（高三数学资料）专题16圆锥曲线解答题特训（5年高考+3年模拟）解析版

专题16圆锥曲线解答题特训(5年高考+3年模拟)

■真题实战演练____________________

1.(2023•全国・高考真题)已知直线x-2y+\=0与抛物线C:/=2px(p>0)交于AB两点,且

|4昨4厢.

⑴求〃；

⑵设尸为C的焦点,⑼N为C'上两点，.*=0,求八MFN面积的最小值.

【答案】⑴P=2

⑵12-80

【分析】(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出〃；

(2)设直线MN：x=my+nt),汽(孙必)，利用尸M.川=0,找到孙〃的关系，以及△MFN的面积我

达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.

【详解】⑴设A®,y〃),8(%,%),

j-2v+l=0,

由v,可得，y~-4〃)，+2p=D,所以)0+%=4p,)»8=2p,

lr=2Px

所以I『=&从-媪=+=4715,

即2p，-p-6=0,因为〃>0,解得：/-»=2.

⑵因为F(LO),显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：*=〃犷+〃，〃(％,)1),可&,%)，

由，’i"可得，_/-4加)，-4八=0,所以，yi+y2=^yiy2=-4n,

x=my+n

△=16〃『+16〃>0=«72+z:>0,

因为nw•尸N=o,所以(现-1)(巧t)+y%=°,

即+〃-1)(〃。‘2+"-1)+乂)'2=0，

亦即(+1)y%+W(/?-1)(>>)+>',)+(.7-i)?=0,

将y+兑=4〃?,y必=代入得,

4m2=w2-6/1+1,4(/n2+«)=(«-1)2>0,

所以〃工1,且/?一6〃+120,解得〃A3+2&或〃«3-2&•

设点F到直线MN的距离为d,所以d=-fcL,

：22

\MN=yj(xl-x2)+(Vj-y2)=Vl+w|>'!-y2|=++16〃

=Jl+/小4(〃-'-6〃+1)+16〃=2,1+〃♦|n-l|,

所以△MEN的面积S='x|MMxd=：x-^211Tx=(〃_]'?，

22Vl+w2

而“23+2夜或“W3-2&,所以，

当〃=3-2夜时，AWW的面积Smin=(2-2夜丫=12—8五.

【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到犯〃的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系

找到各自的范围,为得到的•:角形面萩公式提供定义域支持,从而求出面积的最小值.

2.(2023•全国•高考真题)已知椭HU[■+]=l(a>b>0)的离心率是在，点八(-2,0)在C上.

a'b~3

(D求C的方程；

(2)过点(-2,3)的直线交。于P,Q两点，直线AP,AQ与)，轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中点为定

点.

【答案】⑴《十二=1

94

(2)证明见详解

【分析】(1)根据题意列式求解a，Ac,进而可得结果；

(2)设直线PQ的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证当产为定值即可.

b-2a=3

【详解】⑴由题意可得解得6=2,

a3

所以椭圆方程为4+上=1.

94

(2)由题意可知:直线P。的斜率存在，设。。：产无。+2)+3,尸&,刈,。仁,为)，

y=A(x+2)+3

联立方程丁丁，消去y得：(4/+9)/+8左(22+3).*+16仅2+3攵)=0,

---H-----=1

94

则△=64公(24+3)2-64(4代+9)(y+3&)=-1728左＞0,解得太＜0,

8M2左+3)16伙2+3攵)

可得X+W

软2+9'**=45+9

因为4(-2,0),则直线AP：y=-^T(A+2),

.V|十乙

令x=o,解得尸二2、，即“0,3

8+2为+2,1

同理可得N(0,3],

IX2+2)

2,।2y2

贝|J药+2+x2+2_+2)+3]+[4(％2+2)+3]

2%+2X2+2

[依+(2&+3)](工2+2)+[铺+(2A+3)](X]+2)2依占+(4Z+3)(X[+*2)+4(24+3)

(A,+2)(x,+2)大/+2(./+占)+4

学忆叽8M4y)(2叱%+3)

=4公+94F+9')108

16仅2+3”)16〃(2&+3)1~36

4/+94r+9+

所以线段MN的中点是定点(0,3).

