2025年高考数学必刷题分类：第29讲、三角恒等变换（教师版）

第29讲三角恒等变换

知识梳理

知识点一．两角和与差的正余弦与正切

①sin()sincoscossin；

②cos()coscossinsin；

tantan

③tan()；

1tantan

知识点二．二倍角公式

①sin22sincos；

②cos2cos2sin22cos2112sin2；

2tan

③tan2；

1tan2

知识点三：降次（幂）公式

11cos21cos2

sincossin2;sin2;cos2;

222

知识点四：半角公式

1cos1cos

sin;cos;

2222

sin1cos

tan.

21cossina

知识点五．辅助角公式

asinbcosa2b2sin()（其中

bab

sin，cos，tan）．

a2b2a2b2a

【解题方法总结】

1、两角和与差正切公式变形

tantantan()(1tantan)；

tantantantan

tantan11．

tan()tan()

2、降幂公式与升幂公式

1cos21cos21

sin2；cos2；sincossin2；

222

1cos22cos2；1cos22sin2；1sin2(sincos)2；1sin2(sincos)2

．

3、其他常用变式

2sincos2tancos2sin21tan2sin1cos

sin2；cos2；tan

sin2cos21tan2sin2cos21tan221cossin

．

1

4、拆分角问题：①=2；=(+)-；②()；③[()()]；

22

1

④[()()]；⑤()．

2424

注意：特殊的角也看成已知角，如()．

44

必考题型全归纳

题型一：两角和与差公式的证明

例1．（浙江省绍兴市2024学年高一下学期6月期末数学试题）为了推导两角和与差的三角

函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，BC90，AD1，

点E为BC上一点，且AEDE，过点D作DFAB于点F，设BAE，DAE.

(1)利用图中边长关系DFBECE，证明：sinsincoscossin；

1

(2)若BECE，求sin2cos2.

3

【解析】（1）在Rt△ADE中，AED90，DAE，AD1，则DEsin,AEcos，

在RtADF中，AFD90，DAF，AD1，则DFsin()，

在RtABE,RtECD中，BC90，CEDBAE，

则BEsincos,CEcossin，

依题意，四边形BCDF是矩形，则DFBCBECE，

所以sin()sincoscossin.

11

（2）由BECE及（1）知，sincoscossin，则tantan，而,为锐

33

角，即有，

25

sin2，又2BAD是锐角，于是cos2cos2，

33

25

所以sin2cos2.

3

例2．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍

角公式：

①sin33sin4sin3；②cos34cos33cos

根据以上研究结论，回答：

(1)在①和②中任选一个进行证明：

(2)求值：sin1098.

【解析】（1）若选①，证明如下：

sin3sin2sin2coscos2sin2sincos212sin2sin

223

2sin1sin12sinsin3sin4sin.

若选②，证明如下：

cos3cos(2)cos2cossin2sin2cos21cos2sin2cos

323

2coscos21coscos4cos3cos.

（2）由题，sin1098sin18，因为90218318，则cos54sin36，

所以由公式②及正弦的二倍角公式得4cos318-3cos182sin18cos18，

2

又因为cos180，所以4cos218-32sin18，所以41sin1832sin18，

5151

整理得4sin2182sin18-10解得sin18或，

44

51

又sin180，所以sin18.

4

例3．（2024·全国·高三专题练习）(1)试证明差角的余弦公式C()：

cos()coscossinsin；

(2)利用公式C()推导：

①和角的余弦公式C()，正弦公式S()，正切公式T()；

②倍角公式S(2)，C(2)，T(2).

【解析】(1)不妨令2k,kZ.

如图，

设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角,,，它们的终

边分别与单位圆相交于点P1cos,sin，A1cos,sin，Pcos,sin.

连接A1P1,AP.若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点A,P分别与点A1,P1重合.根据圆的旋转

对称性可知，与重合，从而，＝，∴APAP

APA1P1APA1P111.

