小学奥数之分数问题

第一讲小升初•竞赛中的分数问题

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在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。

①和（差）倍问题。详细表现为“已知分数的分子与分母的和（差），和约分过后的结果，

求原分数。

②改变类。详细表现为“已知分数的分子与分母和（差）的关系，再告知分子或分母改

变后的结果，求原分数J

③因数分解类。详细表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值J

④中间分数计算类。详细表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分

母的和的最小值J

精典例题

3

例1:一个分数约分后是7,若约分前分子与分母的和是40,那么约分前的分数是多

少？

,思路点拨

想一想：约分后是,,你可以想到什么？你有几种方法来解答这个问题？（友情提示:

从方程与算术两个角度来思索。）

'模仿练习

3

一个分数的分子与分母和是40,约分后是三，那么这个分数原来是多少?

1

例2:一个分数的分子与分母的和是19,加上这个分数的分数单位就是％,这个分数是

多少？（2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16

思路点拨

想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了改变？想明白后，再结合例1

方法来思索一下，信任你能自己解答的！

'模仿练习

1

一个分数的分子与分母之和是37,若分子减去1,分数值是J，原分数是多少？（2007

年成都外国语学校小语种数学试卷）

例3:分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个？（2005年成都七中育才

东区连接班招生考试题）

,思路点拨

想一想：满意什么条件的分数才是最简真分数？再想一想对“分子、分母相乘的积是

2002”的信息又应当怎样去理解？

“模仿练习

一个最简真分数，分子与分母的积是24,这个真分数是多少？（成都外国语学校2011

年“德瑞杯”学问竞赛数学试题）

口学以致用

A级

2

1.一个分数分子与分母的和是72,约分后是7,这个原分数是多少？（2005年成都七

中育才东区连接班招生考试题）

7

2.将分数五的分子增加77后，假如要求分数的大小不变，分母应变为多少？（2010

年成都七中嘉祥外国语学校6年级连接班试题2）

7

3.一个分数，分子、分母的和是2010,约成最简分数后是而，这个分数是多少？（嘉

祥外国语学校2011年5升6招生数学试题）

B级

1

4.某分数分子分母的和为23,若分母增加17,此分数值为a,原分数为多少？（成都

试验外国语学校“德瑞教化发展基金会”2010年奖学金测试数学A卷）

5.分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个？（2008年成都嘉祥外国语连接班

招生考试题2）

5

6.一个分数，分子与分母的和是75,若分子加上3,则可约简成金，原来的分数是多少？

O

（2007年成都七中育才东区连接班招生考试题2）

C级

3n4

7.m,n为自然数，若a<-<5,则m+n的最小值是多少？（2007年成都七中育才

想一想：现在这种形式满意一，吗？很明显不满意，那么细致视察每一项的分母，依

axb

据分母的特点，有没有方法把这道题的每一项都转化成“上工”的形式！信任你会有方法

axb

的！

,仿照练习

-4--+—^4—^+.（第三届《小数报》数学竞赛）

1x44x77x1（）10x1397x100中

例3：

2341()

lx(1+2)(1+2)x(14-2+3)(1+2+3)(1+2+3+4)(1+2+3+...+9)x(l+2+3+...+10)

（1989年小学数学奥林匹克竞赛初赛试题-成都试验外国语学校“德瑞教化发展基金

会”2010年奖学金泅试题B卷）

F思路点拨

先依据减法的性质：从被减数中连续减去几个数，可以先把这几个减数相加，再从被减

数里减去它们的和，结果不变。然后，再视察每项分母的两个因数与分子之间有什么关系？

那么可以怎样计算？

,仿照练习

234100

---------+---------------------1+…4

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)(1+2+3+4)-------(1+2+3+...+99)x(!+2+3+...+100)

计算化简后得到一个最简分数，它的分母与分子的这差是多少？（北京市第四届“迎春杯”

刊赛试题）

设

J学以致用

A级

1111.

