（高中数学教案）人教版数学必修二全册教案

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义（必修二）

讲义1:空间几何体

撰稿：方锦昌电子邮箱fangjingchang2007@163.com手机号/p>

一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体及简单

组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特

征.

三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.

四、教学过程：

（一）、新课导入：

1.导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学

习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.

（二）、讲授新课：

1.教学棱柱、棱锥的结构特征：

①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共

特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？kb

②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻/尚

两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体/UI

叫木麦柱.-列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.

结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.

③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.

表示：棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'

④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？

⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角

形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.

结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.一讨论：棱锥如何分类及表示？

⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么儿何性质？有什么共同的性质？

★棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形

★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方.

2.教学圆柱、圆锥的结构特征：

①讨论：圆柱、圆锥如何形成？

②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面

所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余

两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.

f结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高.一表示方法

③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？一柱体、锥体.

④观察书P2若干图形，找出相应几何体；

三、巩固练习：

1.已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm”面积为12cm,求圆锥的底面半径.

2.已知圆柱的底面半径为3cm”轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.

3.正四棱锥的底面积为46cm2,侧面等腰三角形面积为6c«?,求正四棱锥侧棱.

（四）、教学棱台与圆台的结构特征：

①讨论：用个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？

②定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的

部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面

之间的部分叫做圆台.

结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.

讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？

③讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？

★棱台：两底血所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；

侧棱的延长线相交于一点.

★圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一

点；母线长都相等.

④讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体.棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆

台与圆柱、圆锥有什么关系？（以台体的上底面变化为线索）

2.教学球体的结构特征：

①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几

何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.一球的表示.

②讨论：球有一些什么几何性质？

③讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多

面体）

3.教学简单组合体的结构特征：

①讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？

②定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合

体.

4.练习：圆锥底面半径为1cm,高为啦cm,其中有一个内接正方体，求这个内接正方

体的楼长.（补充平行线分线段成比例定理）

（五）、巩固练习：

1.已知长方体的长、宽、高之比为4：3：12,对角线长为26cm,则长、宽、高分别为多少？

2.棱台的上、下底面积分别是25和81,高为4,求截得这棱台的原棱锥的高

3.若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.

★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径的比

是1：4,截去的圆锥的母线长为3厘米，求此圆台的母线之长。

・解：考查其截面图，利用平行线的成比例，可得所求为9厘米。

★例题2：已知三棱台ABC—的上、下两底均为正三角形，边长分别为3和6,平

行于底面的截面将侧棱分为1：2两部分，求截面的面积。（4^3）

★圆台的上、下度面半径分别为6和12,平行于底面的截面分高为2：1两部分，求截面

的面积。（100口）

▲解决台体的平行于底面的截面问题，还台为锥是行之有效的一种方法。

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讲义2、空间几何体的三视图和直视图

撰稿:方锦昌电子邮箱fhngjingchang2007@163.com或694969336@手机号/p>

一、教学要求：能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体.掌握斜二

测画法；能用斜二测画法画空间几何体的直观图.

二、教学重点：画出三视图、识别三视图.

三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.

四、教学过程：

（一）、新课导入：

1.讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

2.引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真

面目，只缘身在此山中。”对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸匕

三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形：直观图：观察者

站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生

活.

（二）、讲授新课：

1.教学中心投影与平行投影：

①投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然

现象加以的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

②中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变

化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.

③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.

一讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.

2.教学柱、锥、台、球的三视图：

①定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图

②讨论：三视图与平面图形的关系？一画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、

高

③结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而

下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.一正视图、侧视图、俯视图.

③试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图.（

④讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、

高）

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和

长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和

宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和

宽度。

⑤讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.

（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）

3.教学简单组合体的三视图：

①画出教材P16图（2）、（3）、（4）的三视图.

②从教材P16思考中三视图，说出几何体.

4.练习：

①画出正四棱锥的三视图.

④画出右图所示几何体的三视图.

③右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.

（三）复习巩固、

1.何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自

上而下）2.定义直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出

的图形.把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关

系和度量关系的图形

（四）、讲授新课：

1.教学水平放置的平面图形的斜二测画法：

①讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.

②给出斜二测画法规则：

建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐

标系；

画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O‘X'Q'Y',使NX'O'y=45°（或

135°）,它们确定的平面表示水平平面；

画对应图形，在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x,轴，且长度保

持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y'轴，且长度变为原来

的一半；

擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

③出示例1用斜二测画法画水平放置的正六边形.

