2025年高考数学必刷题分类：第73讲、斜率题型全归纳（学生版）

第73讲斜率题型全归纳

知识梳理

x2y2

1、已知P(x,y)是椭圆1上的定点，直线l（不过P点）与椭圆交于A，B两

00a2b2

b2x

点，且，则直线斜率为定值0．

kPAkPB0l2

ay0

x2y2

2、已知P(x,y)是双曲线1上的定点，直线l（不过P点）与双曲线交于A，

00a2b2

b2x

两点，且，直线斜率为定值0．

BkPAkPB0l2

ay0

、已知是抛物线2上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，

3P(x0,y0)y2pxlPMN

两点，若，则直线斜率为定值p．

kPAkPB0l

y0

x2y2

4、P(x,y)为椭圆:+=1(a0,b0)上一定点，过点P作斜率为k，k的两条

00a2b212

直线分别与椭圆交于M,N两点．

2y2b2x

（1）若kk(0)，则直线MN过定点(x0,y0)；

1200a2

b2a2b2a2b2

（2）若kk()，则直线MN过定点(x,y)．

12a2a2b20a2b20

、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭

5P(x0,y0)PABCD

x2y2

圆:+=1(a0,b0)于A、B、C、D，直线AB，CD的斜率分别为k，k，弦AB，

a2b212

CD的中点记为M，N．

yb2x

（1）若kk(0)，则直线MN过定点(x0,0)；

120a2

b2a2xb2y

（2）若kk()，则直线MN过定点(0,0)．

12a2a2b2a2b2

、过抛物线2上任一点引两条弦，，直线，斜率

6y2px(p0)P(x0,y0)PAPBPAPB

2y2p

存在，分别记为k,k，即kk(0)，则直线AB经过定点(x0,y)．

121200

必考题型全归纳

题型一：斜率和问题

例1．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点A2,0，B2,0，Px,y

3

是异于A，B的动点，kAP，k分别是直线AP，BP的斜率，且满足kk.

BPAPBP4

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直线

x4上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点E，若

不存在，请说明理由.

例2．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线

22

C1:y2p1x(p10)与抛物线C2:x2p2y(p20)在第一象限交于点P.

(1)已知F为抛物线C1的焦点，若PF的中点坐标为1,1，求p1；

(2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为k1.若斜率为k2的直线l与抛物线C1和C2均相切，证

明k1k2为定值，并求出该定值.

例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线

x2y2x

C:1(a0,b0)，渐近线方程为y0，点A2,0在C上；

a2b22

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直

线的斜率k1，k2满足k1k21，直线PQ与直线x2，y轴分别交于M，N两点，求证：AMN

的面积为定值.

变式1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点A4,0，B4,0，

2

M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且2MNANNB．

(1)求动点M的轨迹；

(2)设过P0,1的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜

112

率分别为k1，k2，k0，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出

k1k2k0

该定直线的方程；若不在，请说明理由．

变式2．（2024·全国·高三专题练习）设A2,n是抛物线E:x24y上一点，不过点A的直线

l交E于M，N两点，F为E的焦点．

11

(1)若直线l过F，求的值；

FMFN

(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为k1，k2和k，若k1k22，求k的值．

x2y23

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E:1(ab0)经过点A1,，离心

a2b22

1

率为．过点B0,2的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．

2

(1)求椭圆E的方程；

11

(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求的值．

kAMkAN

变式4．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点P4,3为双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为3.

a2b2

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)不过点P的直线ykxt与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：

直线ykxt过定点，并求该定点的坐标.

变式5．（2024·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(6,0)、F2(6,0)，

△

MF1F2的内切圆与直线F1F2相切于点D(4,0)，记点M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BP，AQ.

若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cosBAQ与cosBPQ的大小.

x2y2

变式6．（2024·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆C:1(ab0)的

a2b2

1

离心率为,A,A分别为椭圆C的左右顶点，F1,F2分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C的

212

221

上顶点，且BA1F1的外接圆半径为．

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P,Q两点（P,Q在x轴的两侧），记直线

A1P,A2P,A2Q,A1Q的斜率分别为k1,k2,k3,k4．

（i）求k1k2的值；

5

（ii）若kkkk，则求△FPQ的面积的取值范围．

143232

变式7．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线E:y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为

1的直线l与E交于A，B两点，且AB8．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设P1,m为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，

