2025年高考数学必刷题分类：第72讲、垂直弦问题（学生版）

第72讲垂直弦问题

知识梳理

x2y2

1、过椭圆1的右焦点F(c,0)作两条互相垂直的弦AB，CD．若弦AB，CD

a2b2

2

的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点(ac,0)．

a2b2

x2y2

2、过椭圆1的长轴上任意一点S(s,0)(asa)作两条互相垂直的弦AB，

a2b2

2

CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点(as,0)．

a2b2

x2y2

3、过椭圆1的短轴上任意一点T(0,t)(ttt)作两条互相垂直的弦AB，

a2b2

2

CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点(0,bt)．

a2b2

x2y2s2t2

4、过椭圆1内的任意一点Q(s,t)(1)作两条互相垂直的弦AB，

a2b2a2b2

22

CD．若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点(as,bt)．

a2b2a2b2

x2y2

5、以(x,y)为直角定点的椭圆1内接直角三角形的斜边必过定点

00a2b2

a2b2b2a2

(x,y)

a2b20b2a20

6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y轴上．

7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x轴上．

(x,y)y22px(x2p

8、以00为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点0，

y0)

x2y2

9、以(x,y)为直角定点的双曲线1内接直角三角形的斜边必过定点

00a2b2

2222

(abx,aby)

a2b20b2a20

必考题型全归纳

题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点

例1．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点A(1,0),B(1,0)，动点P满

足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否

经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为F13,0，F23,0，短

轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程及离心率；

(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，

B两点，直线AB是否过定点？并求出DAB面积的最大值.

例3．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知P为圆M:x2y24上一动点，过点P作

3

x轴的垂线段PD,D为垂足，若点Q满足DQDP.

2

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点N1,0作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别

为E､F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得GH为定值？若

存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

x2

变式1．（2024·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:y21，过

2

右焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为M，N．

(1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率；

(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面积的最大值．

变式2．（2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设F1,F2分别

x2y2

是椭圆C：＋＝1（ab0）的左､右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C

a2b2

2

的另一个交点为N，且直线MN的斜率为.

4

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设D0,1是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点，

证明直线AB过定点，并求出定点坐标.

x2y2

变式3．（2024·全国·高二专题练习）设F1,F2分别是圆C:1(ab0)的左､右焦点，

a2b2

2

M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为

4

(1)求椭圆C的离心率.

(2)设D(0,1)是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，

过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得|RQ|的长度为定

值？并证明你的结论.

x2y2

变式4．（2024·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆C:12b0，直线yx被椭

4b2

410

圆C截得的线段长为.

5

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线l1,l2.分别交椭圆C于M,N两点（点M,N不同

于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点.

题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点

x2y2

例4．（2024·高二课时练习）已知双曲线C：1a0,b0经过点P2,1，且双曲

a2b2

6

线C的右顶点到一条渐近线的距离为．

3

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与

点P不重合），设直线AB：ykxmk0，试求k和m之间满足的关系式．

例5．（2024·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)

323

的距离和它到定直线l：x的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.

23

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点A(3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线

MN过定点.

x2y2

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线:1a,b0，经过双曲线上的点

a2b2

A2,1作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别

1

为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.

4

(1)求双曲线的方程；

(2)过点A作ADMN（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得DE为定值？若存在，

求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点

例7．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：y22pxp0的

焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，AB8．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C上一点Pa,2作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于MN两点（异于点

P），证明：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标．

例8．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线E:x22py的焦点F关于直

线l:2xy40的对称点Q恰在抛物线E的准线上．

(1)求抛物线E的方程；

(2)M是抛物线E上横坐标为2的点，过点M作互相垂直的两条直线分别交抛物线E于

A,B两点，证明直线AB恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．

例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线C:y22px(p0)，O是坐

标原点，F是C的焦点，M是C上一点，|FM|4，OFM120．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点Qx0,2在C上，过Q作两条互相垂直的直线QA,QB，分别交C于A，B两点（异

于Q点）．证明：直线AB恒过定点．

变式5．（2024·浙江·高三专题练习）已知抛物线W:x22py(p0)的焦点F也是椭圆

x2y2

1的一个焦点，如图，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线W于

34

A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点.

(1)求p的值；

(2)求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标；

(3)设直线EG交抛物线W于M，N两点，试求|MN|的最小值.

