高考数学（理）一轮复习教师用书第十章统计统计案例

第十章

DISHIZHANG

统计、统计案例

第1课时随机抽样

基础知识导航重温教材扫清盲，岂

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取〃个个体作为样本

(〃WN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相篁，就把这种抽样方

法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

2.系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总为中抽取容量为〃的样本.

C)先将总体的N个个体编号;

(2)确定分段间隔上,对编号进行分段一当斗〃是样本容量)是整数时，取仁。

⑶在第1段用简单随机油样确定第一个个体编号AlWk)；

(4)按照一定的规则抽取详本.通常是将/加上间隔k得到第2个个体编号⑷再

加攵得到第3个个体编号也的，依次进行下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立

地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做

分层抽样.

(2)分层抽样的应用范围：

当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

4.判断下列结论的正误(正确的打“V”错误的打“X”)

(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.(J)

(2)简单随机抽样每个个，’本被抽到的机会不一样，与先后有关.(X)

(3)系统抽样在起始部分油样时采用简单随机抽样.(J)

⑷要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2

个学生，这样对被剔除者不公平.(X)

(5)分层抽样中，每个个为被抽到的可能性与层数及分层有关.(X)

(6)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽

样.(X)

(7)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体.(J)

(8)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用

分层抽样方法抽取.(J)

(9)随机抽样有一定的随意性，可根据自己的喜好而抽取，故每个个体被抽到的概率

不等.(X)

(10)系统抽样是一种平均抽样，每个被抽取出来的个体的编号必须符合一个固定的

公式.(X)

考点典例领航核心考点深化突破

考点一简单随机抽样

1.简单随机抽样的概念与判定

命题点

2.抽签法与随机数表法

例1](1)下列抽取样本的方式是否属于简单随机拍样？

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中

任意拿H1一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

解：①不是简单随机抽样.因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限

的.

②不是简单随机抽样.因为它是放回抽样.

③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.

④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.

⑵总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5

个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选

取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

解析：从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为

08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01.

答案：D

方法引航］（1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个

抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.

（2）简单随机抽样常有抽签法（适用总体中个体数较少的情况）、随机数表法（适用于个

体数较多的情况）.

跟踪巡航强化训练提升考能

1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方

式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔3（）分钟抽一包产品，称其

重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机

构改革的意见

D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

解析：选D.选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选

项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样.

2.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚鼠胺是否超标，现从800袋牛

奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,

799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样

本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

874217533157245506887704744767217633

50258392120676

630163785916955667199810507175128673

58074439523879

332112342978645607825242074438155100

13429966027954

答案：068

考点二系统抽样

1.求分段间隔

命题点2.求抽取的样本个体

3.求抽取的样本数

例2］(1)为了解1()0()名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为

4()的样本，则分段的间隔为()

A.5()B.40

C.25D.20

解析：由曙=25,可得分段间隔为25.

答案：C

⑵为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料

瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定

所选取的5瓶饮料的编号可能是()

A.5,10,15,20,252,4,8,16,32

C.123,4,5D.7』7,27,37,47

抽样间隔为第=10.

解析：从中抽取5瓶，应将50瓶分成5组.

答案：D

⑶某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按

1,2,…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720］的人数为()

A.11B.12

C.13D.14

解析：由系统抽样定义可知，所分组距为等=20,每组抽取一个，因为包含整数

个组，所以抽取个体在区间481,720］的数目为(720—480):20=12.

答案：B

方法引航］(1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样

本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取的样本号码，公差为间隔

数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

(2)系统抽样时，如果总体中的个体数不能被样本容量整除，可以先用简单随机抽样

从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.

变式巡航强化训练提升考能

1.若本例(3)中条件不变，第三组抽得的号码为44,则在第八组中抽得的号码是

解析：在第八组中抽得的号码为(8—3)X20+44=144.

答案：144

2.若本例⑶中条件不变，在编号为481,720］中抽取8人，则样本容量为.

解析：因为在编号481,720］中共有720—480=240人，又在481,720］中抽取8人，

所以抽样比应为240：8=30：1,又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本

容量为空^=28.

