小学数学5年级培优奥数讲义 第01讲-平均数（含解析）

第一讲平均数

一、学习目标

进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系

进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用题

二、知识梳理

（一）基本公式

平均数x总份数=总数量总数量+总份数=平均数总数量+平均数=总份数

（二）平均数问题

H常生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样多，就将

水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的“移

多补少”，通常称之为平均数问题。

求平均数问题的基本数量关系是：总数量♦总份数二平均数,解答平均数问题的关键是要求出总数量

和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法，即找一人基数，用“基

数十各数与基数的差之和+份数=平均数”公式求平均数。

三、典例分析

考点一：用基本关系式求平均数

例1、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4座米、3厘米。这4个杯子里水

面的平均高度是多少厘米？

例2、数学测试中，一组学生中的最高分为98分，最低分为86分，其余5名学生的平均分为92分。

这一组学生的平均分是多少分？

例3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2

分。明明英语考了多少分？

考点二：利用基数法求平均数

例1、求下列20个数的平均数：401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399,396，

398,398,405,401,400,402,403,4000

例2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘

米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。

考点三：航行中的平均数问题

例1、两地相距36()千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要1()小时，已知这条河的水流速度为每小时6

千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？

例2、张师傅开汽车从A到B为平地(见下图)，车速是36千米/时；从B到C为上山路，车速是28

千米/时；从C到D为下山路，车速是42千米/时.己知下山路是J_.山路的2倍，从A到D全程为

72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？

考点四：改动中的平均数

例1、有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1,那么这五个数的平均数为8,这个改动的数

原来是多少？

4、A、B、C、D四个数，每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数，这样计算了4次得到下面4个