变式6．（2024·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，

点P(2,t)在抛物线C上，且PF3．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C上一点N(m,4)作两条互相垂直的弦NA和NB，试问直线AB是否过定点，

若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4

5

与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且QFPQ．

4

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C上一点N(m,4)作两条互相垂直的弦NA和NB，试问直线AB是否过定点，

若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

变式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知点M与点F4,0的距离比它的直线l:x60

的距离小2．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)OA,OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，

求出该点坐标；若不经过，说明理由．

题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

x2y2

例10．（2024·福建龙岩·统考一模）双曲线：1的左右顶点分别为A1，A2，动直

43

线l垂直的实轴，且交于不同的两点M,N，直线A1N与直线A2M的交点为P.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）过点H(1,0)作C的两条互相垂直的弦DE，FG，证明：过两弦DE，FG中点的直线

恒过定点.

x2y2

例11．（2024·全国·高二期末）已知椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，抛物

a2b2

27

线y4x与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且|PF1|．

3

(1)求椭圆的方程；

(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点

为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．

例12．（2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，

M3,0，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)过M3,0作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与动点P的轨迹交于A、B，l2与动点P的

轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；证明：直线EF恒过定点，并求出定

点坐标；

(3)在（2）的条件下，求四边形ACBD面积的最小值．

变式9．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆

x2y23

:1ab0的离心率为，椭圆截直线x1所得线段的长度为3．过

a2b22

M3,0作互相垂直的两条直线l1、l2，直线l1与椭圆交于A、B两点，直线l2与椭圆交

于C、D两点，AB、CD的中点分别为E、F．

(1)求椭圆的方程；

(2)证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；

(3)求四边形ABCD面积S的最小值．

x2y2

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆M:1ab0上任意一点P到椭

a2b2

3

圆M两个焦点F1,F2的距离之和为4，且离心率为．

2

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设A为M的左顶点，过A点作两条互相垂直的直线AC,AD分别与M交于C,D两点，证

明：直线CD经过定点，并求这个定点的坐标．

题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

x2y2

例13．（2024·高二课时练习）已知双曲线C：1a0,b0的右焦点F，半焦距c=2，

a2b2

2

a1

点F到直线x的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，

c2

CD的中点分别为M，N.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.

例14．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到

323

点F2,0的距离与它到直线x的距离之比为．记点P的轨迹为曲线C．

23

(1)求曲线C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2.l1交曲线C于A，B两点，l2交曲线C于S，T两点，

线段AB的中点为M，线段ST的中点为N．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

x2y2

例15．（2024·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线C：1a0,b0的右焦

a2b2

2

a1

点为F，半焦距c2，点F到右准线x的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂

c2

直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.

x2y2

变式11．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线E:1a0,b0的一条渐近线

a2b2

方程为x3y0，焦点到渐近线的距离为1.

(1)求E的方程；

(2)过双曲线E的右焦点F作互相垂直的两条弦（斜率均存在）AB、CD.两条弦的中点分别

为P、Q，那么直线PQ是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.

题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点

2

例16．（2024·全国·高二专题练习）已知抛物线G：x2pyp0焦点为F，R为G上的

动点，K1,2位于G的上方区域，且RKRF的最小值为3.

(1)求G的方程；

(2)过点P0,2作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交G于A，B两点，l2交G于C，D两点，

且M，N分别为线段AB和CD的中点.直线MN是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；

若不是，说明理由.

例17．（2024·全国·高三专题练习）已知一个边长为83的等边三角形的一个顶点位于原点，

另外两个顶点在抛物线C:x22py(p0)上.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点T(0,p)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A、B两点，l2交抛物线C于D，

E两点，若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，证明：直线MN过定点．

例18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y22pxp0的焦点为F，过焦点F

且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，OHI的周长为458．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试

判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．

变式12．（2024·山西·高二校联考期末）已知抛物线C：x22py（p0），过点T0,p作

两条互相垂直的直线l1和l2，l1交抛物线C于A，B两点，l2交抛物线C于D，E两点，抛物

线C上一点Pt,2到焦点F的距离为3．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．

变式13．（2024·全国·高三专题练习）动圆P与直线x=1相切，点F(1,0)在动圆上．

(1)求圆心P的轨迹Q的方程；

(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：

直线MN必过定点．

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y22pxp0的焦点为F，点M在抛

物线C上，O为坐标原点，OMF是以OF为底边的等腰三角形，且OMF的面积为22．

(1)求抛物线C的方程．

(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，

试判断直线PQ是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．

变式15．（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，设点F1,0，直

线l:x1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．RQFP，

PQl．

(1)求动点Q的轨迹的方程E；

(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直

线MN过定点R的坐标．

变式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知

111

点Q(1,2)，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.

kOPkOQkPQ

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；

(3)过点D(1,0)任作两条互相垂直的直线l1,l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段

AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.

x2y2

变式17．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆1ab0的左、右

a2b2

2

焦点分别为F1、F2，抛物线y4x的焦点与椭圆的右焦点重合，点P为抛物线与椭圆在第

7

一象限的交点，且PF.

13

(1)求椭圆的方程；

(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A、B和C、D，线段AB的中点

为M，线段CD的中点为N，证明：直线MN过x轴上一定点，并求出该定点的坐标.

变式18．（2024·湖南·高三阶段练习）如图1，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y

2

轴正半轴上，准线与y轴的交点为．过点作圆C:x2y21的两条切线，两切点分

42

别为D，G，且DG．

3

（1）求抛物线的标准方程；

（2）如图2，过抛物线的焦点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线于，Q

两点和，两点，，分别为线段Q和的中点，求面积的最小值．

题型七：内接直角三角形范围与最值问题

y2x2

例19．（2024·江西·高二校联考开学考试）设椭圆1ab0的两焦点为F1，F2，

a