2025年高考数学必刷题分类：第59讲、圆的方程（学生版）

第59讲圆的方程

知识梳理

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

知识点二：基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心坐标为（a，b），半径为r(r0)

2222DE

（2）圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)，圆心坐标为,，

22

D2E24F

半径r

2

（3）圆的直径式方程：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

（4）圆的参数方程：

xrcos

①x2y2r2(r0)的参数方程为（为参数）；

yrsin

xarcos

②(xa)2(yb)2r2(r0)的参数方程为（为参数）．

ybrsin

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

(arcos,brsin)（为参数，（a,b）为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角

函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．

2、点与圆的位置关系判断

（）点与圆222的位置关系：

1P(x0,y0)(xa)(yb)r

①(xa)2(yb)2r2点P在圆外；

②(xa)2(yb)2r2点P在圆上；

③(xa)2(yb)2r2点P在圆内．

22

（2）点P(x0,y0)与圆xyDxEyF0的位置关系：

22

①x0y0Dx0Ey0F0点P在圆外；

22

②x0y0Dx0Ey0F0点P在圆上；

22

③x0y0Dx0Ey0F0点P在圆内．

必考题型全归纳

题型一：求圆多种方程的形式

例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过A0,1、B0,3两点，且与直线yx1相切的

圆的方程可以是（）

2222

A．x1y22B．x2y25

2222

C．x1y22D．x2y25

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为(2，1)，其一条直径的两个端点恰好在

两坐标轴上，则这个圆的方程是（）

A．x2y24x2y0B．x2y24x2y50

C．x2y24x2y50D．x2y24x2y0

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆心为(2,3)的圆与直线xy10相切，则该圆

的标准方程是（）

A．(x2)2(y3)28B．(x2)2(y3)28

C．(x2)2(y3)218D．(x2)2(y3)218

变式1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆C:x2y225与直线

l:3x4ym0m0相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为（）

A．(x3)2(y4)216B．(x3)2(y4)225

C．(x6)2(y8)216D．(x6)2(y8)225

变式2．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线y24x的焦点F的直线

交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A1,B1两点，以线段A1B1

为直径的圆C过点(2,3)，则圆C的方程为（）

A．(x1)2(y2)22B．(x1)2(y1)25

C．(x1)2(y1)217D．(x1)2(y2)226

变式3．（2024·全国·高三专题练习）求过两点A0,4,B4,6，且圆心在直线x2y20

上的圆的标准方程是（）

A．(x4)2(y1)225B．(x4)2(y1)225

C．(x4)2(y1)225D．(x4)2(y1)225

变式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线

(3＋2)x(32)y50恒过定点P，则与圆C：(x2)2(y3)216有公共的圆心且

过点P的圆的标准方程为（）

A．(x2)2(y3)236B．(x2)2(y3)225

C．(x2)2(y3)218D．(x2)2(y3)29

22

变式5．（2024·全国·高三专题练习）圆C：x1y22关于直线xy0对称的

圆的方程是（）

A．(x1)2(y2)22B．(x1)2(y2)22

C．(x2)2(y1)22D．(x2)2(y1)22

变式6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大

视角定理”（也称“米勒定理”）：若点A,B是MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的

一个动点，当且仅当ABC的外接圆与边ON相切于点C时，ACB最大．在平面直角坐标

系中，已知点D2,0，E4,0，点F是y轴负半轴的一个动点，当DFE最大时，DEF

的外接圆的方程是（）．

2222

A．x3y229B．x3y229

2222

C．x22y38D．x22y38

变式7．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）过点P4,2作圆x2y24的两条切线，

切点分别为A，B，则PAB的外接圆方程是（）

2222

A．x2y15B．x4y220

2222

C．x2y15D．x4y220

变式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知A(3,0),B(3,0),C(0,3)，

则ABC外接圆的方程为（）

A．(x1)2y22B．(x1)2y24C．x2(y1)22

D．x2(y1)24

【解题方法总结】

（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆

心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数

法是求圆的方程常用的方法．

（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂

直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．

题型二：直线系方程和圆系方程

例4．（2024·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和

x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（）

A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0

C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0

例5．（2024·高二课时练习）过圆x2y22y40与x2y24x2y0的交点，且圆心

在直线l:2x4y10上的圆的方程是．

例6．（2024·江苏·高二专题练习）曲线3x2y23与yx22x8的四个交点所在圆的

方程是．

变式9．（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线x2y0与圆

x2y24x2y40的交点，且过点1,0的圆的方程为.