1・不行+KF+…+77,(第三届祖冲之杯数学邀请赛试题)

1ZN//z\OOZN4J.J.z\JLN

22222

2.+--------+----------+-------------+…+---------------

1X44X77X1010X1397X100

55555

3.++++•••+

1X44X77X1010X1397X100

B级

11111111

4.1，3-+5-+7-+9-+11-+13-+15芯+17而（第四届“华杯赛”

复赛第5题）

1238

（成都外国语学校

5.-1--X--2-+-1--X--2--X--3--+1--X---2--X--3--X---4--+…+1--X---2--X--3---X--……------X--9---'双和*日府于仪

2009年“德瑞杯”学问竞赛数学试题）

C级

]_11

6%।3―——一华一1（南京市第

1+-（1+-）（1+-）（1+-）（1+-）（1+-）（1+-）^―）

223234231999

三届“爱好杯”少年数学邀请赛决赛D卷第1题）

第三讲工程问题（一）

+学问导航

工程问题小学应用题的重点内容也是难点内容，更是小升初、竞赛中的压轴题。“难”

在工程问题中一般状况下将工作总量看作单位“1”，显得特别的抽象，学生难于理解。其

实工程问题的解题策略就是设值法，就是设工作总量为单位“1”，假如结合详细情境，我

们把这个“1”给它给予实际意义，理解为1km,1个……就可以化抽象的“1”为详细的

“1”，从而形象理解，轻松驾驭。

常见数量关系：

工作总量=工作效率X工作时间；

工作时间=工作总量+工作效率；

工作效率=工作问题+工作时间。

分析解答问题时，不要把问题想的太困难了！假如擅长从基本关系入手，信任许多工

程问题，都应当变得特别简洁。

也有些特定的题须要理解特定的规律进行解答的如“例3”的内容。

“它山之石，可以攻玉”，有时我们工程问题的解题策略运用到非工程问题中，可以起

到意想不到的效果。

精典例题

4

例1：一项工程，甲、乙合作8天可以完成全部工程的三,已知乙单独做要15天完成。

问甲单独做要多少天完成这项工程？（2009七中试验小升初试题）

J思路点拨

想一想：“问甲单独做要多少天完成这项工程？”就是求甲的什么？要回答这个问题，

依据哪个基本关系来做？那么应当知道哪些条件？这些条件干脆告知没有？应当怎么办

呢？

,仿照练习

甲乙两工程队同时合作修一条水渠要100天。甲工程队先修40天，乙工程队再修60

7

天，可以完成这条水渠的屋，假如甲乙两工程队都单独去修，完成任务各须要多少天？

例2:一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500

千米，回来时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多能飞多少千米，就须要往回

飞？（北京市第一届“迎春杯”刊赛试题-2007年成都外国语学校奖学金考试数学试题）

思路点拨

这道题的解答方法许多！但要从工程问题的角度来思索，该怎么办？想一想：工程问题

的思维特点是什么？若能再结合“量率的对应关系”来思索，那么，此类问题你应当可以

秒杀了！

仿照练习

一辆汽车以每小时60km的速度从A地开往B地，它又以每小时40km速度从B地返

回A地，那么这辆汽车行驶的平均速度是多少km/h?（第九届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

