2025年高考数学必刷题分类：第63讲、直线与圆的综合（学生版）

第63讲直线与圆的综合

必考题型全归纳

题型一：距离的创新定义

例1．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小

的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的

周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知

A(1,0),B(1,0),C(0,2)，P为ABC内一点，记f(P)|PA||PB||PC|，则f(P)的最小值

为，此时sinPBC.

例2．（2024·全国·高三专题练习）闵氏距离（Minkowskidistance）是衡量数值点之间距离

的一种非常常见的方法，设点A、B坐标分别为x1,y1，x2,y2，则闵氏距离

1

ppp

.若点A、B分别在yex和yx1的图像上，则

DpA,Bx1x2y1y2pN*

DpA,B的最小值为（）

A．21pB．2pC．e1pD．ep

例3．（2024·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个

关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和

最小．现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，则当点P满足

APBAPCBPC120时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称

为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的

向量，且b2,c3，则ababac的最小值是（）

A．323B．323

C．232D．232

变式1．（2024·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的

定义.设两组数据分别为Aa1,a2,,an和Bb1,b2,,bn，这两组数据间的闵氏距离定义

1

n

qq

为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：

dAB(q)akbk

k1

①若A(1,2,3,4),B(0,3,4,5)，则dAB(1)4；

②若A(a,a1),B(b1,b)，其中a,bR，则dAB(1)dAB(2)；

③若A(a,b),B(c,d)，其中a,b,c,dR，则dAB(1)dAB(2)；

232

④若Aa,a,B(b,b1)，其中a,bR，则dAB(2)的最小值为.

8

其中所有真命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

变式2．（2024·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的

点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，

即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则

F(x,y)(x23)2y2(x13)2(y13)2x2(y2)2的最小值为（）

A．4B．223C．323D．423

变式3．（2024·全国·高三专题练习）点M是ABC内部或边界上的点，若M到ABC三个

顶点距离之和最小，则称点M是ABC的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.

若A0,2，B1,0，C1,0时，点M0是ABC的费马点，且已知M0在y轴上，则

AM0BM0CM0的大小等于.

变式4．（2024·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分

家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(xa)2(yb)2

可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得

f(x)x24x20x22x10的最小值为．

题型二：切比雪夫距离

例4．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义dA,Bmax|x1x2|,|y1y2|

为两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）

的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意

三点A，B，C，都有dC,AdC,BdA,B；②已知点P（3，1）和直线l:2xy10，

4

则dP,l；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号

3

为．

例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义d(P1,P2)maxx1x2,y1y2

为两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离

为2，则点P的轨迹长度之和为．

，

例6．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,定义dA,Bmaxx1x2y1y2

、

为两点Ax1,y1Bx2,y2的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称dP,Q的最小

值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dP,l，给出下列四个命题:

①对任意三点A,B,C，都有dC,AdC,BdA,B；

4

②已知点P(3,1)和直线l:2xy10，则dP，l；

3

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

变式5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义

d(A,B)max{|x1x2|,|y1y2|}为两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直

线l上任一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l).

（1）求证：对任意三点A、B、C，都有d(A,C)d(C,B)d(A,B)；

（2）已知点P(3,1)和直线l:2xy10，求d(P,l)；

（3）定点C(x0,y0)，动点P(x,y)满足d(C,P)r（r0），请求出点P所在的曲线所围成图

形的面积.

变式6．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义d(A,B)|x1x2||y1y2|为

两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P,Q)的最

小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)，给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C，都有d(C,A)d(C,B)d(A,B)；

4

②已知点P(3,1)和直线l:2xy10，则d(P,l)；

3

③定义O(0,0)，动点P(x,y)满足d(P,O)1，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4；