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值,此值一般就是定值；

(2)证明定值，布.时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；乜

可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

3.(2023•天津・高考真题)已知椭圆「+与=1("人＞0)的左右顶点分别为凡小，右焦点为儿已知

a~b-

14q=3,|4日=1.

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)点P在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线交)'轴于点。，若三角形A/。的面积是三角形&PF而枳的二

倍,求直线&P的方程.

【答案】(1)椭圆的方程为《+$=1,离心率为e=1.

432

(2)y=±^y(x-2).

【分析】

a+c3

(DS，解得a-2,c-l,从而求出〃=百，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.

⑵允设白线4P的方程，与椭圆方程联立,消去儿再由韦达定理可得以•与,从而得到P点和Q点坐标,由

s&创=SA.+sA&L25+SA&P得2网=3|»|,即可得到关于k的方程,解出3代入直线&P的方程

即可得到答案.

【详解】(1)

如图,

ac3

由题意得《一.，解得〃=2,c=l,所以〃=在二了=百，

6i-C=1

所以椭圆的方程为=i,离心率为。=£=工

43a2

⑵

由题意得，直线&P斜率存在，由椭圆的方程为工+亡=1可得4(2,0),

43

设直线4P的方程为)，=太(厂2),

££=1

联立方程组43~，消去V整理得：（3+4r）/-16/工+16公-12=0,

y=k（x-2]

81—6

由韦达定理得心•与小;产所以/=

3+4K3+4二'

’8代-6-\2k

所以P,。（0,-2牡

3+4公'3+4S

所以S人3=Jx4x|，U，Sw=；x】M)，/,sW=；x4x|)，/,

所以SA0A=S.+SAAp=2SA+S人人八

所以2|%卜3|以|,即2|2对-3\2k

3+4改'

解得％=±乎，所以直线AP的方程为),=土乎"一2).

4.(2023•全国・高考真题)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-26,0),离心率为6.

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A,4,过点(T,0)的直线与6•的左支交于MA,两点,V在第二象限，直线MA与

N4交于点A证明；点P在定直线上.

【答案】(D--4=1

416

(2)证明见解析.

【分析】

(1)日题意求得。，〃的值即可确定双曲线方程：

(2)设出直线方程,与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线M4「与“的方程,联立直线方程,消去

儿结合韦达定理计算可得一=-；,即交点的横坐标为定值,据此可证得点P在定直线X=-1上.

【详解】(1)

设双曲线方程为力＞0),由焦点坐标可知c=2。，

则由e=£=75可得〃=2,〃=＞］c2-az=4，

a

双曲线方程为工-g=l.

416

(2)

由⑴可得A(-N0)，4(2,0),设M(x，yJ,N(孙必)，

显然直线的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=〃r-4,IL-

与?啧=1联立可得(4w2-l).v2-32冲+48=0,且A=64(4"『+3)＞0,

直线AM,的方程为y=±(x+2),直线NA］的方程为y=-%(•-2).

联立直线MA与直线N4的方程可得：

x+2=%（司+2）=AW）=:畔方-2（y+北）+2y

x-2y（占-2）y（〃少2-6）myty2-6y,

48r32/〃c-16zzz,_

4〃广一14〃广一1”2

48448"?,

mx——z----6v.,一6y3

4/n2-l1

由言T可得I,即/r

据此可得点。在定直线4-I上运动.

【点睛】

关键点点睛：求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据

设而不求的思想,利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算,是解题的关键.

2o

5.(2022•天津•高考真题)椭圆［4•斗=1(“＞力＞0)的右焦点为只右顶点为4上顶点为民且满足

I叽G

（1）求椭圆的离心率e；

⑵直线/与椭圆有唯一公共点M与j，轴相交于MN异于M.记。为坐标原点，若10Ml=|。凶，且，OMN的

面积为白，求椭圆的标准方程.