数23,26,30,33。A、B、C、D4个数的平均数是多少？

5、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是七，后四个数的平均数是10,那么第一个

数和第五个数的平均数是多少？

6、王华的期末考试成绩单被弄污了，有两个字看不清楚，请你想办法把语文、数学成绩算出来

科目语文数学外语自然音乐体育平均

分数■hU8590758083

【课后作业】

I、小明前几次数学测验的平均成绩是84分.这次要考到100分.才能把平均成绩提高到86分.间

这是他第几次测验？

2、一艘轮船往返于甲乙两个码头距离为75千米，顺水每小时航行25千米，逆水每小时航行20千米。

这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？

【解析】求总时间，然后求出平均速度

3、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的

分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？

4、第三小队11位少先队员参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别是

92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89,求每个人平均每分钟跳绳多少个？

【思考题】

1、赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最

后又沿原路返回.假设赵伯伯在平路上每小时行4千米,上山每小时行3千米，下山每小时行6千米,

在每天锻炼中，他共行走多少千米？

【总结】

重点回顾

1、用基本关系式求平均数

2、利用基数法求平均数

3、航行中的平均数问题

4、改动中的平均数

名师点拨

1、求平均数问题的基本数量关系是：总数量+总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求出总数

量和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。

本节课我学到

我需要努力的地方是

第01讲平均数

教学目标

2进一步理解和掌握平均数应月题的意义和数量关系

?进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均数应用题

覆知识掘里L

一、基本公式

平均数X总份数=总数量总数量+总份数=平均数总数量+平均数=总份数

二、平均数问题

日常生活中我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样多，就将

水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的“移

多补少”，通常称之为平均数问题。

求平均数问题的基本数量关系是：总数量+总份数=平均数，解答平均数问题的关键是要求出总数量

和总份数的，然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法，即找一人基数，用“基

数+各数与基数的差之和+份数二平均数”公式求平均数。

覆典例分析工

考点一：用基本关系式求平均数

例1、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是8厘米、5厘米、4厘米、3座米。这4个杯子里水

面的平均高度是多少厘米？

【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量+总份数;平均数。根据已知条件，求出4个杯

子里水的总高度，然后除以杯子的个数，即可求出平均数。

（8+5+4+3）+4=5（厘米）

答：这4个杯子里水面的平均高度是5厘米。

解：（800+150）+19=50（秒）

答：全车通过长800米的大桥，需要50秒。

例2、数学测试中，一组学生中的最高分为98分，最低分为86分，其余5名学生的平均分为92分。

这一组学生的平均分是多少分？

【解析】利用平均数问题的基本数量关系是：总数量小总份数二平均数。总数量=98+86+92X5=644（分）,

总份数=1+5+1=7（人），平均数=644-7=92（分），故这一组学生的平均分是92分。

例3、明明期中考试语文、数学、科学的平均分数是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2

分。明明英语考了多少分？

【解析】利用基本式：三门课总分数=91X3=273,四门课总分数=（91+2）X4=372。英语分数

=372-273=99（分）。

另一种思维方式：平均分提高了2分，也就是说，英语成绩比其他三门功课的平均成绩多了4个2

分，即2X4=8分，那么英语成绩=91+8=99（分）

考点二：利用基数法求平均数

例1、求下列20个数的平均数：401,398,400,403,399,396,402,402,404,403,399,396,

398,398,405,401,400,402,403,400。

【解析】解法一：先求出这20个数的和，即总数量，再用20个数的和除以总份数20,求出平均数。

因为这20个数据比较大，这种解法计算量很大，容易出错。

解法二：仔细观察这20个数据都接近400,有的比400大，有的比400小，我们可以借鉴移多补少

的思想，以400作为基准，把这20个数都看作400,求出它们比400多出或不足的部分，多出1记

作“+1”，不足2记作“-2”，计算时多出和不足的部分让它们互相抵消，可得这20个数据共多出：

+1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1-4-2-2+5+1+0+2+3+0=10,再把多出10平均分给这20个数据，所以这20个

数的平均数是：400+10+20=4065。对于求多个比较接近的大数的平均数，直接计算很麻烦，我们

可以选择这些数最接近的整数作为基准数，运用上面的方法解答，计算就简单多了。

例2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘

米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。

【解析】这道题可以按照一般思路解，即用身高总数除以总人数。还可以采用假设平均数的方法，容

易发现身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当做基数，用“基数+各数与基

数的差之和♦份数二平均数”公式求解。即有150+（3X2+2-1X2-3X2）+（2+l+2+2）=150（厘米）

考点二：航行中的平均数问题

例1、两地相距360千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6

千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？

【解析】航行中的速度关系：顺水速度二船的静水速度+水流速度逆水速度二船的静水速度-水流速度,

速度二路程+时间用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的

平均速度必须先求出逆水行完全程所用的时间。由题意可知顺水速度=360+10=36千米/小时，船的

静水速度=36-6=30千米〃J、时。所以船的逆水速度=30-6=24千米/小时。逆水行全程时所用的时间二360

■24=15（小时）

解:逆水速度3604-10-6-6=24（千米/小时）

逆水走完全程的时间360+24=15（小时）

平均速度=总路程+总时间=（360+360）+（10+15）=28.8千米/小时

答：往返两地的平均速度是每小时28.8千米。

例2、张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米/时；从B到C为上山路，车速是28

千米/时：从C到D为下山路，车速是42千米/时.已知下山路是卜.山路的2倍，从A到D全程为

72千大，张师傅开车从A到D共需要多少时间？

【解析】本题给出BC段与CD段的路程关系，因此可以先求出BD段的平均速度，设BC段的路程

为84份,CD段则为168份，则BD段的平均速度=（84+速8）+（烫+磨）=36（千米/时）,与平路的平

2842

均速度恰好相同，所以共需时间72・36=2（小时）

考点四：改动中的平均数

例1、有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1,那么这五个数的平均数为8,这个改动的数

原来是多少？

【解析】改动前五个数的和为:9X5=45；

改动后五个数的和为：8X5-40；

改动后总和比改动前减少了：45-40=5；

所以被改动的数减少了5,这个数原来是：1+5=6

例2、五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89

分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？

【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7—91.5=0.2（分）。9里面

包含有45个0.2、五一班就有45名同学。

例3、有4个数，这4个数的平均数是21,其中前2个数的平均数是15,后3个数的平均数是26.

