高二数学专题07 直线和圆的方程（填空题）（11月）（人教A版2019）（解析版）

专题07直线和圆的方程(填空题)

一、填空题

1.已知直线x+ay-1=0和直线ox+4y+2=0互相平行，则a的值为.

【试题来源】北京五十七中2020-2021学年高二上学期数学期中考试试题

【答案】2

【分析】根据两直线平行可得出关于实数a满足的等式与不等式，由此可解得实数。的值.

/=4

【解析】由于直线工+到一1=。和直线分+4y+2=。互相平行，则〈，解得。=2.

。。一2

故答案为2.

2.过点M(2,—2)的直线与x轴、轴分别交于产、。两点，若M恰为线段PQ的中点,

则直线PQ的方程为•

【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二(±)期中(理)

【答案】x-y-4=0

【分析】根据条件以及中点坐标公式可得P(4,0),即可求解.

【解析】过点M(2,—2)的宜线与x轴、，轴分别交于尸、Q两点，M恰为线段PQ的中

点，则P(4,0),所以PQ方程为y=x—4,即x-y—4=0.故答案为了一丁一4=0.

3.点P(-5,7)到直线12x+5y-1=0的距离为.

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】2

【分析】根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果.

/、|12x(-5)+5x7-l|

［解析】点尸(-5,7)到直线12x+5y—1=0的距离为d=>一\>—।=2.

A/122+52

故答案为2.

4.一束光线从点A(-2,1)出发经x轴反射到圆C：(x—2)2+(y—2)2=l上，光线的最短路

程是.

【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟

【答案】4

【分析】求出点A关于X轴的对称点A,则最短路径的长为|AC|-r(圆的半彳仝)，订算求

得结果.

【解析】由题意可得圆心C（2,2）,半径r=l,点A（-4）关于x轴的对称点4（一2,—1）,

如图：所以|AC|=J（2+2）?+（2+l）「=5,

因此最短路径的长|4。一==5—1=4.故答案为4.

【名师点睛】本题主要考查反射定理的应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现r转

化、数形结合的数学思想，属于基础题.

4

5.直线y=§x-l的单位法向量是

【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考

4_343

【答案】或

5，-5555

4,a

【分析】由直线＞可得法向量。=（4,一3）,可得其单位法向量为±口.

【解析】由直线y=§x-1可得法向量a=（4,-3）,因此其单位法向量为土口二土仁厂5

喉用或「浦•故答案为母-0或1浦

6.若〃=（一1,6）是直线/的一个法向量，贝心的倾斜角大小为.

【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试

【答案】J

【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，然后求出直线的斜率,从而可求出倾斜角.

【解析】因为〃=（—1,6）是直线/的一个法向量，所以直线/的一个方向向量为（6,1）,

所以直线I的斜率为3,所以直线/的倾斜角a的正切值tana=—.

633

又ae[0,7）,所以a=^.故答案为

66

7.平面直角坐标系中点（1,2）到直线2x+y+l=0的距离为

【试题来源】四川省琪县中学2020-2021学年高二上学期数学9月月考

【答案】

【解析】因为点为（1,2）,直线为2x+y+l=。，

所以点到直线的距离为d[2曰=也.故答案为、石.

V22+l2

【名师点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.己知点尸（工,％）,直线

IAx。+By。+Cl

Ax+By+C=0,则点P到直线的距离为d=[「一

VA2+B2

8.己知直线3x+y+4=0与直线4：x+畋=0垂直，则根的值为

【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习

【答案】-3

【分析】由两直线垂直的充要条件可得3xl+lxm=0,从而可求得由的值.

【解析】因为所以3xl+lxm=0=加=—3.故答案为一3.

9.如果直线or+2y+2=0与直线版一）-2=0平行，则a的值为

【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）

【答案】一6.

【分析】根据它们的斜率相等，可得-]=3,解方程求a的值

【解析】因为直线ax+2y+2=0与直线3x-y=0平行，

所以它们的斜率相等，所以-j=3,所以a=-6.故答案为-6.