【答案】（l）e=W

3

⑵二+f=]

62

【分析】（1）根据已知条件可得出关于。、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；

（2）臼（1）可知椭圆的方程为V+3）/=〃2,设直线/的方程为），=&+，〃，将直线/的方程与椭圆方程联立，由

△=0可得出3评=“20+3&2）,求出点M的坐标,利用三角形的面积公式以及已知条件可求得片的值,即可

得出椭圆的方程.

⑵解：由⑴可知椭网的方程为f+39=a

易知直线/的斜率存在,设直线/的方程为>=心+,

联立'I：；；：不得（1+3公卜2+6k树+（3/-〃）=0,

由△=36公〃/一4（1+3k2）（3〃/一/）=0=>3〃/=片0+3六），①

3km,tn

-s——，=依M+〃？=-----r2,

3公+1'"必\+3k

,m2（9k2+l）

由10M卜\ON\可得疗=-,②

IDK*11

由SOMV=6可得』时例=6,③

联立①②③可得公=匕疗=4,/=6,故椭圆的标准方程为占+与=1.

362

6.（2022•全国・高考真题）已知双曲线4-，=1（〃>0力>0）的右焦点为/（2.0）,渐近线方程为

y=-y/5x.

⑴求C的方程；

⑵过尸的直线与。的两条渐近线分别交于A,〃两点，点P(N，X),Q(X2，)’2)在c上，且内>占>0/>0.过

P且斜率为-6的直线与过。且斜率为6的直线交于点弘从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一

个成立：

①加在A8上；②PQ〃A8；③|的4RMB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴/-工=1

3

⑵见解析

【分析】⑴利用焦点坐标求得。的值，利用渐近线方程求得。力的关系，进而利用的平方关系求得&力

的值,得到双曲线的方程；

(2)先分析得到直线AB的斜率存在目.不为零,设直线AB的斜率为匕欣物外),由③|力M=1网\等价分析得

到小+妙。=若；由直线/狎和QM的斜率得到直线方程,结合双曲线的方程,两点间距离公式得到直线PQ

的斜率，〃=汉，由②PQ//AB等价转化为ky.=3%,由①M在直线人8上等价于利二公(・％-2),然后选择

两个作为已知条件一个作为结论,进行证明即可.

【详解】⑴右焦点为尸(2,0),・・・c=2,•・•渐近线方程为

y=-y/3x,<*.—=5/3,b=6a,/•c2=a~+b2-4a2=4,，a=1,，〃=6.

a

，C的方程为：Y-三=1;

(2)自已知得直线PO的斜率存在且不为零,直线人8的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知白线AB的斜率存在IL不为零；

若选①©推②，则M为线段AB的中点，假若直线A8的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在X轴上，

即为焦点F,此时由对称性可知P、。关于“轴对称,与从而西=与，已知不符；

总之,直线AB的斜率存在且不为零.

设直线A8的斜率为A,直线AB方程为y=k(x-2),

则条件①M在上,等价于%=刈七一2)=⑥。=犬U-2);

两渐近线的方程合并为3——./=o.

联立消去y并化简整理得：（公-3）%2-454+4犬=0

设40内），*七，乂），线段中点为“亿，％），则/=玉/=餐，*=&(4-2)=措

乙N一K一

设股（工0，%），

则条件③MM=|则等价于（现-玉）2+（先_必）2=小一汽）2+（）,。_

移项并利用平方差公式整理得：

（七一七）［2/一（占+S）］+（）广乂）［2%-（以+”）］=。，

［2%-（七+%）］+:［2%一（月+儿）］=°,即％—4+&（%—）加）

X3-X4

,8产

QI1%+期'。=正与；

由题意知真线P/W的斜率为-石，直线。”的斜率为力，

•••由y-%=一J5（不一天），力一%=并（%一%），

•••）'「必=一石（七+七・2七）,

后（内+工2―2%）

所以直线PQ的斜率〃?=＞二%

—内一々

直线PM:y=Y(x—%)+为，即y=%+£%_瓜，

代入双曲线的方程3/-丁_3=0,即(△+)，)(".)，)=3中,

得।(汽+47)[26.(%+百%)]=3,

3y

H-T+JO.X+X-2X=--Ao

一3%)I20

3%

为'