（师生共练，注意取点、变与不变一小结：画法步骤）

④练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形.

⑤讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）

2.教学空间图形的斜二测画法：

①讨论：如何用斜二测画法画空间图形？

②出示例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.

（师生共练，建系一取点一连线，注意变与不变；小结：画法步骤）

③出示例3（教材P20）根据三视图，用斜二测画法画它的直观图.

讨论：几何体的结构特征？基本数据如何反应？

师生共练：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系

④讨论：如何由三视图得到直观图？又如何由直观图得到三视图？

空间几何体的三视图与直观图有密切联系.三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根

据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）.直观图

是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.

3.练习：探究P21奖杯的三视图到直观图.~I-------------1

（五）、巩固练习：|I

1.练习：P21[〜5题

2.右图是一个几何体的三视图，请作出其直观图.扁扁

3.画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm;高3cm

（六）高考题：

•★1.（2007广东•文）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主

视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视曰---------7TT

图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.X.

（1）求该儿何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S6

■解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是矩形中心/X.

的四棱锥V-ABCD;⑴/=；x（8x6）x4=64.

（2）该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为图5

%=卜'（I）=40,另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为

%=卜2+用=5；因此5=2（|x6x4V2+1x8x5）=40+2472

★（2007年山东高考）（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图苏1同的是（D）

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讲义3:空间几何体的表面积和体积

撰稿：方锦昌电子邮箱fanmiingchan%007（%163.com手机号/p>

一、教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和

解决有关实际问题.

二、教学重点：运用公式解决问题.

三、教学难点：理解计算公式的由来.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.讨论：正方体、长方体的侧面展开图？一正方体、长方体的表面积计算公式？

2.讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？一圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

（二）、1.教学表面积计算公式的推导：

①讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

②练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体SdBC的表面积.

一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4,侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

③讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图一侧一表）

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），

S圆柱-恻S圆柱表=2%«，・+/），其中为r圆柱底面半径，/为母线长。

圆锥：侧面展开图为•个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展

开图扇形中心角为。=/x360",S圆锥侧=勿7,S圆锥表=»«〃+/）,其中为尸圆锥底面半

径，/为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底

周长，侧面展开图扇环中心角为。=^^x360°,S圆台恻=》&+/?）/,

s圆台表=乃（,+〃+R/+R2）・

④练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20,母线与底面的夹角为60°,

求圆台的表面积.（变式：求切割之前的圆锥的表面积）

2.教学表面积公式的实际应用：

①出示例：•圆台形花盆，盘口直径20cm,盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm,

盘壁长15cm..为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要

多少油漆？

讨论：油漆位置？一如何求花盆外壁表面积？列式一计算f变式训练：内外涂

②练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm,高

是200mm,计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

（三）、巩固练习：

1.已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD,求其表面积.

2.圆台的上下两个底面半径为10、20,平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之

比为1：1,求截面的半径.（变式：r、R；比为p:q）

3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为百，求这个圆锥的表面积.

*4.圆锥的底面半径为2cm,高为4cm,求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

5.面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？

（四）、1.教学柱锥台的体积计算公式：

①讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖唯（gMg,祖冲之的儿子）原理，教材

P34）

②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

f给出柱体体积计算公式：%=Sh（S为底面面积，h为柱体的高）一%柱=Sh=/h

③讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关

系？

④根据圆锥的体枳公式公式，推测锥体的体积计算公式？一给出锥体的体积计算公式：

嗫=；S6S为底面面积，h为高）

⑤讨论：台体的上底面积S,下底面积S,高h,由此如何计算切割前的锥体的高？

-如何计算台体的体积？

⑥给出台体的体积公式：/=；（S'+A+S）%（S,S'分别上、下底面积，h为高）

f%台=；（S'+回+S）〃=；7（/+〃?+R2）61、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大

为与下底相同时，分成为柱。因此只要分别令S'=S和s，=o便可以从台体的体积公式得到柱、

锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

（五）1.教学体积公式计算的运用：

①出示例：一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg,底面六边形边长12mm,内空直径10mm,高

10mm,估算这堆螺帽多少个？（铁的密度7.8g/cn?）

讨论：六角螺帽的儿何结构特征？-如何求其体积？一利用哪些数量关系求个数？

②练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将

这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.

（六）、巩固练习：1.把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，

把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4,求圆锥的体积.