变式10．（2024·高二校考课时练习）过两圆x2y2xy20与x2y24x4y80的

交点和点3,1的圆的方程是.

变式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线l:2xy40与圆

C:x2y22x4y0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程

为.

变式12．（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆x2y26x40和x2y26y280

的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程为

变式13．（2024·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆C过直线2xy40和圆

x2y22x4y10的交点，且原点在圆C上．则圆C的方程为．

【解题方法总结】

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交

点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．

（1）直线系方程：若直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20相交于点P，

22

则过点P的直线系方程为：1(A1xB1yC1)2(A2xB2yC2)0(120)

22

简记为：1l12l20(120)

当10时，简记为：l1l20（不含l2）

2222

（2）圆系方程：若圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20

相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：

2222

xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0(1)

简记为：C1C20(1)，不含C2

当1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）l:(D1D2)x(E1E2)yF1F20

注意：与圆C共根轴l的圆系C:Cl0

题型三：与圆有关的轨迹问题

例7．（2024·全国·高三专题练习）点P1,0，点Q是圆x2y24上的一个动点，则线

段PQ的中点M的轨迹方程是（）

22

1221

A．xy1B．xy4

22

22

2112

C．xy1D．xy4

22

22

例8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是C：x2y425上的两

个动点，P是线段AB的中点，若AB6，则点P的轨迹方程为（）

2222

A．x4y216B．x2y411

2222

C．x2y416D．x4y211

例9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》

中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数(0,1)的点的轨迹

是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到A(2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2

倍．求点P的轨迹方程；

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知P(4,0)是圆x2y236内的一点,A,B是圆上

两动点，且满足APB90，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程．

变式15．（1977·福建·高考真题）动点Px,y到两定点A3,0和B3,0的距离的比等于2，

求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．

变式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C：x2y22x4y30.

(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；

(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PMPO，求

点P的轨迹方程.

变式17．（2024·全国·高三专题练习）由圆x2y29外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A，B

两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知圆G:x2y24x0，平面上一动点P满足：

PM2PN26且M(1,0)，N(1,0)．求动点P的轨迹方程；

变式19．（2024·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别

有一个动点Q、R，且BQCR．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．

变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0),B(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

变式21．（2024·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异

于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的

轨迹方程.

变式22．（2024·高二课时练习）已知点A2,0是圆x2y24上的定点，点B1,1是圆内

一点，P、Q为圆上的动点．

(1)求线段AP的中点M的轨迹方程．

(2)若PBQ90，求线段PQ中点N的轨迹方程．

【解题方法总结】

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条

件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

例10．（2024·河南·高三阶段练习）“a1”是“方程2x22y22ax6y5a0表示圆”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

例11．（2024·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆C的方程为f(x,y)0，点P(x0,y0)

不在圆C上，也不在圆C的圆心上，方程C:f(x,y)f(x0,y0)0，则下面判断正确的是（）

A．方程C表示的曲线不存在

B．方程C表示与C同心且半径不同的圆

C．方程C表示与C相交的圆

D．当点P在圆C外时，方程C表示与C相离的圆

例12．（2024·高三课时练习）关于x、y的方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示一个

圆的充要条件是（）.