・•・条件②P。//相等价于,〃=A=/=3%,

综上所述:

条件①条在A8上,等价于机=炉5-2）；

条件②PQ//AB等价于ky°=3为；

条件③14Ml=忸闸等价于X。+小=念；

选①②推③：

"2QL-

由①②解得：%=”--=4x0=~~~-，，③成立；

选①③推②：

由①@解得：/=母f，6。=瓷，

KJK

.・.线=3.0,.•.②成立；

选②③推①：

由②③解得：/=丹，以=3，...同一2=*,

••.60=好（.％2）,・•.①成比.

7.（2022•浙江•高考真题）如图，已知椭圆《+）,2=1.设48是椭圆上异于汽04）的两点,且点。（0,；）在

线段AB上,直线PAPB分别交直线产-1+3于C〃两点.

（D求点尸到椭圆上点的距离的最大值;

（2）求I。。的最小值.

【答案】（1）Ml；

11

⑵竽.

【分析】(1)设H(2^cosasinO)是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出IP4已再根据二次函

数的性质即可求出；

(2)设直线/切:y=M+；与椭圆方程联立可得为看小+修，再将直线y=-；x+3方程与以、的方程

4乙

分别联立，可解得点co的坐标，再根羽两点间的距离公式求出|3,最后代入化简可得

，由柯西不等式即可求出最小值.

【详解】(1)设H(2QCOSdsin。)是椭圆上任意一点,PW),

|PW|2=12cos26>+(l-sin<9)2=13-llsin2^-2sin<9=-llfsin6?+—+吧W此，当且仅当sin，=-1时取

I\\)II1111

等号，故|尸”|的最大值是耳五.

⑵设直线仍：7=而+；,直线A8方程与椭圆纭+)，2=1联立，可得(心+总./+依-3=0设

4，

人(玉,》),8(工2，%),所以

因为直线"J=-x+1与直线y=一％+3交于C,

x\2

4x4x一,4A\

则%=―n=777-77~~7,同理可得，M=-3~~彳=777~；~~~7•则

*+2yt-2(2K+IM-1x2+2y2-2(2k+1)%-I

I处后I-I=露黑一"急31

________________________=2后_____________■一-

[(2A-+l)x-l][(2A:+l)^-l]

l(2k+\yx}x2-(2k+])(.v]+A*2)+1

3Q5"163+16&'I，公+丫］6讨＞6石VV4AX4+IXJ64,

=-------------=--------------------N----x---------------=----

2|3左+1|5段+1|5|3火+1|5

当且仅当％时取等号，故|cq的最小值为竽.

【点睛】本题主要考查最值的计算,第一间利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决,第二问思路

简单,运算量较大,求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值,对学生的综合能力要求较高,属于较难题.

8.(2022・全国・高考真题)设抛物线Uy?=2〃x(〃>0)的焦点为片点Q(p.O),过/；的直线交。于M*两

点.当直线屹垂直于*轴时，|MF|=3.

(D求。的方程；

(2)设直线MDN。与。的另一个交点分别为记直线MM/W的倾斜角分别为以/?.当。一夕取得最大

值时,求直线/步的方程.

【答案】(l)V=4x;

(2)AB:x=y［2y+4.

【分析】(D由抛物线的定义可得|河尸|=〃+/,即可得解；

(2)法一：设点的坐标及直线M/V:x=%，+1,由韦达定理及斜率公式可得&伸=238,再由差角的正切公式

及基本不等式可得输=当，设直线四:工=也》+胜，结合韦达定理可解.