10.设P（毛,%）为直线x+y=l与圆/+丁2=3的交点，则与%=

【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考

【答案】-1

【分析】将P坐标代入直线和圆的方程，消去%（；+%2可得跖%的值.

【解析】因为尸（事,为）为直线x+y=l与圆幺+：/=3的交点，

将尸（改）,为）坐标代入直线和圆的方程得，/+%=1①，/2+%2=3②

将①2-②得(k+请”1—3,得易为=-1,故答案为一1

II.过点(3,1)作圆(X—1)2+产=/的切线有且只有一条，则该切线的方程为.

【试题来源】湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年高二上学期9月月考

【答案】2x+y-7=0

【分析】过一点作圆的切线只有一条，说明点在圆上，根据垂直关系即可求该切线方程.

【解析】因为过点(3,1)作圆(x—l)2+y2=户的切线有且只有一条，所以点(3,1)在圆(x—1A

1-01

+炉=户上，因为圆心与切点连线的斜率k=三1=5,所以切线的斜率为一2,

则圆的切线方程为)，-1=一2。-3),即2x+y—7=0.故答案为2x+y-7=0

12.过圆/+9=5上一点M(2,-1)作圆的切线，则该切线的方程为.

【试题来源】浙江省金华市江南中学2019-2020学年高二上学期12月月考

【答案】2x-y-5=0

【分析】求得圆心。的坐标，进而求得直线。”的斜率，从而求得过M点的圆的切线的斜

率，由此求得切线方程.

【解析】依题意圆心为0(0,0),故尢加=弓，所以过〃点的圆的切线的斜率为2,由点

斜式得切线方程为＞一(-1)=2(%-2),即2x-y-5=0.故答案为2x-y-5=0.

13.已知直线/一方+2y—3=0和直线］：(1—a)x—y+l=0.若《12,则《与6的

距离为.

【试题来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高三上学期元月调研考试(文)

【答案】旦

4

【分析】根据4/2求得。，再根据平行线间的距离公式求解即可.

【解析】因为412,故小(一1)一2(1-a)=0=a=2.故直线h2x+2y-3=()和直线

A,：lx+2y—2=0.故4与人的距离为d=-；====^=――-故答案为

44

1—cosn1

14.已知直线/的倾斜角a满足方程———=则直线/的斜率为__________.

sina2

【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末

4

【答案】j

【分析】转化条件得sina=2—2cosa,再由同角三角函数的关系即可得tana,即可求

得斜率.

1—cosa1

【解析】因为--------二一，所以sina=2—2cosa,

sina2

3

所以sin?6Z+cos2a=（2-2cos2+cos2a=1,解得cosa=—或cosa=1,

当cosa=l时，sina=2-2cosa=0,不合题意；

34sina4

当cosa=一时，sina=2-2cosa=—,所以tanau^------=一,

55cosa3

44

所以直线/的斜率为二.故答案为；.

【名师点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用及直线斜率的求解，考查了运算求解能力,

属于基础题.

15.已知实数X，，满足方程（x-2『+y2=i,则?的取值范围是.

【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二上学期10月月考

【答案】g当

33_

【分析】设？=%,数形结合以及点到直线的距离即可求解.

X

【解析】（x-2『+:/=1,圆心为（2,0）,r=1,设上=左，：.y=日，

I；**.<*..(66

所以上的取值范围是百V3

.故答案为一3一，7

33

16.已知4(—2,1)、8(1,2),点C为直线y=$上的一动点，则|AC|+忸C|的最小值为

【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二上学期10月月考

【答案】26

【分析】根据两点关于直线对称求出A关于直线y=：x的对称点M的坐标，当点C为直线

8M和直线y=gx的交点时，距离最小，结合两点间距离公式即可求解.