答案：28

考点三分层抽样

1求.每层中的样木容量

命题点

2.求总体容量

例3］(1)(2017•云南昆明检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”、“不喜欢”

和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按

分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6

位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户

外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有

()

A.36人B.30人

C.24人D.18人

解析：设对户外运动持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x、八3占

由题意可得3x—x=12,x=6f.•・对户外运动持“喜欢”态度的有6X6=36(人).

答案：A

⑵某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽

样的方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从高中生中抽取70人，则〃

为()

A.100B.150

C.200D.250

解析：法一：由题意可得代器，解得〃=100.

701

法二：由题意，抽样比为三而=而，总体容量为35(X)+1500=5()()(),故〃=5

JJV/V/JV/

000舄=100.

答案：A

(3)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7,现用分层抽

样的方法抽出容量为〃的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量〃=()

A.54B.90

C.45D.126

3

解析：依题意得3+5+7义〃=此解得〃=9(),即样本容量为9().

答案：B

方法引航］在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这

就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个

体数之比，即修：M=〃：N.

跟踪巡航强化训练提升考能

1.某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482,现采用系统抽样方法，

抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按123,…，1470编号，

若第1组用简单随机抽样方法抽取的号码为23,则高二应抽取的学生人数为［)

A.15B.16

C.17D.18

解析：选C.由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高

二学生的编号为496到988,在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16X30

+23=503,为高二学生，第33组抽取的编号为32X30+23=983,为高二学生，

故共抽取高二学生人数为33-16=17.

2.某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：

围棋社舞蹈社拳击社

男生51028

女生1530m

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员

中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人.

⑴求拳击社女生有多少人；

(2)从围棋社指定的3名男生和2名女生中随机选出2人参加围棋比赛，求这2名同

学是一名男生和一名女生的概率.

解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人,

・6_18.

••28+m—20+40+28+，〃'••机―乙

(2)指定3男生记为4,A2,A3.2女生记为3,&,选取2人有4A2,A1A3,A2A3,

B1B2,A1B1,A出,43,4&共10种选法，其中一男一女有6种选

法，故设A为“这2名同学是一名男生和一名女生”，则P(A)=W

|智能提升返航特色展示体验高考

易错警示］

抽样后每个个体被抽到的概率

典例］在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个.用系统抽样

法从中抽取容量为20的样本，则二级品中每个个体被抽取到的概率是_______.

正解］二级品中每个个体被抽到的概率等于所有零件中每个个体被抽取到的概率，

2()1

所以所求的概率为诉=1.

12Uo

易误］对系统的抽取理解不到位，易产生以下计算错误：二级品中需抽取到的产品

个数为患X36=6,故所求概率为亲=/(与正确结论一致是一种巧合)

答案］!

警示］从总体为N的容量中抽取容量为〃的样本，每个个体被抽到的概率相等，

都蹂

高考真题体验］

1.(2013•高考课标全国卷I)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的

中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学

段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,

最合理的抽样方法是（）

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样D.系统抽样

解析：选C.因为男女生视力情况差异不大，而各学段学生的视力情况有较大差异，

所以应按学段分层抽样，故选C.

2.（2015♦高考北京卷）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的

方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本口的老

年教师人数为（）

类别人数

老年教师900

中年教师1800

青年教师1600

合计4300

A.90B.100

C.18（）D.300

解析：选C.设该样本中的老年教师人数为X,由题意得就=；而，故工=180.

VUU1OUU

3.（2015・高考湖南卷）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶

图如图所示.

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其

中成绩在区间139,151］上的运动员人数是（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：选B.因为35+7=5,因此可将编号为1〜35的35个数据分成7组，每组有5

个数据，在区间139,151］上共有2（）个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4

人.

4.（2015・高考福建卷）某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例

用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生

人数为.

45r

解析：男生人数为900—400=500（人），设男生应抽取x人，则有疝=笈，解得x

=25.

答案：25

课时规范训练

A组基础演练

1.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用

抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样

三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编

号为1,2,…,270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将

整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

@5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

@11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

@30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是（）

A.②、③都不能为系统抽样

B.②、④都不能为分层抽样

C.①、④都可能为系统抽样

D.①、③都可能为分层抽样

解析：选D.因为③为系统抽样，所以选项A不对；因为②为分层抽样，所以选项B

不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对，故选D.

2.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分

层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样木，已知在高一年级的学生中抽取了6

名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）

A.6B.8

C.10D.12

30

解析：选B.设样本容量为N,则NXm=6,

4（）

，N=14,I.高二年级所抽取的人数为14X而=8.