根据两点间的距离公式，得：

[cos1]2sin2(coscos)2(sinsin)2，

化简得：coscoscossinsin.

当2kkZ时，上式仍然成立.

∴，对于任意角,有：coscoscossinsin.

(2)①公式C()的推导：

coscos

coscossinsin

coscossinsin.

公式S的推导：

sincos

2

cos

2

coscossinsin

22

cossinsincos

正切公式T的推导：

sin

tan

cos

sincoscossin

coscossinsin

tantan

1tantan

②公式S2的推导：

由①知，sin2sincossinsincos2sincos.

公式C2的推导：

由①知，cos2coscoscossinsincos2sin2.

公式T2的推导：

tantan2tan

由①知，tan2tan.

1tantan1tan2

变式1．（2024·全国·高三专题练习）如图，考虑点A(1,0)，P1(cos,sin)，P2(cos,sin)，

P(cos(),sin())，从这个图出发.

（1）推导公式：cos()coscossinsin；

1

（2）利用（1）的结果证明：coscos[cos()cos()]，并计算sin37.5cos37.5

2

的值.

【解析】（1）因为P1(cos,sin),P2(cos,sin),P(cos(),sin())，

222

根据图象，可得，即|AP|2PP，

APP1P212

即(cos()1)2sin2()(coscos)2(sinsin)2.

即cos()coscossinsin.

（2）由（1）可得cos()coscossinsin，①

cos()coscossinsin②

由①+②可得：2coscoscos()cos()

1

所以coscos[cos()cos()]，

2

111

所以sin37.5cos37.5sin75cos15cos4530.

222

1

cos45cos30sin45sin30

2

1232162

222228

变式2．（2024·广东揭阳·高三统考期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利

用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向

量来推导两角差的余弦公式：coscoscossinsin．具体过程如下：

如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，．它们的终边与单位

圆O的交点分别为A，B．

则OAcos,sin，OBcos,sin，由向量数量积的坐标表示，有

OAOBcoscossinsin．

设OA，OB的夹角为，则OAOBOAOBcoscoscoscossinsin，

另一方面，由图（1）可知，2k；

由图（2）可知2k，于是2k，kZ．

所以coscos，也有coscoscossinsin；

所以，对于任意角，有：coscoscossinsinC．

此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角

的余弦公式，简记作C．有了公式C以后，我们只要知道cos，cos，sin，sin

的值，就可以求得cos的值了．

阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用

其他方法解答正确同等给分）

解决下列问题：

1

OCOM

(1)判断是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）

OM

(2)证明：coscos2coscos．

22

1

【解析】（1）正确；因为对于非零向量，n是方向上的单位向量，

n|n|n

1

OCOM

又|OC|1且与共线，所以.

OMOC|OM|

（2）因为M为AB的中点，则OMAB，

从而在△OAM中，|OM||OA|coscos，

22

coscossinsin

又M是AB的中点，∴OM,，

22

1

又OCOM，OCcos,sin，

|OM|22

1coscos

cos

所以，

2cos2

2

化简得，coscos2coscos．

22

【解题方法总结】

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦

定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．

题型二：两角和与差的三角函数公式

ππ

例4．（2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知sinsin()3cossin，

36

π

则sin(2)（）

6

313

A．－1B．C．D．

222

【答案】A

ππ

【解析】由sinsin()3cossin，

36

3131

得sincossin3cossincos，

2222

即sin223sincos3cos20，

2

则sin3cos0，得sin3cos，则tan3，

π311

所以sin(2)sin2cos23sincoscos2

6222

3sincoscos213tan11

cos2sin2cos2sin221tan21tan22

311

1．

13132

故选：A．

ππ

例5．（2024·福建三明·高三统考期末）已知sincos1，则cos（）

63

3366

A．B．C．D．

3333

【答案】A

π3133

【解析】根据题意，sincos1，即sincos+sinsincos1，

62222

ππ3

故3cos1cos，

333

故选：A

3ππ

例6．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）sin，0,，，

324

则tan（）

A．221B．223

C．223D．322

【答案】B

3π6sin2

【解析】sin，0,，则有cos1sin2，tan，

323cos2

2

1

tantan

tan2223.