直线PM和PN的斜率分别为kPM和kPN．求证：kPMkPN为定值．

x2y2

变式8．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆C:1(ab0)的左、右顶

a2b2

33

点分别为A,A，点M1,在椭圆C上，且MAMA．

122124

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P,Q两点，记直线MP与

直线MQ的斜率分别为k1,k2，当k1k20时，求：

①直线l的方程；

②MPQ的面积．

变式9．（2024·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系xOy

中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．

(1)求E的方程；

(2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，且k1k21，

求证：直线BD经过定点．

变式10．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C：

x2y2

1ab0过点2,3，且C的右焦点为F2,0．

a2b2

(1)求C的离心率；

(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x8上的动点，记直线PM，PN，

PF的斜率分别为kPM，kPN，kPF，证明：kPMkPN2kPF．

x2y2

变式11．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知椭圆C:1(b0)的左

6b2

右焦点分别为F1,F2,C是椭圆的中心，点M为其上的一点满足MF1MF25,MC2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设定点Tt,0，过点T的直线l交椭圆C于P,Q两点，若在C上存在一点A，使得直线AP

的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，求t的范围．

变式12．（2024·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知定点F1,0，定直

线l:x1，动圆M过点F，且与直线l相切．

(1)求动圆的圆心M所在轨迹C的方程；

(2)已知点Pt,1是轨迹C上一点，点A,B是轨迹C上不同的两点（点A,B均不与点P重合），

、8

设直线AP,BP的斜率分别为k1k2，且满足kk，证明：直线AB过定点，并求出定

125

点的坐标．

题型二：斜率差问题

x2y23

例4．（2024·全国·高三专题练习）椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3．

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴

于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2mn为定值．

例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(1，0)，点M在x

轴上运动，点N在y轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足

PMNA0,OM2ONPO.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

22

(2)点Q为圆(x2)y1上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记k1,k2分别为切

11

线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.

k1k2

例6．（2024·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设M、N为抛物线C:y22pxp0

1

上的两点，M与N的中点的纵坐标为4，直线MN的斜率为.

2

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点P1,2，A、B为抛物线C（除原点外）上的不同两点，直线PA、PB的斜率

11

分别为k1，k2，且满足2，记抛物线C在A、B处的切线交于点Sxs,ys，线段AB

k1k2

的中点为ExE,yE，若ysyE，求的值.

变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图,已知点F是抛物线C：x22py(p0)的焦点,

点M在抛物线上,且FM(2,0).

（1）若直线l:xy20与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值;

（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线MP,MQ的斜率

分别为k1,k2,且满足k2k12,求证：△PQS的面积为定值.

22

xy1

变式14．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，

a2b22

A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，BF1，过F且斜率为k(k0)的直线l与

椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方．

(1)求椭圆C的标准方程；

S3

1

(2)记△AFM，BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；

S22

(3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线x4相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜

率分别为k1，k2，k3，求k2(k1k3)的值．

变式15．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆

x2y2

E:1(ab0)的两焦点分别为F13,0,F23,0，A是椭圆E上一点，当

a2b2

π3

F1AF2时，F1AF2的面积为.

33

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线l1:k1xy2k10k10与椭圆E交于M，N两点，线段MN的中点为P，过P作垂

直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S，过S作椭圆E的切线l2，l2的斜率为k2，求k1k2

的取值范围.

题型三：斜率积问题

x2y2

例7．（2024·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末）已知双曲线C:1(a0，

a2b2

b0)的两条渐近线互相垂直，且过点D2,1．

(1)求双曲线C的方程；

(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，

直线m过x轴上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于

M，N(M，N不在坐标轴上)两点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．

x2

例8．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，椭圆E:y21(a1)的左、右顶点分别为A,B，

a2

Qa,a，N为椭圆上的动点且在第一象限内，线段QN与椭圆E交于点M（异于点N），

直线OQ与直线BM交于点P，O为坐标原点，连接MA,NA,AP，且直线AM与BP的斜率之

2

积为．

a29

(1)求椭圆E的方程．

(2)设直线AN,AP的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定值．

x2y2

例9．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆C:1ab0的离心率

a2b2

1

e，过点0,3.

2

(1)求椭圆的标准方程；

1

(2)过点,0且斜率不为0的直线l与椭圆交于M,N两点，椭圆的左顶点为A，求直线AM

2

与直线AN的斜率之积.

x2y2

变式16．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆1ab0的

a2b2

3

离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5．

2

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、

B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、

EC的斜率分别记为k1、k2，求k1k2的值．

变式17．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆

x2y22

C：1ab0的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线yax6相切．

a2b22

(1)求C的方程；

(2)直线l:ykx1k0与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段

AB于点Q，且PQ平分APB，设直线OP的斜率为k（O为坐标原点），判断kk是否为

定值？并说明理由．

x2y2

变式18．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知椭圆C：1ab0的右顶

a2b2

2

点为M2,0，点P在圆D：x3ay22b2上运动，且MP的最大值为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点M的直线l与C交于A，B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1.求直线l被圆

D截得的弦长.

