2025年高考数学必刷题分类：第18讲、函数的综合应用（学生版）

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第18讲函数的综合应用

知识梳理

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函

数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着

重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题

的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换

形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握

指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、

求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求

导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．

n

、函数的图象与性质

2fxxai

i1

分奇、偶两种情况考虑：

比如图（1）函数fxxx1x3，图（2）函数gxxx1x2x1

n

（）当为奇数时，函数的图象是一个型，且在最中间的点取

1nfxxai“”“”

i1

最小值；

n

（）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在最中间水平线

2nfxxai“

i1

段”取最小值；

若*为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直

aiiNxa中

xx

线x左中右中对称．

2

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、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，

3fxm,nfmfn,x0k,b

fnfxfnfx

gxfxkxb的最大值的最小值为0，当且仅当k0,b0

22

时取得．

必考题型全归纳

题型一：函数与数列的综合

*

例1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{xn}，满足x11，2xn1ln(1xn)(nN)，

设数列{xn}的前n项和为Sn，则以下结论正确的是（）

A．xn1xnB．xn2xn1xnxn1

C．2xn2xn11D．Sn52

x

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)ex1，数列{an}的前n项和为Sn，

1

且满足a,af(a)，则下列有关数列{a}的叙述正确的是（）

12n1nn

A．a5|4a23a1|B．a7a8C．a101D．S10026

x

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)ex1，数列{an}的前n项和为Sn，

1

且满足a，af(a)，则下列有关数列{a}的叙述正确的是（）

12n1nn

1

A．aB．aaC．S26D．a5|4a23a1|

2467100

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足：an0，且

22*

an3an12an1(nN)，下列说法正确的是（）

n1

13

．若，则aa．若a2，则

Aa1nn1B1an1

27

3

C．a1a52a3D．aaaa

n2n13n1n

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变式2．（2024·陕西渭南·统考二模）已知函数fxsinxlnx，将fx的所有极值点

按照由小到大的顺序排列，得到数列xn，对于nN，则下列说法中正确的是（）

．．π

Anπxnn1πBxn1xn

2n1π4n1π

．数列是递增数列．

CxnDfx2n1ln

22

变式3．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列an满足：0a11，

an1an

且对任意的正整数n，均有e3ane，则下列说法正确的是（）

A．数列an为严格减数列B．存在正整数n，使得an0

4

C．数列a中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得a

nn3

题型二：函数与不等式的综合

9999

例4．（2024·全国·高三专题练习）关于x的不等式x129999x9999x1，解集为

___________.

例5．（2024·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契(1175年~1250年）以兔子繁殖

数量为例，引人数列：1,1,2,3,5,8,，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即

*

an2an1annN，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为

nn

11515

a．设n是不等式log(15)n(15)nn5的正整数解，

n222

5

则n的最小值为__________．

1

例6．（2024·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数f(x)x2，若不等式

2x1

f(m4x1)f(m2x)5对任意的x0恒成立，则实数m的最小值为______________.

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变式4．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx是定义域为R的函数，f2xfx0，

对任意x1，x21,x1x2，均有fx2fx10，已知a，bab为关于x的方程

x22xt230的两个解，则关于t的不等式fafbft0的解集为（）

A．2,2B．2,0C．0,1D．1,2

题型三：函数中的创新题

例7．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕

德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x0处

aaxaxm

01m

的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)n，且满足：f(0)R(0)，f(0)R(0)，

1b1xbnx

f(0)R(0)，f(mn)(0)R(mn)(0)．已知f(x)ln(x1)在x0处的[1,1]阶帕德近似为

ax(4)(5)(4)

R(x)．注：f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)f(x),f(x)f(x),

1bx

(1)求实数a，b的值；

1

(2)求证：(xb)f1；

x

1

xx

求不等式112的解集，其中．

(3)1e1e2.71828

xx

例8．（2024·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数yfx和ygx

的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数yfx和ygx具有C关系．

2

gxlog1x

(1)判断函数fxlog28x和是否具有C关系；

2

(2)若函数fxax1和gxx1不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)若函数fxxex和gxmsinxm0在区间0,π上具有C关系，求实数m的取

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值范围．

例9．（2024·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平

cxx

面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为yecec，其中c

2

exex

为参数.当c1时，该方程就是双曲余弦函数coshx，类似的我们有双曲正弦函

2

exex

数sinhx.

