(xo,y。)圆的切线方程是：

,o+»°=/?2，过圆(x_a)2+(y_〃)2=R2上一点p(Xo,yo)圆的切线方程是：

2

(X-a)[x^-a)+(y-a)[yQ-a)=R'一般地，如何求圆的切线方程？(抓住

圆心到直线的距离等于半径)；②从圆外一点引圆的切线一定有两

条，可先设切线方程，再根据相切的条件•运用几何方法(抓住圆

心到直线的距离等于半径)来求；③过两切点的直线(即〃切点弦〃)

方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆

与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：圆的切线

222

的长为^(x0-a)+(y0-b)-R；

(2)弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一

半浓及圆的半径,•所构成的直角三角形来解：产=/+§”)2;②过

两圆G：/(x,y)=0、C2：g(x,y)=0交点的圆(公共弦)系为

f(x9y)+Ag(x9y)=0'当4=-1时，方程/(x,y)+/lg(x,y)=0为两圆公共弦

所在直线方程.。

第十部分圆锥曲线

81.圆锥曲线的定义：

(1)定义中要重视3舌号〃内的限制条件:椭圆中，与两个

定点冗干2的距离的和等于常数2〃，且此常数2〃一定要大于恒工厂

当常数等于闺闾时，轨迹是线段F.F2•当常数小于恒周时*无轨

迹；双曲线中，与两定点F,*F2的距离的差的绝对值等于常数2〃•

且此常数2〃一定要小于HFzl，定义中的〃绝对值〃与2〃＜任十2|

不可忽视。若2〃=HFJ，则轨迹是以F「F2为端点的两条射线，

若2〃>IF.FJ*则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表

示双曲线的一支。

(2)抛物线定义中曲线上的点到焦点距离与此点到准线距离

相等，要善于运用定义对它们进行相互转化。

82.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，

坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：

(1)椭圆：焦点在无轴上时/+/=l(a>Z?>0)，焦点在y轴

上时/+豆=L(d">。),

•

(2)双曲线：焦点在x轴上，焦点在)，轴上.

A2

P=10

(3》尬物线开C向右时/=2px开口向左时9=—2px(p>0)，

开口向上时f=2py(p>0)，开口向下时f=-2py(p>0)0

83.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程•然后再判

断):

(1)椭圆：由X2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标

轴上。

(2)双曲线：由一02项系数的正负决定,焦点在系数为正

的坐标轴上；

(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定

开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点

位置，焦点F-F"勺位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定

嘴圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭

圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛

物线问题时，首先要判断开口方向;(2)在椭圆中，。最大，

a2=b2+c2，在双曲线中，c最大，c2=a2+b2。

84.圆锥曲线的几何性质：

(1)椭圆(以=+匚=1(a>b>0)为例)：①范围：

crb~

-a<x<a,-h<y<b；②禺心率：e=£，椭圆oO<e<l，e越小，椭

圆越圆；e越大，椭圆越扁。

29

(2)双曲线(以二-乙=1(心0力〉0)为例)：①范围

a2b2

或xNwycR；②当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方

程可设为x2-y2=k,k^Q；离心率：e=£，双曲线<=>e>l，等轴双曲

线，越小，开口越小，越大，开口越大；③两条渐近线：

*Vb/»W\AZ»oe=0ee-

b

y=±—x°

a

(3)抛物线(以〃=2px为例)：①准线：x=-E;②离心

率：抛物线oe=l。

85、点P(%,yo)和椭圆三+二=1(ci>b>0)的关系：(1)点

a~b~

2“。)在椭圆外05+”>1；(2)点/”。)在椭圆上o旦=

cTba~b~

1；(3)点尸(须),%)在椭圆内=可+《<1

ab

86•直线与圆锥曲线的位置父系：

相交：△>()=直线与椭圆相交；A〉0=>直线与双曲线相交，

但直线与双曲线相交不一定有△>()，当直线与双曲线的渐近线平行

时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故A〉O是直线与双曲线相

交的充分条件，但不是必要条件；A〉0n直线与抛物线相交•但直

线与抛物线相交不一定有A〉0，当直线与抛物线的对称轴平行时«

直线与抛物线相交且只有一个交点，故△>()也仅是直线与抛物线相

交的充分条件，但不是必要条件。

87、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三

角形)问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解。在椭圆0+==1

cr

八99

中，S=/tang=c|y0|，对于双曲线二-与=1的焦点三角形有：

2a~b~

170

S=—rr,sin0=/?"cot—0

2-2

88、弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，

且石,又2分别为A、B的横坐标•则同=Ji+炉,-引，若％,当分别为

A、B的纵坐标,则|阴二'1+5|弘-y2\,

89•解析几何常用结论

(1)双曲线匚.f=]的渐近线方程为匚_2i=o;

/b2a2b2

(2)以y=±%为渐近线(即与双曲线二.[=1共渐近线)的

aa2h2

双曲线方程为丁方位。

(3痫圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦内叱，