其中真命题的个数（）

A．0B．1C．2D．3

变式7．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义

，，，、，

dABmaxx1x2y1y2为两点Ax1y1Bx2y2的“切比雪夫距离”，又设点P

及l上任意一点Q,称dP，Q的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作dP，l,给

出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C，都有dC，AdC，BdA，B；

8

②已知点P(2,1)和直线l:x2y20,则dP，l；

3

，、，，，，，＞＞，

③定点F1c0F2c0动点Pxy满足dPF1dPF22a2c2a0则点P

的轨迹与直线yk(k为常数)有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

变式8．（2024·全国·高三专题练习）在平面直线坐标系中,定义

，，，、，

dABmaxx1x2y1y2为两点Ax1y1Bx2y2的“切比雪夫距离”，又设点P

及l上任意一点Q,称aP，Q的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作dP，l，给出

下列四个命题:（）

①对任意三点A、B、C，都有dC，AdC，BdA，B；

4

②已知点P(3,1)和直线l:2xy10，则dP，l；

3

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

，、，，，，，＞＞，

④定点F1c0F2c0动点Pxy满足dPF1dPF22a2c2a0则点P

的轨迹与直线yk(k为常数)有且仅有2个公共点．

其中真命题的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

例7．（2024·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的

一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距

离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax1,y1，Bx2,y2，则曼哈顿距离

dA,Bx1x2y1y1，余弦距离eA,B1cosA,B，其中cosA,BcosOA,OB（O

为坐标原点）．已知M2,1，dM,N1，则eM,N的最大值近似等于（）

（参考数据：21.41，52.24．）

A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948

例8．（2024·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系xOy中，定义Ax1,y1,Bx2,y2两点间的

折线距离d(A,B)x1x2y1y2，该距离也称曼哈顿距离．已知点M(2,0),N(a,b)，若

d(M,N)2，则a2b24a的最小值与最大值之和为（）

A．0B．2C．4D．6

例9．（2024·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了

两点Px1,y1，Qx2,y2的曼哈顿距离为DP,Qx1x2y1y2.我们把到三角形三个顶

点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形ABC的三个顶点坐标为A2,4，B8,2，

C12,10，则ABC的“好点”的坐标为（）

A．2,4B．6,8C．0,0D．5,1

变式9．（2024·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太

人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴

距总和，即在直角坐标平面内，若Ax1,y1，Bx2,y2，则A，B两点的“曼哈顿距离”为

x2x1y2y1，下列直角梯形中的虚线可以作为A，B两点的“曼哈顿距离”是（）

A．B．

C．D．

变式10．（2024·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之

间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点Ax1,y1，Bx2,y2的曼哈顿距离为：

dA,Bx1x2y1y2.在此定义下，已知点O0,0，满足dO,M1的点M轨迹围成

的图形面积为（）

A．2B．1C．4D．2

题型四：圆的包络线问题

例10．（2024·全国·高三专题练习）设直线系M：xcos(y2)sin1(02)，则下

列命题中是真命题的个数是（）

①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数n(n3)，

存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相

等.