【解析】由题意A、8两点在直线y=的同侧.设A关于直线y=；x的对称点M的坐标

b-\1

•—=­1

为(a,b),则3解得。=一1,b=-2,,A关于直线的对称点M的坐标为

'，1_L1A+Z?1_c1_a/-2

232

(-1,-2),

故当点C为直线BM和直线y=gx的交点时，|A同取得最小值

\BM\=J(l+1)2+(2+2)2=275.故答案为2#)■

17.对任意实数公圆c：f+y2—6x—8y+i2=0与直线/：丘—y—4k+3=0的位置

关系是.

【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考(理)

【答案】相交

【分析】先求直线/所过定点尸(4,3),再求圆。的圆心C(3,4),半径厂=旧，最后求圆

心C(3,4)到定点尸(4,3)的距离并判断直线与圆的位置关系.

【解析】因为直线/的方程点一了一4攵+3=0,整理得Mx—4)—y+3=0,所以直线/过

定点尸(4,,因为圆。的方程为x2+y2-6x-8y+12=0,整理得

(%—3)2+(y—4)2=13,所以圆。的圆心C(3,4),半径厂=工，所以圆心C(3,4)到定

点P(4,3)的距离为d=J(3—4了+(4—3)2=&<r,所以直线与圆的位置关系是相交，

故答案为相交.

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求直线所过定点、两点间距离公式、由圆的方

程确定圆心与半径，是基础题

18.函数/(x)=Nx2-2x+5+Rx2-6x+18的最小值为.

【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】^29

【分析】根据题意，其几何意义为点尸(人,0)到点A。,2),8(3,3)两点的距离之和，故

y=|PA|+|冏=|pq+|/科学忸q,再根据距离公式求解即可.

【解析】因为/(x)=ylx2-2x+5+VX2-6X+18=辰-1)2+4+J(x-3)，9，

几何意义为点P(x,0)到点A(l,2),8(3,3)两点的距离之和，

A(l,2)关于x轴的对称点C(l,-2),

y=|M|+|PB|=|PC|+|PB|>|5C|=J(37)2+(3+2)2=亚，

当且仅当3,P,C三点共线时y的值最小为忸c|=V29,故答案为V29

19.在ABC中，A(4,D、8(7,5)、CM,7),则/A的平分线所在直线的一般式方程是

【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试

【答案】7x+y—29=0

【分析】先利用向量AB，AC写出NA的平分线的一个方向向量，再根据方向向量设直线

方程，点代入求得参数，即得一般式方程.

【解析】向量AB=(3,4),AC=(-8,6),

ABAC(34

故NA的平分线的一个方向向量为

GL4B+GAC=I,J

71

故NA的平分线所在直线的方程可设为gx+-y+m^0,

297129

将A(4,l)代入方程得力=一行，故直线方程为-歹=0,即7x+y-29=0.

故答案为7x+y-29=0.

20.已知直线(3a+2)x+(l—4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直，则实数a=

【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试

【答案】0或1

【解析】两直线互相垂直，满足（弘+2修〃-2）+（1-北）匕+4）=0,整理为/_&=（），

解得a=0或a=1.

21.点（2,-3）关于直线y=0对称的点的坐标为.

【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二10月月考数学（文）

【答案】（-3,2）.

【分析】设尸（2,-3）关于宜线％—y=0的对称点的坐标为Q（a力）,再根据PQ中点在直线

x-y=0上，且P。与直线x-y=0垂直求解即可.

【解析】设尸（2,-3）关于直线x-y=0的对称点的坐标为。（人人），则PQ中点为

'a+2b-3、则（等，号在直线〜。上，故等等

KF,①，

乂尸Q与直线x—y=0垂直有"口=-1②,

a-2

联立①②可得。=-3/=2,故Q（—3,2）.故答案为（一3,2）.

22.经过两条直线2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=O的

直线的一般式方程为.

【试题来源】山东省德州市夏津县笫-中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）

【答案】2x+3y—2=0

【分析】首先联立方程求两直线的交点，再利用两直线垂直斜率之积为-1,可求得所求直线

斜率，然后根据点斜式可得直线方程.

