2025年高考数学必刷题分类：第58讲、两条直线的位置关系（学生版）

第58讲两条直线的位置关系

知识梳理

知识点一：两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．

两直线方程平行垂直

且

l1:A1xB1yC10A1B2A2B10

A1A2B1B20

l2:A2xB2yC20B1C2B2C10

l:ykxb

111（斜率存在）

或

l2:yk2xb2k1k2,b1b2与

k1k21或k1k2中有一个

l1:xx1,xx,xx,xx为，另一个不存在．

（斜率不存在）12120

l2:xx2

知识点二：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点的距离公式为22．

P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|(x1x2)(y1y2)

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|x2y2.

2、点到直线的距离

|AxByC|

点到直线的距离00

P0(x0,y0)l:AxByC0d

A2B2

特别地，若直线为：，则点到的距离；若直线为：，

lx=mP0(x0,y0)ld|mx0|ly=n

则点到的距离

P0(x0,y0)ld|ny0|

3、两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求间距离的方法：

l1,l2l1,l2

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．

|CC|

（）设，则与之间的距离12

2l1:AxByC10,l2:AxByC20l1l2d

A2B2

注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．

4、双根式

双根式22型函数求解，首先想到两点间的距离，

f(x)a1xb1xc1a2xb2xc2

或者利用单调性求解．

【解题方法总结】

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点，关于点，的对称点为

P(x1y1)Q(x0y0)

xx

12

x0

2

P(x，y)，则根据中点坐标公式，有

22yy

y12

02

可得对称点，的坐标为，

P(x2y2)(2x0x12y0y1)

2、点关于直线对称

点，关于直线对称的点为，，连接，交于点，

P(x1y1)l:AxByC0P(x2y2)PPlM

则l垂直平分PP，所以PPl，且M为PP中点，又因为M在直线l上，故可得

kk1

lPP

，解出(x，y)即可．

x1x2y1y222

ABC0

22

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，

再由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

4、直线关于直线对称

求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线

l1:axbyc0l2:dxeyf0l3

第一步：联立，算出交点，

l1l2P(x0y0)

第二步：在上任找一点（非交点），，利用点关于直线对称的秒杀公式算出

l1Q(x1y1)

对称点，

Q(x2y2)

第三步：利用两点式写出方程

l3

5、常见的一些特殊的对称

点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)．

点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)．

点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为

(x，2by)．

点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)．

点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xy=k的对称点为

(ky，xk)．

6、过定点直线系

过已知点，的直线系方程（为参数）．

P(x0y0)yy0k(xx0)k

7、斜率为定值直线系

斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）．

8、平行直线系

与已知直线AxByC0平行的直线系方程AxBy0（为参数）．

9、垂直直线系

与已知直线AxByC0垂直的直线系方程BxAy0（为参数）．

10、过两直线交点的直线系

过直线与的交点的直线系方程：

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

（为参数）．

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

必考题型全归纳

题型一：两直线位置关系的判定

例1．（2024·高二课时练习）直线2xy20与ax4y20互相垂直，则这两条直线的交

点坐标为（）

A．1,4B．0,2

1

C．1,0D．0,

2

例2．（2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点A(2,m)和点B(m,4)的

11

直线为l1，l:y2x1,l:yx.若l//l,ll，则mn的值为（）

23nn1223

A．10B．2

C．0D．8

例3．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线l1:x2ay50，

l2:3a1xay20，则a1是l1l2的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

变式1．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）直线l1：mx2y20与直线l2：x(m1)y0

平行，则m（）

A．1或2B．2C．1D．2

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax2y10，l2：3axya0，

则条件“a1”是“l1l2”的（）

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件

变式3．（2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线l1:xy0,l2:axby10，

若l1l2，则ab（）

A．1B．0C．1D．2

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，

AB∥CD，则点D的坐标为（）

945413

A．(,)B．(,)

7777

3813385

C．(,)D．(,)