1tantan2

1

2

故选：B.

π1

变式3．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设tan，则

44

π

tan等于（）

4

A．-2B．2C．-4D．4

【答案】C

πtan115

【解析】因为tan，所以tan，

41tan43

πtan1

故tan4，

41tan

故选：C．

3π

变式4．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知sin,,π，

52

sin

若4，则tan（）

cos

167162

A．B．C．D．

7873

【答案】C

3π24sin3

【解析】因为sin,,π，所以cos1sin,tan，

525cos4

sinsincoscossin34

因为sincostantan4，

coscos55

17

所以tan，

4

317

tantan4416

所以tan.

1tantan3177

1

44

故选：C.

【解题方法总结】

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示

的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统

一角和角与角转换的目的．

题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

π

例7．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知，tantan33，则

3

cos()的值为（）

1111

A．B．C．D．

2346

【答案】D

π

【解析】由于tantan33，且，

3

3

则sinsinsincoscossinsin()，

233

coscoscoscoscoscoscoscos

1

整理得coscos，

6

1

则cos()coscossinsin，

2

111

整理得sinsin，

263

111

所以cos()coscossinsin.

636

故选：D.

例8．（2024·上海静安·高三校考期中）已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一

定不成立的是（）

A．sin()2cossinsin()0

B．cos()2sinsincos()0

C．cos()2sinsincos()0

D．sin()2cossinsin()0

【答案】B

ππ

【解析】因为、是不同的两个锐角，即0,0，

22

ππ

所以0π，，

22

对于A，因为

sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin)2sincos，

所以sin()2cossinsin()2sincos2cossin2sin()0一定成立，

故A错误；

对于D，sin()2cossinsin()2sincos2cossin2sin()0可能成

立，故D错误；

对于B，因为

cos()cos()(coscossinsin)(coscossinsin)2coscos，

所以cos()2sinsincos()2coscos2sinsin2cos()0恒成立，

即cos()2sinsincos()0一定不成立，故B正确；

对于C，cos()2sinsincos()2coscos2sinsin2cos()0可能

成立，故C错误.

故选：B.

例9．（2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点

P1(cos,sin),P2(cos,sin),P3(cos(),sin()),A(1,0)．给出下列四个结论：①

OPOP；②APAP；③；④OAOPOPOP．其中正确结论

1212OAOP3OP1OP2123

的序号是（）

A．①②B．①④C．①③D．③④

【答案】C

22

【解析】对于①：OP1(cos,sin)，OP2(cos,sin)，所以OP1cossin1，

22，故OPOP，故①正确；

OP2(cos)(sin)112

对于②：AP1(cos1,sin)，AP2(cos1,sin)，

AP(cos1)2(sin)22(1cos)2sin，

12

AP(cos1)2(sin)22(1cos)2sin，因为,关系不定，故AP,AP不

2212

一定相等，故②不正确；

对于③，OA(1,0)，OP3(cos(),sin())，

OAOP3cos()0sin()cos()，

OPOPcoscossinsincos()，，故③正确；

12OAOP3OP1OP2

对于④，OAOP1cos0sincos，

，因为未知，所以与

OP2OP3coscossinsincos(2)OAOP1

OP2OP3不一定相等，故④不正确.

故选：C

11

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知coscos，sinsin，则cos

23

的值为（）

13135959

A．B．C．D．

72727272

【答案】C

21

【解析】coscoscos22coscoscos2，

4

21

sinsinsin22sinsinsin2，

9

1113

两式相加得22coscossinsin22cos，

4936

59

cos.

72

故选：C.