[3x+4y-2=0/一、

【解析】由方程组｛c-C，得交点坐标为（一2,2）,

2x+y+2=0''

2

因为所求直线垂直于直线3x-2y+4=0,故所求直线的斜率上=-§,

2

由点斜式得所求直线方程为y-2=—§（x+2）,即2x+3y-2=0.

【名师点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标的求法，考查从直线的一般方程求斜率，考

查两条直线垂直斜率之积为-1,考查学生的运算能力，属于基础题.

23.当点P（3,2）到直线一y+1-2根=0的距离最大值时，”的值为.

【试题来源】湖北省黄石市重点高中2019-2020学年高二上学期第二次联考

【答案】-1

【解析】直线m-y+1—2机=。可化为y-1=-2）,由点斜式方程可知直线恒过定

点（2,1）,且斜率为根，结合图象可知当PQ与直线皿-y+l-2m=0垂直时，点到直线

距离最大，此时，m-------=-1,解得机=-1.

3-2

24.已知4,仇。是两两不等的实数，点P（b力+c）,点Q（a,c+a）,则直线P。的倾斜角

为.

【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）

【答案】45

【解析】因为直线经过产（〃加上点。（q价）两点，所以直线A3的斜率

k=c+a-（b+c）所以直线AS的倾斜角为a=45.

a-b

25.在平面直角坐标系中，直线x+Jjy—3=0的倾斜角是.

【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）

【答案】150°

【解析】直线为y=—立x+G，倾斜角tan，=—*，6=150°.

26.两条平行直线4x+3y+3=0与8x+6y-9=0的距离是.

【试题来源】山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期10月月考（理）

3

【答案】-

2

9

【分析】将直线8x+6y-9=0化为4x+3y-耳=0,再根据平行线间距离公式即可求解.

9

【解析】可将直线8x+6y-9=0化为4龙+3>-5=0,

所以两条平行直线间的距离为3一1一2）=3.故答案为

V42+32-=2

27.直线x-4y+Z=0在两坐轴上截距之和为5,则“=

【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习

20

【答案】-彳

【分析】根据方程求解直线x-4y+k=0在两坐轴上截距，再相加等于5求解即可.

kk20

【解析】易得工一4丁+女二0两坐轴上截距分别为（一攵,0）,（0,―）.故一&+二=5=＞氏=-丁

443

20

故答案为——

28.已知直线/的斜率为J且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程为

【试题来源】广西兴安县第三中学2019-2020学年高一下学期开学适应性检测

［答案］x-6y+6=0或x—6y-6=0

【分析】设直线方程为2+与=1,根据题设条件得到关于a,b的方程组，解方程组后可得

ab

所求的直线方程.

v11I1fa=6［—6

【解析】设直线/的方程为一x+；=1，则T闻=3,且b解得匕，或者a匕—,，

ab211a6［b=-l［。=1

所以直线/的方程为±+)=1或二+工=1,即x-6y+6=0或x-6y—6=0.

6-1-61

故答案为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

【名师点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据问题的特征假设直线方程的形式，从而可

简化计算过程.

29.直线2m=0恒过定点.

【试题来源】浙江省金华市江南中学2019-2020学年高二上学期12月月考

【答案】（］,1）

2

【分析】直线方程对机整理，令机的系数为o,从而得到关于阳丁的方程组，解出羽丁的

值，得到答案.

【解析】直线2小+广"?-1=0,可化为（2x-l）ni+（）＞-1）=0,

2x—l=0x--11

由《，八，解得《2,所以直线过定点（一,1）.故答案为（一,1）.

y-l=0,22

1[y=1

30.两条平行直线3x+4y-12=0与方+8），+11=0间的距离是

【试题来源】福建省厦门第一中学2020-2021学年高二分班摸底练习

7

【答案】-

2

3x8=4xa

【分析】根据两直线3x+4y-12=0与双+8y+ll=0平行，由，，，口解得小

3xll#-12x«

然后再利用平行线间的距离公式求解.