例3:右图是依据甲、乙单独完成一项工作所须要的天数制成的条形统计图，假如这

项工作要在10天内完成，那么甲、乙合作的时间至少有多少天？（2009年成都嘉祥外国

语学校6年级插班生招生考试题）

思路点拨

想一想：问题的关键是合作的时间要最少！该怎么理解！（友情提示：假如我们让其中

一个人做满10天，那么另一人做的天数是不是可以理解为他们的合作天数了？）

,仿照练习

某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管须要12小时注满，单放乙管须要24小

时注满。现在要求1。小时注满水池，并且甲乙两管合放的时间尽可能地少，那么甲、乙两

管合放最少需多少小时？（1989年小学数学奥林匹克决赛试题）

学以致用

A级

1.一项工作，甲单独做6天完成，乙单独做9天完成。两人合做这项工作，用多少天

可以完成？（2008年成都外国语学校小升初考试题）

2.从甲地到乙地，快车要10小时，慢车要15小时，现在两车分别从甲乙两地同时动

身，相向而行，几小时两车相遇？

3.水果店有甲、乙、丙三种水果，老李所带的钱假如买甲种水果刚好可买4kg;假如

买乙种水果刚好可买6kg;假如买丙种水果刚好可买12kg。老李确定三种水果买一样多,

那么他所带的钱能买三种水果各多少kg?（第十届《小数报》数学决赛试题）

B级

4.师徒二人同时合作完成一项任务要10小时。师傅工作4小时，徒弟工作6小时，

7

可以完成这项任务的不，假如师徒二人都单独去做，完成任务各须要多少小时？（2007年

成都市试验外国语学校招生考试题）

5.一项工作，甲单独做要10天，乙单独做工15天。假如两人合作，工作效率就要

49

降低，甲只能完成原来的三，乙只能完成原来的二o现在要8天完成这项工作，两人合作

天数尽量少，两人最少合作多少天？（1996年小学数学奥林匹克决赛民族卷试题・2006

年成都外国语学校奖学金考试数学试题）

C级

6.甲、乙、丙三个人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，

假如甲、乙两人从东镇，丙一人从西镇同时相向动身，内遇到乙后2分钟再遇到甲，那么

1

两镇距离的，是多少米？（北京市第一届“迎春杯”刊赛试题）

第四讲整数在分数应用题中的应用

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整数在分数应用题中的应用，主要是抓住分数的基本意义结合解答分数应用题的基本

思路进行分析解题。一般而言，在分数应用题中，分率（指具有倍数意义的分数）意义是把单

位“1”的量平均分成若干份，表示这样的一份或儿份的数。

因此应用整数学问来解决分数应用题的一般思路：

①找准单位“1”的量；

②依据分数的分母确定单位“1”的量代表的份数，依据分子确定比较量代表的份数；

③依据份数来求解。

此外，应用整数学问来解分数问题，往往还涉和到整除学问的应用……

©精典例题

21

例1：甲、乙两个两位数，甲数的三等于乙数的7,那么甲、乙两个数的和最小是多

少？

思路点拨

21

甲、乙两个两位数，“甲数的£等于乙数的Z"，说明白什么？甲数肯定是几的倍数？

21

乙数肯定是几的倍数？且同时要满意“甲数的£等于乙数的7”而且要甲、乙两数最小。

那么我们可以用尝试与揣测的方法进行调整……试试看!

“仿照练习

21

甲、乙两个两位数，甲数的三等于乙数的I,那么甲、乙两个数的和最大是多少？

3

例2:甲、乙、丙三人去买书，乙买的书比甲买书的本数的,多3本，丙买的书比甲的

2

£少1本。那么，三人合计最少买了多少本？

J思路点拨

3

从“乙买的书比甲买书的本数的亍多3本”你发觉“甲买书的本数”肯定是几的倍数？

2

从“丙买的书比甲的£少1本。你又有什么发觉？把这两个发觉结合起来，我们可以得

出结论？现在你能回答问题了吗？

’仿照练习

在第十届亚运会上，到某一天中国已获得了20。多枚奖牌，其中金牌的枚数比银牌枚

38

数的倍少17枚，铜牌枚数比金牌枚数的正多1。枚，那么到这一天中国在这届亚运

会上共获得多少枚奖牌?