3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150

人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中

的青年职工为7人，则样本容量为（）

A.7B.15

C.25D.35

解析：选B.由题意知青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数=350:250：

150=7:5:3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

4.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一

共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的

样本，己知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应

为（）

A.13B.19

C.20D.51

解析：选C.抽样间隔为46—33=13,故另一位同学的编号为7+13=20,选C.

5.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、

乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲

社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为

12,21,25,43,则这四个七区驾驶员的总人数;7为（）

A.101B.808

C.1212D.2012

12

解析：选B.由题意知抽样比为天，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12+21+

25+43=101,故有号，解得N=808.

6.某学校高三一班共有6（）名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早

餐与健康”的调查，为此将学生编号为1.2,…，6（）.选取的这6名学生的编号可能

是（）

A.1,2,345,6B.6,16,26,36,46,56

C.1,2,4,8,16,32D.3,9,13,27,36,54

解析：选B.由系统抽样知识知，所选取学生编号之间的间距相等且为10,所以应

选B.

7.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生是高一学生

的两倍，高二学生比高一学生多300人，现在按金的抽样比例用分层抽样的方法

1V_*VZ

抽取样本，则高一学生应抽取的人数为（）

A.8B.11

C.16D.10

解析：选A.设高一学生有x人，则高三学生有2工人，高二学生有（x+300）人，学校

共有4x+300=3500（人），解得了=800（人），由此可得按卷的抽样比例用分层抽样

的方法抽取样本，高一学生应抽取的人数为福X8OO=8（人），故应选A.

8.某校初一、初二、初三年级各有300人，400人，302人，采用系统抽样从中抽

取一个容量为100的样本检查学生的视力情况，则初三年级每人被抽到的概率为

（）

302100

A-1002002

30030

J（）00D-302

解析：选B.利用系统抽样，虽然剔除2人，但每人能抽到的概率为黑.

9.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60

件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为

〃的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则〃=（）

A.9B.10

C.12D.13

解析：选D.依题意得而=[20+80+60,故〃=13，

10.某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做

牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33〜48这16人数中

取的数是39,则在第1小组1〜16中随机抽到的数是（）

A.5B.7

C.11D.13

解析：选B.间隔数4=蜉=16,即每16人抽取一个人.由于39=2X16+7,所以

第1小组中抽取的数为7.

B组能力突破

1.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表所示:

一年级二年级三年级

女生373380y

男生377370Z

现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()

A.24B.18

C.16D.12

解析：选C.一年级的学生人数为373+377=75(),二年级的学生人数为380+37()

=750,于是三年级的学生人数为200()-750-750=500,所以应在三年级抽取的

64

人数为500X5■而=16.

2.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,…，600.采用系统抽样方法抽取

一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，

从001到300在第I营区，从301到495在第H营区，从496到600在第IH营区，

三个营区被抽中的人数依次为()

A.26,16,8B.25,17,8

C.25,16,9D.24,17,9

解析：选B.由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，

每一组各有12名学生，第k(Z£N*)组抽中的号码是3+12(攵-1).

令3+12伏-1)・30()得攵五竽，因此第I营区被抽中的人数是25;

103

令300V3+12(%—1)W495得丁VZW42,因此第II营区被抽中的人数是42—25=

17.结合各选项知，选B.

3.将某班的60名学生编号为01,02,…，60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5

的样本，且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是_______.

答案：16,28,40,52

4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成某甲、乙、丙三组，

对应的城市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市

数为.

解析：由已知得抽样比为盘=；,

二・丙组中应抽取的城市数为8x1=2.

答案：2

5.一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2,…，89,依从小到大的编号顺序平均

分成9个小组，组号依次为1,2,3,…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样

本，规定如果在第1组随机抽取的号码为〃?，那么在第2组中抽取的号码个位数字

与〃?+左的个位数字相同，若，〃=8,则在第8组中抽取的号码是________.

解析：由题意知：〃?=8,k=8,则〃z+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字

为6,十位数字为8—1=7,故抽取的号码为76.

答案：76

6.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1-160

编号，按编号顺序平均分成20组(1〜8号，9〜16号，…，153〜160号)，若第16

组抽出的号码为123,则第2组中应抽出个体的号码是_______.