【详解】(1)抛物线的准线为“=-5，当与A•轴垂直时，点”的横坐标为〃，

此时|M叩〃+勺3,所以〃=2,

所以抛物线。的方程为V=4x；

(2)［方法一］:【最优解】直线方程横截式

设M至XN5.%A%%，8(¥，乂)，直线MN;X=my+\,

fx=wv+l,-八

由Jv2=4x可得»-4机)，-4=0,A>0,y,y,=-4,

k二)'f二4二.一乂二4

由斜率公式可得‘,一+力，.-父_g_乃+”，

4444

直线MO:x=土2•y+2,代入抛物线方程可得V—Mi-).),_8=0,

,)1

△>。，y%=-8,所以为=2%，同埋可得北=2yl,

所以心=总=不%考

又因为直线«AB的倾斜角分别为尸，所以阳8=tan〃=警=詈，

若要使a-4最大，则夕《0,]]设勺，v==2Q0,则

/tana-tanZ?k\1V2

tan(or-/?)=-------------------=--------7=--------<-.=——4

1+lanata"1+2K32k2]^2k

当且仅当!=2★即攵=①时,等号成仁

k2

所以当[一夕最大时，砥8=孝，设直线48:x=&y+〃，

代入抛物线方程可得V-4衣），-4〃=0,

=76,所以〃=4,

所以直线AB:x=0y+4.

［方法二］:直线方程点斜式

由题可知，直线妙.的斜率存在.

设Ma，yJ,N（孙旷2），4（/,%），8（玉，％）直线.：5=2（1一1）

由1=1）得：公/一（2二+4）x+公=0,内再=1,同理，

直线珈：y=34（x-2）,代入抛物线方程可得：8芭=4,同理，占七=4.

为-2

代入抛物线方程可得：=-8,所以％=2%,同理可得乂=2%,

二乂一为二2（心一y）二乃一y

由斜率公式可得；小lTN—)=拓

4--

1天

(下同方法一)若要使a-尸最大，则夕40,彳｝

/_小_tana-tan-_k_]]_也

设"MN=2晟8=2攵>0,则1+tanalan/1+2内1+2k2^-2/:4，

当且仅当!=2无即£=也时，等号成立,

k2

理,设直线AB.x-41y+n,

所以当。一夕最大时，kAR=

代入抛物线方程可得V-40,，-4〃=0,△>0,%北=Yn=4y,y2=-16,所以〃=4,所以直线

AB:x=41y+4.

[方法三]:三点共线

设P〃o）,若凡M*三点共线，由PM=（?—"J，PN=?-,必

/2、

所以%=/■-/%，化简得）/2=

反之,若y%=-山，可得即过定点亿0）

因此由业M户三点共线，得）/2=T,

由M〃、力三点共线，得y，3=-8,

由A；D、/三点共线,得力为=-8,

则>必=4Ky2=16,他过定点（4,0）

（下同方法一）若要使a-A最大,则左（0段），

/_小_tana-tan/?_k_]]_也

a

设“MN=2砥B=22>0,则1+tan<2tan1+2K1+2Z-2J：.2上4，

当H仅当;=2女即氏=巫时，等号成立，

所以当。一〃最大时，，所以直线A8:x=及y+4.

【整体点评】（2）法-：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算,通过寻找直线"MA8的斜率关系，

由基本不等式即可求出直线月8的斜率，再根据韦达定理求出直线方程,是该题的最优解,也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式,解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系,快速找到直线过定点，省去联立过程,也不失为一种简化运

算的好方法.

9.（2022•全国•高考真题）已知椭圆£的中心为坐标原点，对称轴为了轴、y轴，且过八（0,-2）,哈，-1）两

点.

（1）求〃的方程；

⑵设过点网1,-2）的直线交E干M,N两点,过J/且平行于x轴的直线与线段47交于点7；点〃满足

MT=TH,证明：直线〃V过定点.