2

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数ycosh2xsinhx的最小值；

22

①coshxsinhx1；

②sinh2x2sinhxcoshx；

22

③cosh2xcoshxsinhx.

(2)求证：x,，coshcosxsinhsinx.

4

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变式5．（2024·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点

定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单

地讲就是对于满足一定条件的连续实函数fx，存在一个点x0，使得fx0x0，那么我

们称该函数为“不动点"函数，而称x0为该函数的一个不动点．现新定义：若x0满足

fx0x0，则称x0为fx的次不动点．

(1)判断函数f(x)=x2-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说

明理由

1

(2)已知函数gxx1，若a是gx的次不动点，求实数a的值：

2

xx

(3)若函数hxlog14b2在0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的

2

取值范围．

题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）

例10．（2024·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数fxx36x2axb，

对于任意的实数a，b，总存在x00,3，使得fx0m成立，则当m取最大值时，ab

（）

A．7B．4C．4D．7

4

例11．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）设函数fxxaxb，若对任意的实数a，

x

b，总存在x01,3使得fx0m成立，则实数m的最大值为（）

843

A．－1B．0C．D．1

3

4

例12．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxax，若对任意的正实数a，总存在

x

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x01,4，使得fx0m，则实数m的取值范围为（）

A．,0B．,1C．,2D．,3

x2

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)axb，若对任意的实数a，b，

x2

总存在x0[1,2]，使得fx0m成立，则实数m的取值范围是（）

112

A．,B．,C．,D．(,1]

423

11

变式7．（2024·高一课时练习）已知函数fxaxba,bR，当x,2时，设fx

x2

的最大值为Ma,b，则Ma,b的最小值为（）

111

A．B．C．D．1

842

1

变式8．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数fxlnxaxba,bR，且

x

11

2，满足lnxe1，当时，设函数的最大值为，则

x01,e0x,x0fxMa,b

x0e

Ma,b的最小值为（）

3e1e1e2

A．B．C．D．

2222

变式9．（2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、bR，且对于0x1

21

时，不等式1x2axb均成立，则实数对a,b_________．

2

题型五：倍值函数

例13．（2024·全国·高三专题练习）函数fx的定义域为D，若满足：①fx在D内是单

ab

调函数；②存在a,bD使得fx在a,b上的值域为,，则称函数fx为“成功函

22

x

数”．若函数fxlogmm2t（其中m0，且m1）是“成功函数”，则实数t的取值范

围为（）

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1111

A．0,B．,C．,D．0,

8848

例14．（2024·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数f(x)的定义域为D，若存在

闭区间[a,b]D，使得f(x)函数满足：（1）f(x)在[a,b]上是单调函数；（2）f(x)在[a,b]上

的值域是2a,2b，则称区间[a,b]是函数f(x)的“和谐区间”，下列结论错误的是

A．函数f(x)x2(x0)存在“和谐区间”

B．函数f(x)ex(xR)不存在“和谐区间”

4x

C．函数f(x)(x0)存在“和谐区间”

x21

1

D．函数f(x)log(ax)（a0，a1）不存在“和谐区间”

a8

例15．（2024·安徽·高三统考期末）函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]D，使得

函数f(x)满足：①f(x)在[a,b]内是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间

[a,b]为yf(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有

①；②f(x)ex(xR)；

③；④

A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③

变式10．（2024·全国·高三专题练习）函数fx的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭

区间a,bD，使得函数fx满足：①fx在a,b内是单调函数；②fx在a,b上的值

域为ka,kb，则称区间a,b为yfx的k级“理想区间”.下列结论错误的是（）

A．函数fxx2（xR）存在1级“理想区间”