解析：由题意可知，系统抽样的组数为20,间隔为8,设第1组抽出的号码为x,

则由系统抽样的法则可知，第〃组抽出个体的号码应该为工+(〃-l)X8,所以第16

组应抽出的号码为x+(16—l)X8=123,解得x=3,所以第2组中应抽出个体的号

码为3+(2—1)义8=11.

答案：11

第2课时用样本估计总体

基础知识导航_______________________重温教材扫清盲点

1.作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).

(2)决定组距与组数.

⑶将数据分组.

(4)列频率分布表.

(5)画频率分布直方图.

2.频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的史点，就得到频率分

布折线图.

⑵总体密度曲线：随着样本容量的增加,作图时所分组数增加,组距减小,相应的

频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲

线.

3.茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎

的旁边生长出来的数.

4.标准差和方差

C)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.

(2)标准差：

5=q、f(X|—X)24-(X2-X)2d----\-(Xn—X)2].

1———

(3)方差：S2=~(X\—X)2+(X2-X)2d----X)2](x〃是样本数据，〃是样本容量,

二是样本平均数).

5.判断下列结论的正误(正确的“J”错误的打“X”)

⑴平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(J)

⑵一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论.(X)

(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体

数据信息就被抹掉了.(J)

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同

的数据可以只记一次.(X)

(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.(J)

(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(X)

(7)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率.(X)

⑻频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.(J)

⑼一组数据的方差越大：说明这组数据的波动越大.(J)

(10)中位数与众数都是唯一的.(X)

考点典例领航核心考点深化突破

考点一频率分布直方图的绘制及应用

1.绘制频率分布直方图

命题点

2.应用频率分布直方图

例1](1)(2016.高考山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时),

制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分

组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30].根据直方图，这200名学生

中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

A.56B.60

C.120D.140

解析：由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频

率为(0.16+0.08+0.04)X2.5=0.7,故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5

小时的人数为200X0.7=140.故选D.

答案：D

⑵某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了40个用

户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图

和B地区用户满意度评分的频数分布表.

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评

50,60)60,70)70,80)80,90)90,100]

分分组

频数28141()6

①作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度

评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);

B地区用户满意度评分的频率分布直方图

05060708090100满意度评分

②根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

70分到89不低于90

满意度评分低于70分

分分

满意度等级不满意满意非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.

解：⑴

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的

平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而

A地区用户满意度评分比较分散.

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；以表示事件：“B地区

用户的满意度等级为不满意”.

由直方图得P(C)的估计值为(0.01+0.02+0.03)X10=0.6,0(CH)的估计值为0005

+0.02)X10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

方法引航]频率分布直方图的特征

(1)各矩形的面积和为1.

频率频率

(2)纵轴的含义为彳立，矩形的面积=组距＞＜益=频率.

(3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点横坐标之和.

(4)众数为最高矩形的底边中点的横坐标.

考点二茎叶图的绘制及应用

I.绘制茎叶图

命题点

2.应用茎叶图求特征数字

例2](1)(2017.安徽合肥质检)一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各

抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图.已知甲班5名同学成绩

的平均数为81,乙班5名同学成绩的中位数为73,则不一》的值为()

A.2B.-2

C.3D.-3

72+77+80+^+86+90

解析：由题意得=81=x=0,易知y=3,y=-3,故

选D.

答案：D

⑵某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用

户，得到用户对产品的满意度评分如下:

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

①根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满

意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

A地区B地区

②根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:

70分到89不低于90

满意度评分低于70分

分分

满意度等级不满意满意非常满意

记事件C“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地

区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生

的概率，求。的概率.

解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：

A地区B地区

468

351364

64262455

688643733469

9286518321

7552913

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分

的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.

（2）记CAI表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；

CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；

CBI表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；

CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，

则CAI与CBI独立，CA2与CB2独立，CBI与CB2互斥，C=CBICAIUCB2cA2.

P(C)=尸(CBiCAIUCB2cA2)=P(CBiCAi)+P(CB2cA2)=P(CBI)P(CAI)+P(CB2)P(CA2).

由所给数据得CAI,CA2,CBI,CB2发生的频率分别为蔡玲，黑《，故P(CAI)

16410

—20，尸(CA2)—20,P(CBI)—20,

P(CB2)=4，P(O=喋“喘+^X历=0.48.