*3.高为12cm的圆台，它的中截面面积为2257rcmL体积为2800cn?,求它的侧面积。

4.仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m,母线长2.2m,这堆谷多重？

720kg/m3

（七）、1.教学球的表面积及体积计算公式：

①讨论：大小变化的球，其体积、表面积与谁有关？

②给出公式：丫球=^万心；S球面=4万RZ（R为球的半径）

f讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？

（证明的基本思想是：“分割一求体积和一求极限-求得结果”，以后的学习中再证明球的

公式）

③出示例：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求球的体积与圆柱体枳之比；证明球的

表面积等于圆柱的侧面积.讨论：圆柱与球的位置关系？（相切）一几何量之间的关系（设

球半径R,则…）

f师生共练一小结：公式的运用.一变式：球的内切圆柱的体积

④练习：一个气球的半径扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？

2.体积公式的实际应用：

①出示例：一种空心钢球的质量是142g,外径是5.0cm,求它的内径.（钢密度7.9g/cn?）

讨论：如何求空心钢球的体积？

②有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，

并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.

③探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中山虚线表示的对称

轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的g,1

2

球的表面积也是圆柱全面积的

3AH—2~~

（八）、巩固练习：T

1.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为6cm,求这个球表面积和体积。I\,

2.如果球的体积是V冰，它的外切圆柱的体积是V.，外切等边圆锥的体积4.

是VM唯，求这三个几何体体积之比.1r彳//

3.如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。",////

*4.一个正方体的内切球的体积为V,求正方体的棱长。若球与正方体的各次$

棱相切，则正方体的棱长是多少？

5.求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.

6.已知球的一个截面的面积为9页，且此截面到球心的距离为4,求此球的表面积和体积.

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讲义4：空间的点、线、面之间的位置关系

撰稿：方锦昌电子邮箱fangjingchang2007@163.com手机号/p>

第一课时2.1.1平面

一、教学要求：1、.理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平

面以及它们之间的关系；2、初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的

转化

二、教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.

三、教学难点：理解三条公理.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？

（二）、讲授新课：

1.教学平面的概念及表示：

①平面的概念：平面是无限伸展的；

一个平面把空间分成两部分。

②平面的画法：

画法：通常画平行四边形来表示平面。-----水平平面：通常画成锐角成45°,横

边等于邻边的两倍。非水平平面：只要画成平行四边形。直立的平面：一组对

边为铅垂线。相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。

C.练习：画一个平面、相交平面

③平面的表示：通常用希腊字母a、B、丫表示，如平面a（通常写在一个锐角内）；也

可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

④点与平面的关系：点/在平面a内，记作Zea；点Z不在平面a内，记作Z任a.

2.教学公理1：

①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面

内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）

（2）、符号：点4的直线/上，记作：AGi；点/在直线/外，记作力与；

直线/在平面a内，记作/ua。

④用符号语言表示公理1：Ael,Bel,Aea,Bea=>laLa

3.教学公理2：

①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

记写：平面ABC。

4.教学公理3：

①揭示公理3：如果两个不重合的平面有个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线

③符号：平面a和B相交，交线是a,记作anB=a。

④符号语言：PeAC\B=>Ar\B=l,Pel

三、巩固练习：

1.练习：P481-4

2.根据符号语言画出下列图形：①aPla=A,B&a,但8任a；②aC\b=A,bua、a5

a

3.过直线/上三点4、B、C分别作三条互相平行的直线“、b、c,讨论四条直线共面？

第二课时2.1.2空间直线与直线之间的位置关系

一、教学要求：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理,

掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直

二、教学重点：掌握平行公理与等角定理.

三、教学难点：理解异面直线的定义与所成角

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.提问：同一平面上的两条直线位置关系有哪儿种？三条公理的内容？

2.按符号画出图形：qUa,bCa=A,A史a

二、讲授新课：

1.教学两条直线的位置关系：

①实例探究一定义异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.