变式6．（2024·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若

π

sin3cos4sincos，则（）

3

A．tan3B．tan3

C．tan3D．tan3

【答案】C

π

【解析】由sin3cos4sincos，

3

ππ

可得2sin4sincos，

33

ππππ

即sinsincoscossin2sincos，

3333

ππ

化简可得cossinsincos，

33

π

即sin0，

3

π

所以kπ，kZ，

3

π

即kπ，kZ，

3

可得tan3．

故选：C．

2

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知第二象限角满足sinπ，则

3

sin22sincos的值为（）

145145

A．B．C．D．

9999

【答案】D

2

225

【解析】因为sin，且为第二象限角，所以cos1，

333

于是sin22sincossin2sincos

sincoscossinsin22sincos

2545

2.

339

故选：D.

【解题方法总结】

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变

形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．

题型四：角的变换问题

π

例10．（2024·河南·校联考模拟预测）已知tan3，则cos2（）

4

33

A．-B．C．1D．1

55

【答案】A

πtan1

【解析】由tan3，解得tan2，

41tan

cos2sin21tan23

所以cos2cos2sin2.

cos2sin21tan25

故选：A.

例11．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）已知tan3，则

4

sincos

3（）

cossin

22

11

A．B．C．3D．3

33

【答案】D

tan11

【解析】因为tan3，所以3，解得tan=，

41tan2

sincossincostan1

3

则3sincos1tan，

cossin

22

故选：D.

π5π

例12．（2024·江西·校联考二模）已知sinx，则cos2x（）

453

233233334334

A．B．C．D．

10101010

【答案】D

π5ππ5

【解析】因为sinx，所以sinxcoscosxsin，

45445

251221

所以sinxcosx，即sinxcosx2sinxcosx，

2525

34

所以sin2x，则cos2x1sin22x，

55

πππ

所以cos2xcos2xcossin2xsin

333

4133334

.

525210

故选：D

π3π

变式8．（2024·四川·校联考模拟预测）若为锐角，且cos，则sin（）

1253

722272

A．B．C．D．

10101010

【答案】D

π3π4

【解析】由为锐角，且cos，所以sin，则

125125

πππππππ423272

sinsinsincoscossin

3124124124525210

.

故选：D

π3ππ

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知sin,,，则sin的值为（）

3526

343343323323

A．B．C．D．

10101010

【答案】A

πππππ

【解析】因为,，所以,，所以

26362

π2π94

cos1sin1；

33255

ππππππ

sinsinsincoscossin

333333

3143343

.

525210

故选：A.

ππ34

变式10．（2024·安徽淮南·统考二模）已知0,π,sin,cos()，

2255

则sin（）

2424242424

A．B．C．或D．0或

2525252525

【答案】A

π34

【解析】因为0,sin，所以cos1sin2，

255

πππ3π

因为0,π，所以，

2222

4

因为cos()，

5

2

43

所以sin()1

55

3

当sin()时，

5

sinsinsincoscossin

344324

，

555525

π

因为π，

2

24

所以sin0，故sin满足题意，

25

3

当sin()时，

5

sinsinsincoscossin

3443

0

5555

π

因为π，故sin0不合题意，舍去；

2

故选：A

2

变式11．（2024·山西晋中·统考三模）已知，为锐角，且tan2，sin，

2

则cos（）

3103101010

A．B．C．D．

10101010

【答案】D

【解析】因为tan2，所以sin2cos，

又sin2cos21，为锐角，

255π

所以sin，cos，且．

554

ππ

因为，为锐角，，所以π，

44

23

又sin()，所以，

24

3π3π3π10

故coscoscoscossinsin．

44410

故选：D.

π2

变式12．（2024·山东日照·高三校考阶段练习）已知，0,π，tan，

32

π6

cos，则cos2（）

63

533533

A．B．C．D．

9393

【答案】D

πππππ

【解析】因为cos(2)cos2sin2

36236

ππππ

=sin2()cos()-cos2()sin().

3636

πππ

2sin()cos()2tan

πππ33322

sin22sin()cos()，

3332π2π