方法引航]由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表

试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出

判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等.

考点三用样本的数字特征估计总体的数字特征

1.求样本的平均数、方差

命题点2.求样本的中位数，众数

3.利用样本的数字特征进行决策

例3](1)(2017.山东济南模拟)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种

树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据,

对两块地抽取树苗的高度的平均数二甲、二乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论

正确的是()

中乙

910

9531026

73230047

144667

A.x甲Ax乙，y甲乙B.x甲＜x乙，y甲＜、乙

C.x甲vx乙,D.x甲＞x乙,)，甲V)，乙

解析：从茎叶图看出乙地树苗高度的平均数大于甲地树苗高度的平均数，乙地树苗

高度的中位数是35.5,甲地树苗高度的中位数是27.

答案：B

(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

()

频数

3

2

1

7)345678910坏数

甲

频数

3j0

2%

0345678910乃姒

乙

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小丁乙的成绩的极差

解析：由条形统计图知：

甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8:

乙射靶5次的成绩分别为:5,5,5,6,9,

—4+5+6+7+8/-5+5+5+64-9

所以x甲=m=6;xc=M=6.

所以工，、=xc,故A不正确.

甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,故B不正确.

5i=|(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=|xi0=2,£=/5-6/+(5-

1io12

2222因为＜彳，所以故正确.

6)+(5-6)4-(6-6)+(9-6)J=7JX12=-7J-»2J£VsW.C

甲的成绩的极差为：8-4=4,乙的成绩的极差为：9-5=4,故D不正确.故选

C.

答案:c

⑶抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员第一次第二次第三次第四次第五次

甲8791908993

乙8990918892

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为

解析：对于甲，平均成绩为；=90,所以方差为5?=/义(87-90)2+(91—90)?+(90

一1

-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,对于乙，平均成绩为x=90,方差为$2=§乂(89

—90)2+(90—90)2+(91—90)2+(88—90)2+(92—90)2]=2.由于2V4,所以乙的平均

成绩较为稳定.

答案：2

方法引航]平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们

所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差

和标准差描述其波动大小.

跟踪巡航强化训练提升考能

1.甲，乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如图所示.记甲，乙

两人的平均得分分别为二甲，；乙，则下列判断正确的是()

88868

4093

A.x甲VA■乙，甲比乙成绩稳定

B.A1甲Vx乙,乙比甲成绩稳定

C.x甲＞x乙,甲比乙成绩稳定

D.x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定

_76+77+88+90+94

解析:选B.x甲=---------7-------------=85,

—75+88+86+88+93

x乙==86,

5i=1(76-85)2+(77-85)2+(88-85)2+(90-85)2+(94-85)2]=52,

£=:(75-86尸+(88—86)2+(86-86)2+(88—86尸+(93—86)4=35.6,

所以XfVx乙，鼎＞£,故乙比甲成绩稳定.

2.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.

4分

⑴分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.

解：(1)由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

—10+13+12+144-16

x<p==13,

—13+14+12+12+14

x乙==[3,

s*=g(10—13y+(13—13)2+(12—13)2+(14—13)2+(16—13月=4,

s2=g(13—13)2+(14-13>+(12-13/+(12—13)2+(14—13)2]=0.8.

(2)由端>£可知乙的成绩较稳定.

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不

断提高，而乙的成绩则无明显提高.

|智能提升返航特色展示体胎高考

规范答题]

概率与统计、统计案例的综合问题规范答题

典例](本题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机

访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),

其中样本数据分组区间为40,50),50,60),…，80,90),90,100].

(1)求频率分布直方图中。的值；

⑵估计该企业的职工对■部门评分不低于8()的概率；

⑶从评分在4(),60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40,50)的概

率.

规范解答］(1)由频率分布直方图可知：(0.004+a+0.018+0.022X2+0.028)X10

=1,解得〃=分

(2)由频率分布直方图可知,评分不低于8()分的频率为：(0.022+0.018)X10=0.4,

所以可估计该企业的职工对该部门评分不低于8()的概,率为分

(3)受访职工中评分在50,60)的有:50X0.006X10=3(人),记为4,A2fA3;

受访职工中评分在40,50)的有:50X0.004X10=2(人),记为Bi,B2.6分

从这5名受访