那么第二个数是多少？

【解析】根据“4个数的平均数是21”，可以得出4个数的总和就是21X4=84,又根据“前2个数

的平均数是15,后3个数的平均数是26”，可以得出他们的总和为15X2+26X3=108,其中第二个

数被重复算了一次，所以总和多出来的了108-84=24,就是第二个数。

耍实战演练&

课堂狙击'

1、有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均

每箱37个。一箱苹果多少个？

【解析】（1）1箱苹果+1箱梨+1箱橘子=42X3=126（个）；

（2）1箱桃+1箱梨+1箱橘子桃6X3=108（个）

（3）1箱苹果+1箱桃=37X2=72（个）

由⑴⑵两个等式可知：1箱苹果比1箱桃多126—108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃

有（74—18）。2=28（个），1箱苹果有28+18=46（个）。

解：1箱苹果和1箱桃共有多少个：37X2=74（个）

1箱苹果比1箱桃多多少个:42X3-36=18（个）

1箱苹果有多少个：28+18=46（个）

2、小英4次数学测验的平均成绩是92分，5次数学测验的平均成绩比4次数学测验的平均成绩提高

了1分。小英第5次数学测验得了多少分？

【解析】5次比4次测验的平均分提高了1,那么第五次测验的成绩比4次测验的平均数多出了5个

1分，所以第五次测验的成绩-92+1X5=97(分)

3、一辆小轿车，装有4个轮胎，还有2只备用轮胎，司机适当地轮换这6只轮胎，使每只轮胎行程

相同。小车共行驶了360千米，每只轮胎平均行驶了多少千米？

【解析】小轿车在任何时候都是4个轮胎同时行驶，小车行驶360千米，即所有6只轮胎共行驶4

个360千米：360X4=1440(千米)。平均每只轮胎的行驶路程为：1440+6=240(千米)。

4、A、B、C、D四个数，每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数，这样计算了4次，得到下面4个

数23,26,30,33。A、B、C、D4个数的平均数是多少？

［解析］A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3X(23+26+30+33)

3(A+B+C+D)=3(23+26+30+33)

A+B+C+D=112

A、B、C、D4个数的平均数是28

5、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是七，后四个数的平均数是10,那么第一个

数和第五个数的平均数是多少？

【解析】前四个数平均数是7,前四个数的和是7X4=28,第五个数是45-28=17；后四个数平均数是

10,后四个数的和是10X4=40,第一个数是45-405；第一个数和第五个数的平均数是(17+5)+2=11

6、王华的期末考试成绩单被弄污了，有两个字看不清楚，请你想办法把语文、数学成绩算出来

科目语文数学外语自然音乐体育平均

分数Lia■hU8590758083

【解析】根据六门成绩的平均成绩为83分，则能求出总成绩为83X6=498分，减去另外四门的成绩

就是数学语文的总成绩，然后根据数学成绩的个位数字，推出语文成绩，即可得出结论。

解：语文与数学成绩之和83X6-180+75+90+85)=168(分)

因为数学成绩的个位数为5,则语文成绩的个位数一定是8-5=3,故语文成绩是83,数学成绩是85

分

答：王华的语文数学成绩分别是83分，85分。

＞课堂反击

1、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考到100分，才能把平均成绩提高到86分。问

这是他第几次测验？

【解析】100分比86分多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使其平均分成为86

分。每次填补86-84=2(分)，14分里面有7个2,所以前面已经测验了7次，这是第8次测验。

2、一艘轮船往返于甲乙两个码头距离为75千米，顺水每小时航行25千米，逆水每小时航行2()千米。

这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？

【解析】求总时间，然后求出平均速度

解:逆水走完全程的时间754-20=3.75小时

顺水走完全程的时间二75彳25二3小时

平均速度二总路程+总时间=(75+75)・(3.75+3)比22.22千米/小时

答：往返两地的平均速度是每小时22.22千米。

3、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是9