【答案】⑴『卜

(2)(0,-2)

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可;

（2）设出直线方程,与椭圆C的方程联立,分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解】⑴解：设椭圆〃的方程为加+/=1,过小0,-2）,呜,-1）,

4〃=1

则’91，解得〃]=[〃=：

—m+n=\34

14

所以椭圆〃的方程为：£+二=1.

43

32

⑵A(0.-2),fi(--1)，所以AB:y+2=§

①若过点.P。，-2）的直线斜率不存在,直线x=l.代入土+上=1,

34

可得M（l,—半），N（l,孚），代入［8方程y=|x-2,可得

丁（一布+3,—半），由MT=777得至明（一2"+5,—半）.求得〃V,方程:

y=(2+12,过点。-2）.

②若过点尸（12）的直线斜率存在，设公仅+2）=0,M（M，X）,N（J£）.

kx-y-(k+2)=0

联立x22，得(3公+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,

—+-y-1

I34

64(2+1)「8(2+4)

%+为51必3公+4

3k2+4

可得

3k(4+k)，4(4+44-2二1

33+4y%=-弘2+4

-24k

且百'k—L/毒（*）

y=y

联立2r，可得丁(孕+女y),"i3M+6-M

y=-x-22

可求得此时HN:），一％=（X_X2）,

将(a-2)，代入整理得2(&+七)-6(»—%)+N必+于y_3yly2T2=0,

将（*）代入，得24k+12公+96+4弘-242-48-482+24公-36k2-48=0,

显然成立，

综上,可得直线/加过定点（。,-2）.

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

10.（2022•北京・高考真题）已知椭圆E：:+£=1（。＞〃＞0）的一个顶点为AC0.1）,焦距为2右.

a'b'

⑴求椭圆£的方程；

（2）过点P（-2.1）作斜率为k的直线与椭圆〃交于不同的两点8,Ct直线他力。分别与x轴交于点礼N,当

I仞V1=2时，求左的值.

【答案】⑴二+），2=1

4

⑵A7

b=l

【分析】（1）依题意可得2c=26，即可求出。，从而求出椭圆方程；

c2=a2-b:

⑵首先表示出直线方程，设8（如州）、。（&,力），联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线从3、

4C的方程,表示出/、小，根据|叫=|,5-%|得到方程，解得即可；

【详解】⑴解:依题意可得力=1,2C=2G,又。2=/一从，

所以。=2,所以椭圆方程为《+），=1;

4

（2）解：依题意过点P（一2,1）的直线为y—l=k（x+2）,设3（x5）、。国心），不妨令

y_]=A（x+2）

消去）'整理得0+4公）f+（16攵2+8k）x+16/+I6A=O,

由，X221

一+V=1

14

所以A=（l6k2+8Q」—4（1+软2）（16女2+16女）＞0,解得左＜0,

16k2+8k16二+16左

所以X

+x2=-\+4k2'%占-1+4公，

直线A8的方程为yT=』二」X,令y=。，解得/=J-

直线AC的方程为y-1=-》,令尸。，解得心=产

x,1-y2

所以|例川=|/-%|="^---^-

［一必।一y

X,

1-[4(*2+2)+1]।一[&($+2)+1]

当

T(x>+2)k(.q+2)

_(*+2)N72(X+2)

&(占+2)(马+2)

2%一占|

1矶毛+2）（演+2）

所以后一到=|矶Z+2）（百+2）,

即+「2丫―4=七=冈[超为+2(%+$)+4]

'16芯+8女、/16公+16攵I,.16公+16攵J16公+弘

即-4x-------=\k\+2------;-+4

―_1+4公」1+4/\+4k21+叱

即/（1+附（八曲=黑06k2+16〃

7-2(16/+8A)+4(1+软2)]

整理得8口=4阂，解得左二T

11.（2021•天津•高考真题）已知椭圆*+£-的右焦点为尸，上顶点为A,离心率为半，旦

\BF\=45.