3X8=4X«

【解析】因为两直线3x+4yT2=0与6+8y+ll=0平行，所以',,_解得

3x11#一12xa

a=6,又直线3x+4y—12=0可化为直线6x+8y—24=0,所以直线6x+8.y-24=0与

’..111-（-24）177

直线6x+8y+11=。间的距离为d=—.————,故答案为一

22

31.已知直线4：y=ctx+3与4关于直线y=x对称，4与4：x+2y-l=0垂直，则。=

【试题来源】江西省南昌外国语学校2019-2020学年高二10月月考•

【答案】

【分析】由题意利用两条直.线关于宜线＞=x对称的性质得到4的方程为了=纱+3,两条

直线垂直斜率之积为-1,计算可得，

【解析】直线4：y=or+3与&关于直线y=x对称，；./2的方程为》=©+3,它的斜

率为L4与4：x+2y-l=0垂直，-x（——）——1,则“=二，故答案为

aa222

32.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为.

【试题来源】黑龙江省双鸭山一中2020-2021学年高二（10月分）第…次月考（理）

【答案】坡

5

【分析】由已知设圆方程为(x—a)2+(y—a)2=q2,(2,1)代入，能求出圆的方程，再代入

点到直线的距离公式即可.

【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(。,。)，则半径为a,«>0.

即圆的方程为(x—。了+⑶―。)2=〃2,再把点(2,1)代入，得。=5或1,

所以圆的方程为(x—5)2+"-5)2=25或+(y-l)2=1,对应圆心为(5,5)或(1,1)；

由点线距离公式，圆心到直线2x—y-3=0的距离d」2X；-5：3|=挛或

V22+l25

|2xl-l-3|咨故答案为竽.

V？TF

【名师点睛】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法,求出圆心坐标和半径的值，

是解题的关键，属于基础题.

33.已知圆C：x2+y2-lx-2y-6=0.直线/过点(0,3),且与圆C交于A、B两点，|AB|=4,

则直线I的方程.

【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考

【答案】尸3或产白+3

【分析】根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线/

的距离公2,分直线/的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案.

【解析】根据题意，圆C：x2+y2-2x-2v-6=0即(r-1)2+(y-1)2=8,圆心C(l,1),半径r=2

拉，又由直线/与圆C交于A、B两点，14阴=4,则点C到直线/的距离

d=卜—(L詈J=2,若直线I的斜率不存在，直线/的方程为k0,点C到直线/的

距离”1,不符合题意；若直线/的斜率存在，设直线/的方程为产气+3,即依-y+3=0,

则有d=)।=2,解可得2=0或不；故直线/的方程为>=3或y=：x+3.

yj\+k233

34.若直线x=3与圆/+;/一2%一4=0相切，则。=.

【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二(二模)

【答案】3

【分析】由题意结合圆的方程“得该圆圆心为(1,0)，半径为而T，再利用圆心到直线的

距离等于半径即可得解.

【解析】由题意圆的方程V+y2-2%一4=0可转化为(x7『+y2=a+i,

所以该圆圆心为(1,0),半径为而T，所以圆心到直线x=3的距离d=3—1=5/工TT，

解得。=3.故答案为3.

【名师点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解

能力，属于基础题.

35.若直线/过4(0,5),且被圆C：d+y2+4x—i2y+24=0截得的弦长为46，则直

线/方程为.

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测

试数学(理)试卷

【答案】3x-4y+20=0或x=0

【分析】将圆化为(x+2y+(y-6)2=16,求出圆心C(—2,6),半径r=4,讨论直线的

斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离d=2,利用点到直线的距离即可求解.

【解析】圆C：x2+y2+4x-12^+24=0,即C:(x+2y+(y-6丫=16,

即圆心C(—2,6),半径r=4,当宜线的斜率不存在时，直线x=0，

此时弦心距d=2,弦长为2jl6—4=4>/5,满足条件；

当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为丁=履+5,即依-y+5=0,

由弦长公式可得弦心距d=J16-(2g『=2，

\—lk—6+5l3

再利用点到直线的距离公式可得।,।=2,解得％==,

vF+14

故此直线方程为3x-4y+20=0,

综上可得，满足条件的直线方程为3》一4丁+20=0或、=0.