例3：黑板上写着从1起先的若干个连续自然数，擦去其中的一个后。其余各数的平

5

均数是35正o擦去的数是多少？（2。。1小学数学奥林匹克初赛试题）

J,思路点拨

5

想一想：从条件“其余各数的平均数是35正”入手,再依据平均数的意义，我们可以发

觉“剩下的个数”肯定是17的倍数，即剩下的个数可能是17,34,51,68,……那么

对应原来的个数可能为18,35,52,69,……再留意原来全部数的总和肯定大于剩下数

的总和这个隐藏条件，用尝试与揣测的方法可以进行调整.（当然这道题还有秒杀思路!）

'仿照练习

9

从11,12,13……这若干个连续自然数中擦去一个后，剩下的数的平均数是23.o

JLO

那么擦去的数是多少？

J学以致用

A级

21

1.甲、乙两个三位数，甲数的三等于乙数的7,那么甲、乙两个数的和最小是多少？

2.老师在黑板上从1起先，写了若干个连续自然数，然后擦掉其中一个，剩下的数的

4

平均数是6T,擦掉的自然数是多少？

JLO

12

3.参与迎春杯数学竞赛的人数共2。。0多人。其中光明区占鼻,中心区占亍,朝阴区占

111

三，剩余的仝是远效区的学生。竞赛结果光明区有有得奖，中心区有77得奖，朝阴区有

□241O

11

TZ得奖，远郊区有亍得奖，那么参赛学生有多少人？获奖学生有多少人？（北京市第3届

1O/

迎春杯决赛试题）

B级

4.张阳拿着50元钱买四本书（书的定价最小单位是角）。回家一算，《数学奥林匹克解题

310

词典》恰好占用去的钱的一半，其余一半里有才用于买《汉语词典〉〉，右用于买《英汉

词典》，他最终剩下多少元？（1999年小学数学奥林匹克决赛试题）

2

5.甲、乙、丙、丁四人平均植树30多棵，甲植树棵数是乙的1,乙植树棵数是丙的

O

1

q,丁比甲还多植树3棵，那么丙植树多少棵？（1999年小学数学奥林匹克决赛试题）

C级

6.小强和小林共有邮票400多张，假如小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的

66

少远；假如小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少正,那么，小强原有

多少张邮票？小林原有多少张邮票？（第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1

试）

第五讲设值法解题

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一般我们解答应用题，都应当满意“知二”才能“求一”的解题模型。如：要求“速

度”，一般而言就应当知道“路程”和“时间”这两个条件；要求“盐水浓度，一般而言

就应当知道“盐水质量”和“盐的质量”两个条件……

而事实上，我们在解答应用题时，常会遇到①已知“速度”求“速度”，而“时间”与

“路程”这两种详细数量都没有出现；②已知“平均分”求“平均分”，而“总分”与“人

数”这两种详细的数量都没有出现；③已知“浓度”求“浓度”，而“溶液”与“溶质”两

种详细的数量都没有出现过……

而这时，我们可以巧用“设特别值”，依据题目所给信息，假设与题目有某种关系的一

个或几个详细数值，和题中已知条件一齐列式、推理和计算，使学生在解题时，起到事半

功倍的效果，学生乐于接受。

图精典例题

3

例1：某年级一次考试的平均分是70分，其中，的人和格，他们的平均分数是80分,

求不和格的人的平均分数。（第五届《小数报》数学竞赛初赛题•成都嘉祥外国语学校2012

年小升初数学试题）

,思路点拨

想一想：要回答“不和格的人的平均分数。应当知道哪两个条件？那么依据题中的信

3

息，你能干脆找到有关的条件吗？（友情提示：抓住“其中z的人和格”请从设特别值的方

面去思索！）

“模仿练习

4

数学考试全班平均分数为85分，其中有三的人和格，和格人的平均分为93分，那么

不和格人的平均分是多少分？（第十二届“祖冲之杯”数学竞赛试题）

例2:三个小组的人数一样多，第一小组男生数等于其次小组女生数，第三小组的男

2

生数是三个小组男生总数的三，问三个小组的男生人数占三个小组总人数的几分之几？

（2010年七中初中部小升初考题）

J思路点拨

想一想：要回答问题，必需知道哪两个条件？那么题中有关这两个条件的详细数量题中

出现过没有？那么应当抓住哪句话进行设值计算呢?

’仿照练习

某校五年级共有三个班，已知一班、二班、三班各班的学生数相同，一班的男生数与

3

二班的女生数相同，三班的男生占全年级男生的三,那么全年级女生占全年级学生的几分

O

之几？（第三届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

例3:某商品按原定价出售，每件利润为成本的25%,后来按原定价的90%出售，结

果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍，每天经营的总利润比降价前增加了百分之几？

（1998年小学奥林匹克决赛A卷试题）

,思路点拨

这道题既有物价关系，又有分率关系。从物价关系来看，应当有“总价”“单价”“数量”