f以长方体为例，寻找•些异面直线？一性质：既不平行，又不相交。

f画法：以辅助平面衬托：（三种）

一讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？

②讨论：空间两条直线的位置关系：（整理如下）

在谢右姐（相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

,一1平行直线：同一平面内，没有公共点；

.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2.教学平行公理：

①提出公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行？

②出示例：空间四边形/BCD,E、，分别是边/瓦X。的中点，F、G分别是边CB、CD

上的点，且竺=空=1，求证：EPG”是梯形。

CBCD3

注意：什么是空间四边形？（四个顶点不在同一平面上的四边形）；以及：平面几何中

的性质，如何在立体几何中使用？

3.教学等角定理：

①讨论：平面几何中，两角对边分别平行，且方向相同，则两角有何关系？到立体几何中

呢？

②提出定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角相等。

f试将题改写成数学符号语言题，并画出立体图形。

③推广：直线人6是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a'〃a,b'//b,则把直

线"和，所成的锐角（或直角）叫做异面直线。和6所成的角。-图形表示

一讨论：与点。的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？一垂直

4.小结：空间两直线的位置关系；公理4；等角定理；异面直线的定义、垂直、所成角.

三、巩固练习：

1.教材P531、2题.

2.已知空间边边形各边长与对角线都相等，求异直线和C。所成的角的大小.

第三课时2.1.3空间直线与平面之间的位置关系&2.1.4平面与平面之间的

位置关系

一、教学要求：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平

面的两种位置关系.

二、教学重点：掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言.

三、教学难点：理解各种位置关系的概念.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.提问：公理1〜4的内是什么？空间两条直线有哪几种位置关系？

2.探究：以长方体为例，探求一面对角线与各面的位置关系？生活中直线与平面的位置关

系？

（二）、讲授新课：

1.教学直线与平面的位置关系：

①讨论：直线和平面有哪几种位置关系？

②定义：直线和平面平行：直线和平面没有公共点。

一小结：三种位置关系：直线在平面内、相交、平行；

f探究：公共点情况；

f定义：直线在平面外：相交或平行的情况。

③三种位置关系的图形画法：

④三种位置关系的符号表示：

auaa。a=Aa//a（后两个统称为a<Za）

2.教学平面与平面的位置关系：

①以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？

②讨论得出：相交、平行。一定义：平行：没有公共点；相交：有一条公共直线。

-符号表示：a〃B、aCB=6一举实例：…

③画法：相交：……

平行：使两个平行四边形的对应边互相平行

④练习：画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相

交

⑤探究：

A.分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？

B.三个平面两两相交，可以有交线多少条？

C.三个平面可以将空间分成多少部分？

3.小结：线面位置关系：面面位置关系.

三、巩固练习：

1.三个平面两两相交于三条直线，交线不平行，求证：三条交线交于一点.

2.已知E、F、G、〃分别是空间四边形/BCD的边48、BC、CD、D4上的点，且EH与

尸G交于点。，求证：B、D、。三点共线.

3.求证：空间四边形各边的中点共面.

4.作业：P582、3题.

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义五：直线、平面平行的判定和性质

撰稿：方铺昌电子邮箱fangjingchang2007@163.com手机号/p>

第一课时2.2.1直线与平面平行的判定

一、教学要求：通过学习掌握直线与平面平行的判定定理；掌握转化的思想“线线平行D线

面平行”.

二、教学重点：掌握直线与平面平行的判定定理.

三、教学难点：理解直线与平面平行的判定定理.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1、直线与平面有哪几种位置关系？

（1）直线与平面平行；（2）直线与平面相交；（3）直线在平面内。

2、判断两条直线平行有几种方法？（结合图形）

（1）三角形中位线定理；（2）平行四边形的两边；（3）平行公理；（4）成比例线段。

（二）、讲授新课：

1.教学线面平行的判定定理：

①探究:有平面a和平面外一条直线a,什么条件可以得到a//a?

分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。

判定定理:平面外一条直线与此平面内•条直线平行，则该直线与此平面平行.

acta]/=~27

符号语言：bua>=a/la^

allb

思想：线线平行=>线面平行

②练习：【、判断对错

直线a与平面a不平行，即a与平面a相交.（）

直线a〃b,直线bC平面a,则直线a〃平面a.（）

直线a〃平面a,直线b，二平面a,则直线a〃b.（）

II在长方体ABCD-曲3判断直线与平面的位置关系（解略）

2.教学例题：

①出示例1求证：：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

一改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF〃平面BCD.

一分析思路一学生试板演

②出示例2在正方体ABCD-阻1井，E为DD，中点，试判断BD，与面AEC的位置关系，

并说明理由.

一分析思路一师生共同完成-小结方法

一变式训练：还可证哪些线面平行

③练习：在空间四边形ABCD中,E,F,G,分别是AB,BC,CD的中点，探索可以证得

哪些线面平行.