故答案为3x-4y+20=0或x=0.

36.圆心在直线x-2y+7=0上的圆。与x轴交于两点A(-2,0),仇T,0),则圆。的方程

为.

【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学(理)

【答案】(x+3)2+(y-2)2=5

【解析】先由条件求得圆心c的坐标，再求出半径r=|AC|,从而得到圆C的方程.

因为直线AB的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2,

故圆心的坐标为C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径m|AC六追

所以圆C的方程为(x+3)2+(y—2>=5.故答案为(x+3>+(y—2了=5.

2222

37.两圆x+y-2x+2y-2=0和x+y+4x=5的公共弦长为.

【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】巫

2

【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长；

【解析】f+y2—2x+2y—2=0即(x—l『+(y+l)2=4①圆心为(1,—1),半径r=2；

x2+y2+4x=5@,①一②得-6x+2y+3=0,即两圆公共弦方程为6x-2y—3=0,圆

|6+2-|3_V10

心到直线6x—a-3的距离△=,所以公共弦长为

荷+(-2)-4

故答案为侦

/=2,2?—

I4J22

38.过点尸(0,2)的直线/与圆。：/+3；2=9相交于知，N两点，且圆上一点。到/的距

离的最大值为4,则直线MN的方程为.

【试题来源】云南师大附中2020届高三(下)月考(理)(八)

【答案】>一小-2=0或>+岳一2=0.

【分析】画出图形，确定点。是过圆心。且与MN垂直的直线与圆的交点，设出直线MN

的方程，利用圆心到直线的距离为1,求出用N的斜率即可

【解析】如图，易知MN的斜率存在，设直线的方程为丁=丘+2,

过圆心。作易得当Q位于HO的延长线上时距离最大，即“。=4,

所以“。=1由点到直线的距离公式可得d

所以Z=±6，直线的方程为y—百x—2=0或y+JIr-2=0

故答案为y+&-2=0或y—Gx-2=0.

39.已知过点P（2,2）的直线与圆（x-iy+V=5相切，且与直线以—y+l=0垂直，贝小=

【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）数学（理）

【答案】2

【解析】设切线为x+ay+加=0,因为过尸（2,2，故加=—2—2a,所以切线为

|1-2-2«|二

x+ay-2-2a=0,又圆心到它的距离为d=!—,\=r=<5,解得。=2,故填2.

yja2+i

40.若圆C经过坐标原点和点（4,0）,且与直线y=l相切，则圆C的方程是.

【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习

325

【答案】（X—2）2+。+5）2=7

【解析】设圆的圆心坐标（。力），半径为r,因为圆C经过坐标原点和点（4,0）,且与直线

'a2+b2=r2a=2

所以，，解得.3

j=l相切,<(a-4)2+/=b--,所求圆的方程为

2

=r

5

2

2

(x-2)2+fy+|?，故答案为（x—2）2+[y+g

4

41.已知直线/：米+y—2=0（2eR）是圆C：X?+V-6x+2y+6=0的一条对称轴，过

点A（0,Z）作圆。的一条切线，切点为B,则线段AB的长度为.

【试题来源】福建省厦门第一中学2020-2021学年高二分班摸底练习

【答案】3

【分析】根据直线/：米+丁一2=0（ZeR）是圆。：/+9-6、+2），+6=0的一条对称轴,

得到圆心在直线/上，解得左=1,得到A（0,l）,然后再利用切线长公式4?=AC2-R2

求解.

【解析】圆C：Y+y2—6x+2y+6=0的标准方程是(x—3『+(y+l)2=4,圆心为

C(3,-1),因为直线/：西+y—2=0(ZwR)是圆c：V+V-6x+2y+6=0的条对称

轴，所以圆心在直线/上，所以3&—1—2=0,解得左=1,所以A(0,I),

AB=7AC2-R2=40-3f+(1+1)2-4=3，故答案为3.