A．B0，且AC0

B．B1，且D2E24AF0

C．B0，且AC0，D2E24AF0

D．B0，且AC0，D2E24AF0

变式23．（2024·全国·高三专题练习）若方程x2y2ax2y20表示圆，则实数a的

取值范围是（）

A．a2B．a2

C．a2或a2D．a2或a2

变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知方程x2y2mx2y20表示圆，则实数

m的取值范围为（）

A．(1,)B．(2,)C．(3,)D．(4,)

变式25．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C：

x2y22m1x2m1y2m26m40过坐标原点，则实数m的值为（）

A．2或1B．-2或-1C．2D．-1

变式26．（2024·全国·高三专题练习）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，

则λ的取值范围是（）

1

A．(1，＋∞)B．,1

5

1

C．(1，＋∞)∪(,)D．R

5

变式27．（2024·高二课时练习）若0,2，使曲线

x2cosy2sinxcosysin10是圆，则（）

55

A．B．C．或D．

44442

【解题方法总结】

方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，故在解决圆的一般

DE

式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,，半

22

1

径rD2E24F

2

题型五：点与圆的位置关系判断

例13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点2,1在圆x2y2xya0的外部，则a

的取值范围是（）

1111

A．,B．,C．4,D．,4,

2222

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点P1,2在圆C：x2y2kx4yk210的

外部，则k的取值范围是（）

A．2k1B．1k2C．k2D．2<k<2

例15．（2024·四川自贡·高一统考期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点

A1,1,B0,1，APAOAB，则的最大值为（）

3

A．B．3C．2D．3

2

变式28．（2024·全国·高二专题练习）点P5,m与圆x2y224的位置关系是（）

A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定

变式29．（2024·全国·高二专题练习）若点a1,a1在圆x2y22ay40的内部，

则a的取值范围是（）.

1

A．a1B．0a1C．1aD．a1

5

变式30．（2024·全国·高二专题练习）已知圆O:x2y2r2，直线l：3x4yr2，若l

与圆O相交，则（）．

A．点P3,4在l上B．点P3,4在圆O上

C．点P3,4在圆O内D．点P3,4在圆O外

【解题方法总结】

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外

还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．

题型六：数形结合思想的应用

例16．（2024·高二校考单元测试）若直线l:kxy20与曲线C:1(y1)2x1有两

个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

44444

A．,2B．,4C．2,,2D．,

33333

例17．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线yx24x3与直线

kxyk10有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

1231312

A．,B．0,C．,D．,

2342443

例18．（2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线yxb与曲线

y14x2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是（）

A．122,122B．122,1

C．1,122D．3,122

变式31．（2024·全国·高二专题练习）直线2xy20与曲线xy1x2y240的

交点个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

变式32．（2024·高二单元测试）若两条直线l1：yxm，l2：yxn与圆

x2y22x2yt0的四个交点能构成矩形，则mn（）

A．0B．1C．2D．3

22

xy22

变式33．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线:1xy90，要

33

使直线ymmR与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A．3,33,33,3B．3,33,3

C．3,3D．3,3

变式34．（2024·吉林白山·统考二模）若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y4x2

有且只有一个交点，则实数k的值不可能是()

344

A．B．C．D．2

453

变式35．（2024·全国·高三专题练习）若直线l:xmy40与曲线x4y2有两个

交点，则实数m的取值范围是（）

33

A．0mB．0mC．0m3D．0m3

33

变式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知fx是定义在R上的奇函数，

2

其图象关于点2,0对称，当x0,2时，fx1x1，若方程fxkx20的

所有根的和为6，则实数k的取值范围是（）

2662

A．,B．,

412124

2626

C．,D．,

412412

变式37．（2024·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一

起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个

圆形区域x2y24．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数

1,x0

sgn(x)0,x0，则当x2y24时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）

1,x0

A．xx2(ysgn(x))210B．y(xsgn(y))2y210

C．xx2(ysgn(x))210D．y(xsgn(y))2y210

【解题方法总结】

研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，

尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．

题型七：与圆有关的对称问题

例19．（2024·高二单元测试）圆x2y22x4y10关于直线axy10对称，则

a．

例20．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知圆C:x2y24x2ay30关于直线

x2y60对称，圆C交y于A、B两点，则AB

22

例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆x1y29上存在两点关于直线

axby20a0,b0对称，则a24b2的最小值是．

变式38．（2024·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆D：x2y24x2y30

关于直线4x2y50对称，则圆C的方程为．

22

变式39．（2024·全国·高三专题练习）已知圆x1y39上存在两点关于直线

13

axby10a0,b0对称，则的最小值是．

ab