三种详细的数量，但题中，这三种数量的详细数量都无法知晓。为了满意“知二求一”的

解题模型，我们可以从物价关系入手考虑进行设值，试试看！

'模仿练习

张先生以标价的95%买下一套房子，经过一段时间后，他又以超出原标价的40%的价

格将房子卖出，这段时间物价的总涨幅为20%,张先生买进卖出这套房子，利润率为百分

之儿？（2004年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

%■Bi

J学以致用

A级

L一支股票的价格上升10%后又上升15%,然后下降20%,这支股票的价格和原来

相比上升或下降百分之几？（2005年成都七中育才东区初中招生试题1）

2.在一个梯形内有两个面积分别是6cm2和8cm2的三角形（如右图），这个梯形下底的

长是上底长的2倍，则图中阴影部分的面积是多少？（2007年小学数学奥林匹克初赛试题）

3.假如一个三角形的底边长增加10%,底边上的高缩短10%,那么这个新三角形的面

积是原来三角形面积的百分之几？（2002年全国小学数学奥林匹克决赛B卷试题）

B级

4.某校参与“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选

手人数多80%,而女选手比男选手的平均分数高20%,则女选手的平均分是多少分？（第

一届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

5.龟兔进行10000米赛跑,兔子的速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起动身后,

龟不停地跑，兔子跑到某一地点后起先睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它5000米，兔子

奋起直追,但龟到达终点后，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？（1996

年小学数学奥林匹克决赛B卷试题）

C级

6.某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：

（1）甲、乙两校获一等奖的人数相等；

（2）甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6;

⑶甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%;

⑷甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%;

（5）甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍。

那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比等于o（1998年小学

数学奥林匹克决赛A卷试题）

7.一条猎犬追捕野兔。野兔假如返回80步，就到猎犬所在地。已知在猎犬跑2步的时间

内野兔跑3步；而猎犬跑4步的路程等于野兔跑7步的路程。那么，猎犬跑多少步才能捕

获野兔？（2004年成都试验外国语学校西区小升初素养测试题）

第六讲转化法解题

+学问导航

在有些分数应用题中，因为单位“1”的量不统一，造成分析解答困难，假如我们能结

合题中的详细信息转化单位“1”，就可以化难为易；也有些应用题，假如能有效利用反比

的学问找到两种量之间的倍比关系，再结合份数、分数学问进行解答，就可以巧解……

演精典例题

例1：兄弟四人一起去买一台电视机，老大带的钱是另外三个人所带总钱数的一半，老

11

二带去的钱另外三个人总前钱数的三,老三带去的钱是另外三个人总前钱数的］,老四带

91元。那么这台电视机多少元？（北京市第2届迎春杯决赛试题）

J思路点拨

从“老大带的钱是另外三个人所带总钱数的一半”很简洁想到当我们把老二、老三、老

四一共带的钱看作2份，那么老大带的钱就是1份，兄弟四人就一共带了（1+2=）3份钱,

很明显老大所带的钱就是四人钱数总和的士;那么从”与”这两个信息，你又

，十/Onr

可以发觉什么呢？那么这道题可以怎么解答了！试试看！

'仿照练习

1

甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的J,乙生

1

产的个数是甲、丙两人生产个数之和的可,丙生产了50个。这批玩具共有多少个？（第

六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试）

12

例2:两个书架，甲书架存书的彳相当于乙书架的三，甲书架比乙书架多存120本。

4O

乙书架存书多少本？（北京市第2届迎春杯决赛试题）

J思路点拨

12

依据“甲书架存书的1相当于乙书架的£”我们简洁得到这样的数量关系：“甲书架存

12

书本数X7=乙书架存书本数Xg”，依据反比学问可得：

21

甲书架存书本数：乙书架存书本数=：-=8:5,也就是甲存书本数为8份，乙书架

的存书就是5份。

现在你会做这道题了吗？以后你会做这类题了吗？

’仿照练习

11

把12。个苹果分给两个班，其中大班分得的不与小班分得的餐正好相等，那么小班分

NO

得多少个？

例3:甲从A地往B地，乙、丙两人从B地往A地，三人同时动身，甲首先在途中

与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走

50米，问：A、B两地相距多少米？（2010年七中初中部小升初试题）

J思路点拨

从最基础的数量关系入手想一想:相遇问题最基本的关系是什么？那么这道题中哪个信

息最关键？很明显这道题中有“甲乙的速度和X甲乙的相遇时间=甲丙的速度和X甲丙的相

遇时间”，路程肯定，时间与速度成反比例：

假如“甲乙的速度和：甲丙的速度和=a:b”