（D求椭圆的方程；

（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与V轴的正半轴交于点N,过N与A尸垂直的直线交x轴于点P.若

凡求直线/的方程.

【答案】⑴］+9=］；⑵1_），+灰=0

【分析】（1）求出。的值,结合。的值可得出b的值,进而可得出椭圆的方程;

⑵设点"（线，儿），分析出直线/的方程为苦+耳3=1,求出点P的坐标,根据M/力班'可得出M=%、求出

与、先的值，即可得出直线/的方程.

【详解】⑴易知点尸（c,0）、B（o力），故|BF|=V?寿=＜=石,

因为椭圆的离心率为e=£=侦，故c=2,8=J7二7=I,

a5

因此椭圆的方程为《+尸=|.

5

⑵设点.»/（%几）为椭圆1+/=1上一点，

先证明直线MN的方程为号+为旷=I,

联立,消去y并整理得V-2x°x+x；=0,△=4x：-4片=0,

因此椭圆］+），2=1在点必住，几）处的切线方程为专+），”=I.

直线所的斜率为尢，=-2=、，所以,直线PN的方程为y=2x+—,

c2Jo

在宜线PN的方程中，令y=（）,可得”=一；，即点尸

.2y；=1

因为MP//BF,则即二T一诟方一段，整理可得小+5%）2=0,

所以,%=-5＞，（＞,因为鸟+犬=6），：=「』＞0,故），0=也%=-地,

566

所以，直线/的方程为-巫X+在y=1,即x-y+G=0.

66

【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线:

⑴设切线方程为），="+〃，与椭圆方程联立，由A=0进行求解;

⑵椭圆J+£=1在其上一点(Xo，)b)的切线方程为等+等=1,再应用此方程时，首先应证明直线

沪爷"椭吟+a相切.

12.(2021-全国・高考真题)己知椭圆。的方程为=\{a>〃>0),右焦点为r(3,0),且离心率为

旦

3

(1)求椭圆。的方程;

⑵设MA，是椭圆。上的两点，直线与曲线Y+y2=〃(％>0)相切.证明：此川下三点共线的充要条件

是|MN|=>/J.

【答案】(1)[+):=1；(2)证明见解析.

【分析】(1)由离心率公式可得。=白,进而可得从，即可得解;

(2)必要性：由三点共线及直线与圆柱切可得直线方程,联立直线与椭圆方程可证|MN|=G；

充分性：设直线(如〈0),由直线与圆相切得>=公+],联立直线与椭圆方程结合弦长公式

可得ViTM.虫廿二白，进而可得g士i,即可得解.

1+3/

【详解】⑴由题意，椭圆半焦距c=&且e=£=立，所以4=6,

a3

又户=1—。2=],所以椭圆方程为1+),2=]；

(2)臼(1)得，曲线为x2+y2=l(x>0),

当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=l,不合题意；

当直线MN的斜率存在时,设M(X，y)，N(w，%)，

必要性:

若M八"三点共线,可设直线MN:y=-近)即权-y-标=0,

由直线MN与曲线W+产=l(v>0)相切可得J^L=|,解得A=±1,

y=±(x-⑹

联立;2,可得4%2_6«1+3=0,所以M+占3

浮f4

所以|MN|=>/[7]]（占+々1―4$4=G,

所以必要性成立；

充分性：设直线MN:y=kx+m,[hn<0）即kx-y+/〃=0,

l/nl

由直线MN与曲线/+炉=13>0)相切可得-^」=1,所以/=&2+|,

yJk2+\

y=kx+m

2

联立〈x、可得（1十3A）/+6k/tix+3〃/-3=0,

§+5=i

uui、i6km3/n2-3

所以百十XL-E'FF=K

3病-3

所以（）2）X.

|A/N|=Jl+-2-^Xj+.V2-4x=J1+：；；

1+3必

=标售3

化简得3俨-1『一0,所以4—JJ,

k--\

,=

所以—或i广，所以直线MN:1y=x-0«k>-x+V2,

m--41m=>J2

所以直线MN过点F(>/2.0)..IZ、；厂三点共线，充分性成立;

所以M三点共线的充要条件是|MN|=6.