3.小结：线面平行判定定理：转化思想

（三）、巩固练习：

1.探索：如图，已知P为4ABC外一点，点M、N分别为APAB、APBC的重心.求,

证：MN〃平面ABC/

2.作业：教材P68-3题。4《了

第二课时2.2.2平面与平面平行的判定

一、教学要求：更进一步理解两个平面平行的概念，掌握两个平面平行的判定定理与应用。

二、教学重点：掌握两个平面平行的判定定理与应用.

三、教学难点：理解面面平行的判定

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.讨论：两个平面有些什么位置关系？一个三角板如何与桌面平行？

2.提问：直线和平面平行的判定定理？符合语言？图形语言？

（二）、讲授新课：

1.教学两个平面平行的判定定理：

①讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？一个平面

内有两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置关系？

②将讨论的结论用符号语言表示：auB,buB,aCb=P,a〃a,b〃a,则B〃a。

③以长方体模型为例，探究面面平行的情况.

④提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

☆图形语言、文字语言、符号语言":廿:?；

a//p,b//p\

☆思想：线面平行一面面平行.

⑤讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。

⑥出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。

分析结果一以后待证一结论好处一变问：垂直于同一条直线的两个平面呢？

⑦讨论：A.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那

么这两个平面是否平行？

B.平面a上有不在同一直线上的三点到平面B的距离相等，则a与B的位置关系是怎样

的？试证明你的结论。

2.教学例题：多_

①出示例：在长方体力BCEM/B/G。，求证：平面〃平面D1

CiBD.P\IZK

分析：如何找线线平行一线面平行一面面平行？•-\|B

师生共练，强调证明格式/k-二

变式：还可找出一些什么面面平行的例子？并说证明思路.....kf

小结：证明思想.

②练习：已知长方体向GS中，E、尸分别是/小、CG的中点。D

求证：平面BDF〃平面BQiEa

3.小结：面面平行判定定理：证明思想；常见的研究模型.

（三）、巩固练习：

1.练习：教材P631、3题.

2.已知四棱维P-ABCD中，底面/8CO为平行四边形点M,N、Q分别在

PA、BD、PD上，且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求证：平面〃平面

PBC.

3.四点尸,4民。不共面，48',。'分别是\PBC,AP/C的重

心，求证：平面Z'8'C'〃平面N8C.

4.作业：P632题；P687、8题.

第三课时223直线与平面平行的性质

一、教学要求：掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,

掌握“线线”“线面”平行的转化.

二、教学重点：掌握线面平行的性质定理.

三、教学难点：掌握平行之间的转化.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？

2.讨论：①直线与一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有何位置关系？

②直线a与一个平面平行，在平面内如何作一条直线与直线a平行？

二、讲授新课：

1.教学线面平行的性质定理：

①讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线的位置关系如何？

②给出线面性质定理及符号语言：lHa,tu（3,anB=m=IHm.

③讨论性质定理的证明：

•••/〃a,和a没有公共点，

又a,；./和加没有公共点；

即/和加都在夕内,且没有公共点，.•./〃〃?.

④讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这

条直线是否在此平面内？如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么

另一条与平面有何位置关系？

2.教学例题：

①出示例1：已知直线a〃直线b,直线a〃平面a,bza,

求证：b〃平面a

分析：如何作辅助平面？一怎样进行平行的转化？

一师生共练一小结：作辅助平面；

转化思想”线面平行一线线平行一线线平行一线面平行”

②练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。（改写

成数学符号语言f试证）

已知直线a〃平面a,直线a〃平面平面afl平面£=人，求证。〃6.

③出示例2：有一块木料如图，已知棱8c平行于面C'.要经过木料表

面/‘8‘C'内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线

D；JC

AB

和面AC有什么关系？

讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？怎样画线？

如何证明所画就是所求？

变式：如果AD〃BC,BC〃面A'C',那么，AD和面BC'、面BF、面A'C都有

怎样的位置关系.为什么？

3.小结：线面平行的性质定理；转化思想./

三、巩固练习：y///

1.如图，b//c,求证：a//b//c

（试用文字语言表示一分析思路一学生板演）

*2.设平面a、B、y,anP—a,BCY—b,YCa—c,且a//b.求证：a//b//c.

3.作业：P685、6题.

第四课时224平面与平面平行的性质

一、教学要求：掌握平面和平面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理,

掌握“线线、线面、面面”平行的转化.