A．0B．1C．2D．3

例11．（2024·全国·高三专题练习）设直线系M:xcosy2sin1（02），则下

列命题中是真命题的个数是（）

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

④M中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；

⑥对于任意整数nn3，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；

⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．

A．3B．4C．5D．6

例12．（2024·全国·高三专题练习）设直线系M:xcos(y2)sin1(02)，对于下

列四个结论：

（1）当直线垂直于x轴时，0或；

（2）当时，直线倾斜角为120；

6

（3）M中所有直线均经过一个定点；

（4）存在定点P不在M中任意一条直线上．

其中正确的是（）

A．①②B．③④C．②③D．②④

变式11．（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）设有一组圆Ck：

22

xk1y3k2k4（kN*）.下列四个命题中真命题的是

A．存在一条定直线与所有的圆均相切

B．存在一条定直线与所有的圆均相交

C．存在一条定直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

变式12．（多选题）（2024·全国·高二专题练习）已知圆M:(x1cos)2(y2sin)21，

直线l:kxyk20，下面五个命题，其中正确的是（）

A．对任意实数k与，直线l和圆M有公共点

B．对任意实数k与，直线l与圆M都相离

C．存在实数k与，直线l和圆M相离

D．对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切

变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l:xcosysin10(aR)与圆

(x2)2(y5)24相切，则满足条件的直线l有（）条

A．1B．2C．3D．4

题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题

例13．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家

阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面

轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）

的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(1,0)和B(2,1)，

且该平面内的点P满足PA2PB，若点P的轨迹关于直线mxny20m,n0对称，

25

则的最小值是（）

mn

A．10B．20C．30D．40

例14．（2024·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并

称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数

（0，且1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到A(1,0)，

B(1,0)的距离之比为3，则点C到直线x2y80的距离的最小值为（）

A．253B．53

C．25D．3

PB

例15．（2024·福建泉州·高二统考期末）已知平面内两个定点A，B及动点P，若

PA

（0且1），则点P的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知O0,0，

2

，直线，直线，若为，的交点，则

Q0,l1:kxy2k30l2:xky3k20Pl1l2

2

3PO2PQ的最小值为（）

A．33B．632C．932D．36

变式14．（2024·全国·高二专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基

米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集

中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动

点M与两定点A，B的距离之比为(0,1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如

93

动点M与两定点A,0，B5,0的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为x2y29．下面，

55

我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O:x2y24上的动点M和定点A1,0，B1,1，

则2MAMB的最小值为（）

A．210B．21C．26D．29

变式15．（2024·高二单元测试）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）

的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定

点距离的比为常数k（k0且k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已

知O(0,0)，A(3,0)，圆C:(x2)2y2r2(r0)上有且仅有一个点P满足|PA|2|PO|，则

r的取值可以为（）

A．1B．2C．3D．4

变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面，l，A、B是直线l上

的两点，C、D是平面内的两点，且DAl，CBl，AD3，AB6，CB6．P是

平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角PBCD的余弦值

的最小值是（）

531

A．B．C．D．1

522

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥ABCD中，底面BCD为等边三角形，

ABACAD3，BC23，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间

MBNB

中的两动点，且2，MN2，则AMAN（）

MFNF

A．3B．4C．6D．8

变式18．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命

题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏

圆，已知P、Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8，圆D:x2+(y-4)2=1上的动点，O是坐标原点，则

2

|PQ|+|PO|的最小值是．

2

2

变式19．（2024·全国·高三专题练习）点P为圆A：x4y24上一动点，Q为圆B：

22

x6y41上一动点，O为坐标原点，则POPQPB的最小值为.

变式20．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB33，点E,F

在线段DB1上，且DEEFFB1，点M是正方体表面上的一动点，点P,Q是空间两动点，

PEQE

若2且PQ4，则MP·MQ的最小值为.

PFQF

题型六：圆中的垂直问题

例16．（2024·海南·统考模拟预测）已知直线l1:x3y10，直线l2过点1,0且与直线l1相

22

互垂直，圆C:xy4x2y30，若直线l2与圆C交于M，N两点，则MN．

例17．（2024·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为

x2y24x2y0．若直线y3xb上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，

则实数b的取值范围是．

例18．（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆O:x2y29的两条相互垂直的弦，垂足

为M2,2，则ACBD的最大值为．

变式21．（2024·全国·高三专题练习）过定点M(1,2)作两条相互垂直的直线l1、l2，设原点

到直线l1、l2的距离分别为d1、d2，则d1d2的最大值是．

变式22．（2024·全国·高三专题练习）过点P(0,3)作两条相互垂直的直线分别交圆x2y216

于A、C和B、D两点，则四边形ABCD面积的最大值为．

变式23．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，圆

222

C:xmyrm0.已知过原点O且相互垂直的两条直线l1和l2，其中l1与圆C相交

于A，B两点，l2与圆C相切于点D.若ABOD，则直线l1的斜率为.

题型七：圆的存在性问题

22

例19．（2024·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知圆C:x6y81和两点

A0,m，B0,mm0.若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值

为．

例20．（2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知动

22

圆M的方程为xa1y2a11aR，则圆心M的轨迹方程

为．若对于圆