B．函数fxex（xR）不存在2级“理想区间”

4x

C．函数fx（x0）存在3级“理想区间”

x21

D．函数fxtanx，x,不存在4级“理想区间”

22

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变式11．（2024·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在a,bD，

ab

使fx在a,b上的值域为,，则称fx为“倍缩函数”.若函数fx=ext为“倍缩函

22

数”，则实数t的取值范围是

1ln21ln2

A．,B．,

22

1ln21ln2

C．,D．,

22

题型六：函数不动点问题

例16．（2024·广西柳州·统考模拟预测）设函数f(x)exe1xa（aR，e为自然对

数的底数），若曲线ysinx上存在点x0,y0使fy0y0成立，则a的取值范围是（）

11

A．1,2e2B．ee,1C．1,eD．ee,2e2

lnx2ex1

例17．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxxaaR，若曲线y(e是

xe2x1

自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则a的取值范围是

1

A．,0B．0,eC．,D．0,

e

例18．（2024·江苏·高二专题练习）若存在一个实数t，使得Ftt成立，则称t为函数Fx

的一个不动点.设函数gxex1exa(aR,e为自然对数的底数)，定义在R上的连

续函数fx满足fxfxx2，且当x0时，f'xx.若存在

1

xx|fxf1xx，且x0为函数gx的一个不动点，则实数a的取值范围为（）

02

eeee

A．,B．,C．,eD．,

2222

变式12．（2024·全国·高三专题练习）设函数f(x)exxa（aR，e为自然对数的底数），

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31010，

若曲线ysinxcosx上存在点(x0y0)使得f(y0)y0，则a的取值范围是

1010

1e1e

A．[,1]B．[，e1]C．[1，e1]D．[1,e]

ee

变式13．（2024·全国·高三专题练习）设函数fxex2xa（aR），e为自然对数的底

数，若曲线ysinx上存在点x0,y0，使得ffy0y0，则a的取值范围是（）

1

A．1e,1eB．1,1eC．e,e1D．1,e

题型七：函数的旋转问题

例19．（2024·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐

标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然

是一个函数的图象，则α的最大值为（）

πππ

A．πB．C．D．

234

例20．（2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设D是含数1的有限实数集，fx是

π

定义在D上的函数，若fx的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，

6

f1的可能取值只能是（）

33

A．3B．C．D．0

23

x2

例21．（2024·全国·高三专题练习）双曲线y21绕坐标原点O旋转适当角度可以成为

3

函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（）

①f（x）是奇函数；

3333

②f（x）的图象过点,或,；

2222

33

③f（x）的值域是,,；

22

④函数y＝f（x）－x有两个零点．

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A．4个B．3个C．2个D．1个

xπ

变式14．（2024·全国·高三专题练习）将函数y2sinx0,的图像绕着原点逆时针旋

22

转角得到曲线T，当0,时都能使T成为某个函数的图像，则的最大值是（）

ππ32

A．B．C．πD．π

6443

题型八：函数的伸缩变换问题

例22．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为R的函数fx满足

x2x,x0,1

fx22fx1，当x0,2时，fx1.若x0,4时，

,x1,2

x

7t

t2fx3t恒成立，则实数t的取值范围是（）

2

515

A．1,2B．1,C．,2D．2,

222

例23．（2024·全国·高三专题练习）定义域为R的函数fx满足fx22fx，当x0,2

x2x,x0,1

2

3m1

时，fxx，若当x4,2时，不等式恒成立，则

12fxm

,x1,242

2

实数m的取值范围是（）

A．2,3B．1,3

C．1,4D．2,4

例24．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数fx满足fx2fx2，当

x2x1,x[0,1)

3

x0,2时，f(x)x，设fx在2n2,2n上的最大值为anN*则数

12n

,x[1,2)

2

列{an}的前n项和Sn的值为（）

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nnn1n1

151151

A．55B．5C．55D．5

222222

变式15．（2024·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数fx满足

x2x,x(