二、教学重点：掌握面面平行的性质定理.

三、教学难点：掌握平行之间的转化.

四教学过程：

（一）、复习准备：

1.提问：线面平行、面面平行判定定理的符号语言？线面平行性质定理的符号语言？

2.讨论：两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么关系？

（二）、讲授新课：

1.教学面面平行性质定理：

①讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面

内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为

什么？

②提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③用符号语言表示性质定理：m_J=______/----

a\\Y~a,P\\y-b\一/

④讨论性质定理的证明思路.:

⑤出示例：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.4=/

f首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：

已知：allp,CD是夹在两个平行平面a,/?间的平行线段，求证：AB=CD.

f分析：利用什么定理？（面面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面

2.教学例题:

①出示例：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平

面也相交.

讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？

f如何作辅助平面？~师生共同完成

②练习：若a〃夕，/7///,求证：a〃y.

（试用文字语言表示一分析思路一学生板演）

在平面a内取两条相交直线。力，

分别过作平面使它们分别与平面£交于两相交直线心少,

VallP,：.a//a',b//b',

又••»〃/，同理在平面/内存在两相交直线。",6",使得"//。"”〃6〃,

/.a//a",b//b",：.ally

3.小结：面面平行的性质定理及其它性质（a〃/uana〃6）；转化思想.

（三）、巩固练习：

1.两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段.求证：这四条线段对应成比例.

2.已知/,根是两条异面直线，/〃平面a,/〃平面相〃面a,«?〃平面

求证：allp.

*3.设P,。是单位正方体4G的面44QQ、面48cq的中心，

如图：（1）证明：尸。〃平面44//：（2）求线段P。的长。

4.课堂作业：书P69B组2、3题。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义六：直线、平面的垂直的判定和性质

撰稿：方锦昌电子邮箱fangjingchang2007@163,com手机号/p>

第一课时231直线与平面垂直的判定

一、教学要求：掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义

和判定定理证明直线与平面垂直的关系.

二、教学重点：直线与平面垂直的判定定理.

三、教学难点：判定定理的应用.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.复习直线与平面平行的判定定理及性质定理.

（二）、讲授新课：

1.教学直线与平面垂直的定义：

②定义：如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线/与平面a互相垂直，

记作/_La.

/—平面a的垂线，a一直线/的垂面，它们的唯一公共点尸叫做垂足.（线线垂直一/

线面垂直）

2.教学直线与平面垂直的判定：

②判定定理：-条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.

图形语言一符号语言：若，-Lm,/_!_〃，mnn=B,m<za,〃ua,则/_La

f辨析（讨论正确性）：

A.若一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线；.产吝

D.若一条直线垂直于个平面，则垂直于这条直线的另一直线必垂直于这个平面.

③练习：如图，在长方体/8CD-沙中，

与平面B'C'CB垂直的直线有；

与直线力⑷垂直的平面有.

④出示例1：如图，已知。〃6,。_La,求证：b.La

（分析：线面垂直一线线垂直-线面垂直）A

⑤练习：P73探究；P74练习1（线线垂直一线面垂直一线线垂直）

⑥定义：直线与平面所成角；一讨论范围（0°Ka490°）；一辨析（P74练习3）./'><

⑦出示例2：在正方体/8CZ）-⑷夕C'。，中，求直线48和平面⑷9U6所成的角."

（讨论f老师引导f学生版书）

3.小结：直线与平面垂直的定义与判定.

（三）、巩固练习：1.平行四边形所在平面a外有一点P,且尸/=P8=PC=P。，.

求证：点尸与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于"8、ND:

2.如图，已知AP_L。所在平面，AB为。的直径，C是圆周上的任意，

过点A作于点E.求证：NE_L平面PBC.

3.作业：教材P742、3

第二课时232平面与平面垂直的判定

一、教学要求：掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用

判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角.

二、教学重点：平面与平面垂直的判定定理.

三、教学难点：判定定理的应用及二面角的求法.

四、教学过程：

（一）、复习准备：

1.复习直线与平面垂直的判定（定理、图形、符号语言）.

2.探究：已知三棱锥P-48C,作POL底面48C,垂足为。，当给定什么已知条件时，。分

别是三角形/BC的外心、垂心？

3.实际需要引出二面角的定义：工"j

（二）、讲授新课：

L教学二面角的定义：

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedralangle）.这条直线

叫做二面角的棱