42.设机e/?,过定点A的动直线x+〃zy=0和过定点B的动直线〃优—y-〃?+3=0交于

点P(x,y)，则|Q4|尸耳的最大值是.

【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】5

22

【解析】易得40,0),8(1,3).设尸(工,加，则消去加得：x+y-x-3y=0,所以点P

在以AB为直径的圆上，PALP,所以怛*+|PIA2|S,

|PA|x|PB归粤=5・

Xv

43.已知。，BeR,直线--------+-----------=1与

sina+sin/?sina+cosp

xv

-------—-------:——-=i的交点在直线y=-x上，则

cosa+sinpcosa+cosp

sina+cosa+sin/?+cos/?=.

【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考

【答案】0

【分析】联立方程求交点，根据交点在在直线》=一％匕得到三角关系式，化简得到答案.

——+——=1

sina+sin夕sina+cos(3

<

xy.

【解析】---------+-----二——-=1

cosa+sinpcosa+cosp

=(——-----------------)y=0

sina+sin(5cosa+sin/3sina+cos(3cosa+cos/3

交点在直线》二一次匕

1111

=-----------------------------------

sina+sin/3cosa+sin-----sina+cos/3cosa+cos夕

1111

----------1-----------=-----------1-----------

sina+sin/?cosa4-cos/?cosa+sin/?sina+cos(3

=sincir+cosa+sin/?+cos(3_sina+cos+sin/?+cosp

(sina+sin/7)(cosa+cosJ3)(cosa+sin夕)(sina+cos/3)

观察分母(sina+sin/?)(cosa+cos/3)和(cosor4-sin/?)(sina+cos4)不是恒相等

故5访。+85。+5巾/?+854=0,故答案为0

44.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且

重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知

ABC的顶点A(2,0),3(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标

【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考

【答案】(-4,0)

【分析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，

联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求

得C点的坐标.

2+/774+〃\

(I,

2+7724+/?

代入欧拉线方程得：—-----—+2=0,整理得：加一〃+4=0①

AB的中点为(1,2),心8=把=-2,A3的中垂线方程为y—2=：(x—l),

()—22

x_2y+3-0x——1

即x—2y+3=0.联立《,解得《....AABC的外心为(一1,1).

x—y+2=0[y=l

则(加+1)~—=3?+「，整理得：田+〃2+2〃?_2〃=8②

联立①②得：加=一4,〃=0或阳=0,〃=4.当加=0,〃=4时8,C重合，舍去.

所以顶点C的坐标是(Y,0).

45.已知等腰三角形的底边所在直线过点尸(2,1),两腰所在的直线为x+y-2=0与

7x-y+4=0,则底边所在的直线方程是.

【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考

【答案】3x+y—7=O或x-3y+l=O

【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点M(x,y)，利用点M到两腰所在直线的距

离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点尸且与顶角角平分线垂直可求得所

求直线的方程.

【解析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点M(x,y)，

则点M到直线x+y-2=0与7x—y+4=0的距离相等,

由题意可得『智

所以，|7x_y+4|=5|x+y_2|.

所以，7x-y+4=5（x+y-2）j?K7x-y+4=—5（x+y-2）,

所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为x—3y+7=O或6x+2y-3=0.

由于底边与顶角角平分线垂直.

当底边与直线x—3y+7=0垂直时，且直线x-3y+7=0的斜率为:，

此时底边所在直线方程为y—1=—3(x—2),即3x+y-7=0；

当底边与直线6x+2y-3=0垂直时，且直线6尤+2y—3=0的斜率为—3,

此时底边所在直线方程为y-1=；(x—2),即x-3y+\=0.

故答案为3x+丁-7=0或%—3y+1=0.

【名师点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的

性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

46.已知三条直线《：4x+y-4=0,/2:mx+y=0,Z,：2%-3阳-4=0不能围成三角

形，则〃?=.

【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考

【答案】4或—1或一!或1•

【分析】首先根据三条直线不能构成三角形，得到三条直线的位置关系，根据位置关系列式

求根.

【解析】若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点，

41411

当时，一=一，即加=4