3377

变式5．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知ABC的顶点B2,1，C6,3，其垂心为

H3,2，则其顶点A的坐标为

A．19,62B．19,62C．19,62D．19,62

1

变式6．（2024·全国·高三专题练习）直线l1:x1ay1aaR，直线l:yx，下

22

列说法正确的是（）

A．aR，使得l1∥l2B．aR，使得l1l2

C．aR，l1与l2都相交D．aR，使得原点到l1的距离为3

变式7．（2024·全国·高三对口高考）设a,b,c分别为ABC中A,B,C所对边的边长，则

直线sinAxayc0与直线bxsinBysinC0的位置关系是（）

A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般

地，设l1:A1xB1yC10（A1,B1不全为0），l2:A2xB2yC20（A2,B2不全为0），则：

当A1B2A2B10时，直线l1,l2相交；

当A1B2A2B1时，l1,l2直线平行或重合，代回检验；

当A1A2B1B20时，l1,l2直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．

题型二：两直线的交点与距离问题

例4．（2024·全国·高三专题练习）若直线l:ykx3与直线2x3y60的交点位于第一

象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

ππππ

A．,B．,

6362

ππππ

C．,D．,

3262

例5．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知三条直线l1:x2y20，l2:x20，

l3:xky0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

例6．（2024·全国·高三专题练习）若三条直线l1:4xy3,l2:mxy0,l3:xmy2不能围

成三角形，则实数m的取值最多有（）

A．2个B．3个

C．4个D．6个

变式8．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点P(x,y)在直线

2xy50上，O是原点，则OP的最小值为（）

A．22B．2C．5D．4

变式9．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点Px0,y0在直线3x4y100

上，则22的最小值为（）

x0y0

A．1B．2C．3D．4

变式10．（2024·高二课时练习）已知点Pa,2、A2,3、B1,1，且PAPB，则

a.

变式11．（2024·全国·高二专题练习）已知点Mx,4与点N2,3间的距离为72，则

x．

变式12．（2024·全国·高二课堂例题）已知点A2,1，B3,4，C2,1，则ABC的面积

为．

变式13．（2024·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点P3,3和直线l:2y30，点P到

直线l的距离为d，则d.

变式14．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点0,1到直线ykx2

的距离的最大值是．

变式15．（2024·高二课时练习）过直线l1:x2y30与直线l2:2x3y80的交点，且

到点P0,4的距离为1的直线l的方程为．

变式16．（2024·江西新余·高二校考开学考试）若点P3,1到直线l:3x4ya0a0的

距离为3，则a.

变式17．（2024·全国·高三专题练习）点0,0，3,4到直线l的距离分别为1和4，写出一

个满足条件的直线l的方程：.

变式18．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线l1:x2y60与

l2:xay50平行，则l1与l2间的距离是.

变式19．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线

l1:3x4y60与l2:6x8y90之间的距离为．

变式20．（2024·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线l1与直线l2:xy20平行，

且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为．

【解题方法总结】

两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距

离公式的结构．

题型三：有关距离的最值问题

例7．（2024·北京·高三强基计划）(x9)24x2y2(y3)29的最小值所属区间

为（）

A．[10,11]B．(11,12]

C．(12,13]D．前三个答案都不对

2222

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x1,x2,y1,y2，满足x1y14，x2y29，

x1x2y1y20，则x1y19x2y29的最小值是．

例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面上两点P(0,1),Q(3,6)，在直线yx上取两点

M,N使MN2，且使PM+MN+NQ的值取最小，则N的坐标为．

变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知点P,Q分别在直线l1:xy20与直线

l2:xy10上，且PQl1，点A3,3，B3,0，则APPQQB的最小值为.

变式22．（2024·全国·高二课堂例题）已知直线l:kxy2k0过定点M，点Px,y在直

线2xy10上，则MP的最小值是（）

355

A．5B．5C．D．

55

变式23．（2024·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分

22

家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：xayb

可以转化为点x,y到点a,b的距离，则x21x24x8的最小值为（）．

A．3B．221C．23D．13

变式24．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知x,yR，满足2xy2，则xx2y2的最

小值为（）

4812

A．B．C．1D．

553

变式25．（2024·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,2，

点B1,0,P为直线2x4y30上一动点，则PAPB的最小值是（）

A．5B．4C．5D．6

变式26．（2024·高二课时练习）已知点A1,3,B5,2，点P在x轴上使APBP最大，

求点P的坐标．

变式27．（2024·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习）在直线l:3xy10上求一

点P，使得：

(1)P到A4,1和B0,4的距离之差最大；

(2)P到A4,1和C3,4的距离之和最小.

变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fxalnx11aR的图象恒过定点

22

A，圆O:xy4上的两点Px1,y1，Qx2,y2满足PAAQR，则

2x1y172x2y27的最小值为()

A．25B．75

C．155D．3025

变式29．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之

和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所

在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则

F(x,y)(x23)2y2(x13)2(y13)2x2(y2)2的最小值为（）

A．4B．223C．323D．423

2

变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知xy0，则x2y22x2y2x2y2

的最小值为（）

A．5B．22C．10D．25

变式31．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设mR，过定点A的动直线

xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点Px,y，则PAPB的最大值是

（）

A．5B．10C．5D．10

变式32．（2024·全国·高二专题练习）过定点A的动直线xky0和过定点B的动直线

kxy2k10交于点M，则MAMB的最大值是（）

A．22B．3C．10D．15

【解题方法总结】

数学结合，利用距离的几何意义进行转化．

题型四：点点对称

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知Aa,6，B2,b，点P2,3是线段AB的中点，则

ab.