变式19．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线

x2y21

C:1(a0,b0)的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为yx，焦点到渐近线

a2b22

23m23k

距离为1，直线l:ykxm与C左右两支分别交于P，Q，且点,在双曲线C

33

V

上.记△APQ和BPQ面积分别为S1，S2，AP，BQ的斜率分别为k1，k2

(1)求双曲线C的方程；

(2)若S1S2432，试问是否存在实数，使得k1，k，k2.成等比数列，若存在，求出的

值，不存在说明理由.

x2y2

变式20．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆C:1(ab0)的右顶点

a2b2

2

为M2,0，离心率为.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点M的直线l与C交于A,B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1，证明：直线l

过定点.

变式21．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点M3,0，N3,0，动点Px,y满

1

足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C.

3

(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，ADx轴，垂足为D，连

结BD并延长交曲线C于点H.

（ⅰ）证明：直线AB与AH的斜率之积为定值；

（ⅱ）求△ABD面积的最大值.

变式22．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点M3,0,N3,0，动点Px,y满

1

足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．

3

(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连

接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．

x2y2

变式23．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知双曲线C:1(a0,b0)的离心

a2b2

率为6，且过点P(2,1)．

2

(1)求C的方程；

(2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若(2k11)(2k21)1，

试判断直线AB是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

变式24．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知A,B是椭圆C上的两点，A2,1,A、B

1

关于原点O对称，M是椭圆C上异于A,B的一点，直线MA和MB的斜率满足kk.

MAMB2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率存在且不经过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶点），

当△OPQ的面积最大时，求kOPkOQ的值.

变式25．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系xOy中，点P到点F3,0的

433

距离与到直线l：x的距离之比为，记动点P的轨迹为W.

32

(1)求W的方程；

1

(2)过W上两点A，B作斜率均为的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若直线

2

AB，CD的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.

变式26．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知椭圆

x2y22

C:1ab0的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线yax6相切．直

a2b22

线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．

(1)求C的方程；

(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．

22

变式．（四川泸州统考三模）已知椭圆xy的右焦点为，

272024··C1:1(ab0)F2,0

a2b2

短轴长等于焦距．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线交C于P,Q，交直线x22于点N，记OP,OQ,ON的斜率分别为k1,k2,k3，

22

若k1k2k31，求OPOQ的值．

题型四：斜率商问题

x2y2

例10．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线C:1,a0,b0

a2b2

的实轴长为4，左右两个顶点分别为A1,A2，经过点B4,0的直线l交双曲线的右支于M,N

两点，且M在x轴上方，当lx轴时，MN26.

(1)求双曲线方程.

(2)求证：直线MA1,NA2的斜率之比为定值.

例11．（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，A、B、M、N为抛

物线y22x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点1,0，直线AN过点2,0

×

(1)记A，B的纵坐标分别为yA,yB，求yAyB；

(2)记直线AN，BM的斜率分别为k1,k2，是否存在实数，使得k2k1？若存在，求出的

值，若不存在说明理由

x2y2

例12．（2024·广东·高三校联考阶段练习）过原点O的直线交椭圆E：1（b0）

9b2

于A，B两点，R2,0，△ABR面积的最大值为25.

(1)求椭圆E的方程；

9

(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又P,m（m0），分别记PA，PR，PC的斜率为k1，

2

k2

k2，k3，求的值.

k1k3

变式28．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆E的左､右焦点分别

1

为F1c,0,F2c,0(c0)点M在E上，MF2F1F2,MF1F2的周长为642，面积为c.

3

(1)求E的方程.

3

(2)设E的左､右顶点分别为A,B，过点,0的直线l与E交于C,D两点（不同于左右顶点），

2

记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则是否存在实常数，使得k1k2恒成立.

x2y2

变式29．（2024·河南·高三校联考开学考试）已知双曲线E:1a0,b0实轴左右

a2b2

两个顶点分别为A,B，双曲线E的焦距为25，渐近线方程为x2y0．

(1)求双曲线E的标准方程；

k

1

(2)过点0,1的直线l与双曲线E交于C,D两点．设AC,BD的斜率分别为k1,k2，且3，

k2

求l的方程．

x2y2

变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的焦距为23，O为

a2b2

坐标原点，椭圆的上下顶点分别为B1，B2，左右顶点分别为A1，A2，依次连接C的四个顶

点构成的四边形的面积为4．

(1)求C的方程；

(2)过点(1,0)的任意直线与椭圆C交于E，F