【点睛】关键点点睛：

解决本翘的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

13.(2021•浙江・高考真题)如图，已知尸是抛物线)?=2内(〃>0)的焦点，”是抛物线的准线与*轴的交

点，且|明=2,

（1）求抛物线的方程；

⑵设过点外的直线交抛物线与力、〃两点,斜率为2的直线/与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点f\Q&N,

且|RN『=|PNHQN|,求直线/在x轴上截距的范围.

【答案】⑴/=4x;⑵（-oo,-7-46］U卜7+46,1>J（l,+oo）.

【分析】（1）求出〃的值后可求抛物线的方程.

（2）方法一：设八8"=）+1,4（不芦）,8（占,%），N（儿0）,联立直线相的方程和抛物线的方程后可得

=+北=今，求出直线MA,MB的方程,联立各直线方程可求出外,用,以，根据题设条件可得

二从而可求〃的范围，

（2/-1）

【详解】⑴因为|Mq=2,故〃=2,投抛物线的方程为：尸=4乩

（2）［方法一］:通式通法

设八B:x=）+1,A（N，y）,或库,2），N（几0）,

所以直线/：戈二弓+〃，由题设可得〃H1且L1

乙4

山，c”可得>2-40-4=0,故=-4,乂+必=4/,

•v»=4x

因为|RN『=|尸N|.|QN|,故

y=—^―(.v+l),、

E可得“哭学,

又M4:y-(x+1),由

x1+123+2r

2

同理

X

22+2—y2

x=ty+\

2(〃T)

由.可+〃可得X

2/-I

[2(〃+1)%>2(〃+l)y

所以

2%2+2-)？2&+2-y

整理得到=(21)2

(2x2+2-y,)(2x1+2-y1),

4(21y

2+2-%

272B-JI

4(2-1)-⑵『

223+4产

苧+(%+，『-)'2)1-xy%-2(力+力)+4

2_3+4产

故=(WJ

V4-1

令s=27—1,则/=fl.sH0,

lf3+4〃H+2S+4t2433

故7——1=———=!+-+—

(2/-1)-bss-44一4'

(n+\3即,

1〃-1/72*+14??+1>0

故

"1

解得〃工一7-46或一7+464〃<1或〃>1.

故包线/在x轴上的截距的范围为〃4-7-46或一7+4G«〃<l或〃>1.

［方法二］:利用焦点弦性质

设直线A8的方程为X=勺），+1,直线的方程为/=&了-1,直线的方程为工=%歹-1,直线/的方程为

X=《+〃?,AI，N(〃?,0),由题设可得Ww1且用工J.

由"得)2-4勺y-4=0,所以*+y2=4K,y[y2=-4.

y——■AT

尤+1

因为幺=且一=n+」_£=&+-!_，

>14y-4乃

.•国+右=丛十_L+近十_L=—正十%上必=勺_勺=。

‘4^4%4)，跖’

+L叱江+，」7：一.

4)‘跖，为2

x=k2y-\,机+1

由，y

x=—+m

2

w+1

同理一r.

1a

x=k}y+\,

由y得)，=

x=—+m

2

因为l/WfWPNHQNL

(M+1)2_(m+l)2

所以%=一力•%即T

k.--

'2>

令”用一；,则r+/+1i1,十字

―;-=-+-+!=+

7i44

所以"Ik"」解得心7-46或-7+4石"<1或">1.

故直线/在x轴上的截距的范围为(HO,-7-48)J—7+46』)J(1,+«>).

［方法三］【最优解】：

设44,2^3>0)192,2〃)，

由AFI三点共线得当2=3=3,即必=—l.

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