例11．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点

M的坐标为(2,-1)，则线段AB的长度为.

例12．（2024·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则

AB等于

变式33．（2024·高一课时练习）已知直线l与直线l1:y1及直线l2:xy70分别交于点

P，Q．若PQ的中点为点M1,1，则直线l的斜率为．

【解题方法总结】

求点P(x1,y1)关于点M(x0,y0)中心对称的点P'(x2,y2)，由中点坐标公式得

x22x0x1

y22y0y1

题型五：点线对称

例13．（2024·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数yx4的图象与x

轴，y轴分别交于点A，B，点C(2,0)是x轴上一点，点E，F分别为直线yx4和y轴

上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（）

53

A．E,，F(0,2)B．E(2,2)，F(0,2)

22

5322

C．E,，F0,D．E(2,2)，F0,

2233

例14．（2024·全国·高二专题练习）若直线l1:y2k1x和直线l2关于直线yx1对称，

则直线l2恒过定点（）

A．2,0B．(1,-1)C．1,1D．2,0

1

例15．（2024·全国·高二假期作业）抛物线yx2的焦点关于直线xy10的对称点的

4

坐标是（）

1111

A．(2,1)B．(1,1)C．,D．,

441616

变式34．（2024·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从A3,4出发，经过坐标轴反

射两次经过点D6,2，则总路径长即ABBCCD总长为（）

A．35B．6C．313D．85

变式35．（2024·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点B(2,1)关于直线x+y20对称，则

点A的坐标为（）

A．(1,4)B．(4,5)

C．(3,4)D．(4,3)

变式36．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，ABAC3，点P

是边AB上异于A､B的一点，光线从点P出发，经BC､CA反射后又回到点P，如图，若光线

QR经过ABC的重心，则AP（）

33

A．B．C．1D．2

24

【解题方法总结】

求点P(x1,y1)关于直线l0对称的点P'(x2,y2)

方法一：（一中一垂），即线段PP'的中点M在对称轴l0上，若直线PP'的斜率存在，

则直线PP'的斜率与对称轴l0的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点P'(x2,y2)

''

方法二：先求经过点P(x1,y1)且垂直于对称轴l0的直线（法线）l0，然后由l0l0M得

x2xx

线段的中点，从而得201

PP'M(x0,y0)

y22y0y1

题型六：线点对称

例16．（2024·高二课时练习）直线l:2x3y10关于点A1,2对称的直线l的方程

为．

例17．（2024·全国·高二专题练习）直线2xy30关于点A5,3的对称直线方程

是．

例18．（2024·河北廊坊·高三校考阶段练习）与直线l:2x3y10关于点4,5对称的直线

的方程为.

变式37．（2024·全国·高三专题练习）直线axy3a10恒过定点M，则直线

2x3y60关于M点对称的直线方程为．

变式38．（2024·辽宁营口·高三统考期末）若直线l1：ykx4与直线l2关于点M1,2对称，

则当l2经过点N0,1时，点M到直线l2的距离为.

变式39．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平

移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平

移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于

点（2，3）对称，则直线l的方程是.

【解题方法总结】

求直线l关于点M(x0,y0)中心对称的直线l'

求解方法是：在已知直线l上取一点P(x1,y1)关于点M(x0,y0)中心对称得P'(x2,y2)，再

利用l//l'，由点斜式方程求得直线l'的方程（或者由l//l'，且点M(x0,y0)到直线l及l'的

距离相等来求解）．

题型七：线线对称

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l1:xy30，直线l:xy10，若直线l1关

于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为．

例20．（2024·全国·高三专题练习）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5

＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()

A．32B．22C．33D．42

例21．（2024·全国·高三专题练习）直线x2y10关于直线yx0对称的直线方程是

（）

A．2xy10B．2xy10

C．2xy10D．x2y10

变式40．（2024·全国·高三专题练习）设直线l1:x2y20与l2关于直线l:2xy40对

称，则直线l2的方程是（）

A．11x2y220B．11xy220

C．5xy110D．10xy220

变式41．（2024·全国·高三专题练习）直线axbyc0关于直线xy0对称的直线为（）

A．axbyc0B．bxayc0C．bxayc0D．bxayc0

变式42．（2024·全国·高三专题练习）如果直线yax2与直线y3xb关于直线yx对

称，那么（）

11

A．a,b6B．a,b6C．a3,b2D．a3,b6

33

变式43．（2024·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0